湖南省长沙市2025年九年级中考一模数学试题附答案

这是一份湖南省长沙市2025年九年级中考一模数学试题附答案，共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．的倒数是（ ）
A．2025B．C．D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．为弘扬优秀传统文化，继承和发扬民间剪纸艺术，某中学开展了“剪纸进校园非遗文化共传承”的项目式学习，下列剪纸作品的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
4．世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是（ ）
A．内错角相等，两直线平行B．同旁内角互补，两直线平行
C．对顶角相等D．两点确定一条直线
5．为贯彻落实教育部《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》精神，把劳动教育纳入人才培养全过程，某校组织学生周末赴劳动教育实践基地开展锄地、除草、浇水、剪枝、捉鱼、采摘六项实践活动，已知六个项目参与人数（单位：人）分别是：35，38，40，42，42，43．则这组数据的众数和中位数分别是（ ）
A．38，39B．42，40C．42，41D．42，42
6．如图，小颖按下面方法用尺规作角平分线：在已知的的两边上，分别截取，使．再分别以点C，D为圆心、大于的长为半径作弧，两弧在内交于点P，作射线，则射线就是的平分线．其作图原理是：，这样就有，那么判定这两个三角形全等的依据是（ ）
A．B．C．D．
7．一定质量的氧气，它的密度是它的体积的反比例函数，当时，．若某一时刻氧气的密度，则此时的体积V是（ ）
A．B．C．D．
8．《四元玉鉴》是我国古代数学重要著作之一，为元代数学家朱世杰所著．该著作记载了“买椽多少”问题：“六贯二一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽”．大意是：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试向6210文能买多少株椽？（椽，装于屋顶以支持屋顶盖材料的木杆）设这批椽有x株，则符合题意的方程是（ ）
A．B．
C．D．
9．要测一个残损轮子的半径，小丽的方案如下：如图，在轮子圆弧上任取两点A，B，再作弦的垂直平分线交于点C，交圆弧于点D，测出和的长度，即可计算出轮子的半径．若测得，则轮子的半径为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，三角形纸片中，，，．沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处：再折叠纸片，使点与点重合，若折痕与的交点为，则（ ）
A．B．C．D．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．若a是一元二次方程的一个根，则的值是 ．
13．截至月日，电影《哪吒》全球总票房突破亿元，长沙万象城影院某天《哪吒》的票房累计约元，数字用科学记数法表示为 ．
14．如图，在中，，，．若以所在直线为轴，把旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于 ．
15．如图，中，，点在的延长线上，，若平分，则 ．
16．四人分别姓张、李、高和陈，他们每人各任一个职务，四个职位是班长、学习委员、体育委员和劳动委员，已知：
（1）体育委员下围棋很厉害，班长和姓李的同学都不是他的对手；
（2）班长主持班会的时候，学习委员和姓张的同学都举手提了些建议；
（3）学习委员分别给班长和姓李的同学辅导过功课；
（4）体育委员参加篮球赛时，班长和姓高的同学一起为他助威．
根据以上信息，可以推断劳动委员姓 ．
三、解答题（本大题共9个小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第24、25题每题10分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．计算：．
18．先化简，再求值：，其中．
19．为深入贯彻“生命至上、健康第一”的理念，科学合理组织好2023年长沙市初中毕业升学体育考试，2023年长沙市体育中考方案有以下调整，（一）素质类项目：引体向上（男）或一分钟仰卧起坐（女）、实心球、立定跳远、一分钟跳绳（学生自选一项，报考前确定），分值10分．（二）技巧类项目：篮球运动、足球运动、排球向上垫球、200米游泳（学生自选一项，报考前确定），分值15分．（三）耐力跑项目：2023年取消男1000米、女800米耐力跑项目，该项目以15分满分计入总分，此项调整仅限2023年执行．某校根据学生实际情况男生可以从A（引体向上）、B（投掷实心球）、C（排球向上垫球）、D（一分钟跳绳）、E（篮球运动）、F（足球运动）、G（200米游泳）等七个项目中选考两项．据统计，某校初三男生都在“A”、“B”、“C”、“D”四个项目中选择了两项作为自己的体育中考项目．根据学生选择情况，进行了数据整理，并绘制成如下统计图，结合图中信息，解答下列问题：
（1）扇形统计图中C所对应的圆心角的度数是________；
（2）请补全条形统计图；
（3）为了学生能考出好成绩，该校安排每位体育老师负责指导A、B、C、D项目中的两项，若张老师随机选两项作为自己的指导项目，请用列表法或画树状图的方法求所选的项目恰好是A和C的概率．
20．如图，在矩形中，，相交于点，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，则四边形的面积为 ．
21．近年来教育部要求学校积极开展素质教育，落实“双减”政策，泸县某中学把足球和篮球列为该校的特色项目．学校准备从体育用品商店一次性购买若干个篮球和足球．若购买3个篮球和2个足球共490元，购买2个篮球和3个足球共460元．
（1）篮球、足球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际需要，需一次性购买篮球和足球共100个，要求购买篮球和足球的总费用不超过9200元，且购买篮球的数量不少于足球数量的一半，请求出最省钱的一种购买方案．
22．如图，为圆O的直径，已知，点P在延长线上，平分．
（1）求证：是圆O的切线；
（2）若，圆的半径为5，求，的长．
23．法国数学家韦达在探究二次项系数为1的一元二次方程根的特征时发现，此时“韦达定理”可表述为：，．借此结论，小麓对“倍根方程”的根的特征的进行了探究．
定义：如果关于x的一元二次方程有两个实数根（都不为0），且其中一个根等于另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若函数的图象与函数的图象相交于A，B两点，其中一个点的横坐标等于另一点的横坐标的2倍，则称函数与函数互为“倍根函数”．
（1）若是“倍根方程”，求k的值；
（2）一次函数与反比例函数互为“倍根函数”，求k和b满足的数量关系；
（3）已知是“倍根方程”，点是函数图象上一点，且，当时，的最大值和最小值的差是3，求a的值．
24．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线的顶点坐标为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）如图1，点E为线段上一点，过点E作轴，交x轴于点M，连接，交轴于点，当平分时，求直线的解析式；
（3）如图2，点F是该抛物线上位于第四象限的一个动点，直线分别与y轴、直线交于点D，E．若，，的面积分别为，，，且满足，求点F的坐标．
答案
1．【答案】B
2．【答案】C
3．【答案】C
4．【答案】A
5．【答案】C
6．【答案】D
7．【答案】B
8．【答案】B
9．【答案】B
10．【答案】B
11．【答案】且
12．【答案】6
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】5
16．【答案】李
17．【答案】解：
．
18．【答案】解：原式
当时，原式．
19．【答案】（1）
（2）解：人，
∴参与调查的学生人数为600人，
∴A项目的人数为人，
补全统计图如下所示：
（3）解：画树状图如下：
由树状图可知一共有12种等可能性的结果数，其中所选的项目恰好是和的结果数有2种；
∴（所选的项目恰好是和）．
20．【答案】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
在矩形中，，相交于点，
，，，
，
平行四边形是菱形；
（2）
21．【答案】（1）解：设篮球、足球的单价各是x元、y元，
根据题意，得，
解得：，
∴篮球、足球的单价各是110元、80元；
（2）解：设该校购买m个篮球，则购买个足球，购买篮球和足球的总费用为w，
根据题意，得，
解得：，
根据题意，得，
∴w随m的增大而增大，
∴当m=34时，最省钱，
∴100-m=100-34=66（个），
∴该校购买34个篮球，则购买66个足球最省钱．
22．【答案】（1）证明：连接，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
，
，
，
∴，
∵为半径，
是圆的切线．
（2）解：，为直径，
∴，
，
，，
设，，
在中，，
即，
解得（舍），，
故，．
23．【答案】（1）解：，
，，
当时，即，
解得，
当时，即，
解得，
或；
（2）解：由得，，
设两个函数的交点为，，
由“倍根函数”可知，，
①，
②，
得，，
；
（3）解：方程的两根为，，其中，
由“倍根方程”可知或，
，
，
，
，
，
，
，
，
当时，最小，
当时，最大，
的最大值和最小值的差是3，
，
解得．
24．【答案】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为，c=-6，
∴，，
解得，b=﹣2，
故所求抛物线解析式为．
（2）解：∵，
令y=0，可得，
解得，
，
令x=0，可得y=﹣6，
∴.
∵，，
∴直线BC的解析式为y=x－6，
∵点E为直线AE上一点，设E(a，a－6)，则M(a，0)，
∴AM=a+2.
过点A作AN⊥BC于点N，如图所示：
∴直线AN的解析式为：y=﹣(x+2)，
由，可得
∴N(2，﹣4).
当AE平分∠CEM时，AM=AN.
∵.
∴，
∴，
设直线AE的解析式为：，
把点A，E的坐标代入可得：
，
解得：
直线的解析式为．
（3）解：∵，，为同高三角形，设高为：h，
∴，，，
∵，
∴AD+EF=2DE.
∵AD+DE+EF=AF=3DE，
∴.
过点D作DQ⊥ME于点Q，过点F作FP⊥AB于点P，如图所示：
∴EQ//PF，DQ//AP，
∴△DQE∽△APF，
∴
设直线AE的解析式为：y=kx+b，
由图象可得：k﹣3.
∴.
∴，
解得：，(舍)
∴，
代入y=kx+2k，可得，
．