湖南省长沙市周南中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学模拟试卷（三）

这是一份湖南省长沙市周南中学2023-2024学年高一下学期期末考试数学模拟试卷（三），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．设，则（ ）
A．B．3C．D．
2．下表是某地区2024年3月1日至10日每天中午12时的气温统计表，则下列关于这10天中气温的说法错误的是（ ）
A．众数为2和6和12B．70%分位数为16
C．平均数小于中位数D．极差为18
3．已知直线和平面，则（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
4．若，，称是，的几何平均数，是，的调和平均数，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．若，则（ ）
A．B．C．D．
6．如图，正方体的边长为4，，平面经过点，，则（ ）
A．
B．直线与直线所成角的正切值为
C．直线与平面所成角的正切值为
D．若，则正方体截平面所得截面面积为26
7.已知函数是函数的反函数，函数的零点为，且（）则（ ）
A．1B．2C．3D．4
8．设、、、、是均含有个元素的集合，且，，记，则中元素个数的最小值是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．下列说法中正确的是（ ）
A．平面向量的一个基底中，一定都是非零向量
B．在平面向量基本定理中，若，则
C．表示同一平面内所有向量的基底是唯一的
D．若单位向量的夹角为，则在上的投影向量是
10．在某节体育课上，体育老师对某班学生进行了立定跳远测试，其中有一组学生的成绩数据如下（单位：m）：1.74，1.87，1.81，1.81，1.88，1.99，那么（ ）
A．这组学生成绩的平均数是1.85
B．这组学生成绩的中位数是1.84
C．这组学生成绩的众数是1.87
D．这组学生成绩的方差是0.036 2
11．中国有悠久的建筑文化，鲁班锁就是其中一种，鲁班锁的形状种类很多，其结构起源于中国古代建筑的榫卯结构，利用了其拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，一般都是易拆难装，现有如图（1）的鲁班锁，其各个面是由正三角形与正八边形构成的，图（2）是该鲁班锁的直观图，则下列结论正确的是（ ）

A．该鲁班锁的各个面中为正三角形的面有8个
B．该鲁班锁的各个面中为正八边形的面有8个
C．若该鲁班锁每条棱的长均为1，则该鲁班锁表面中为正八边形的面的面积之和为
D．若该鲁班锁每条棱的长均为1，则该鲁班锁体积为
三、填空题
12．已知，，求 ．
13．相看两不厌，只有敬亭山.李白曾七次登顶拜访的敬亭山位于安徽省宣城市北郊，其上有一座太白独坐楼（如图（1）），如图（2），中，内角，，的对边分别为，，，，，，则 ，的面积＝ .
14．如图是一座山的示意图，山大致呈圆锥形，底面半径为，高为，B是母线SA上一点，且．现要建设一条从A到B的环山观光公路；当公路长度最短时，这条公路从A出发后先上坡，后下坡，则公路上坡路段长为 千米．
四、解答题
15．已知向量，．
(1)若，求；
(2)若，且，求．
16．饮用水水源的安全是保障饮用水安全的基础.同时国家提倡节约用水，全民积极维护饮用水水源安全，保障安全饮水2021年5月13日下午，正在河南省南阳市考察调研的习近平总书记来到淅川县，先后考察了陶岔渠首枢纽工程､丹江口水库，听取南水北调中线工程建设管理运行和水源地生态保护等情况介绍.为了提高节约用水意识，某校开展了“节约用水，从我做起”活动，从参赛的学生中随机选取人的成绩作为样本，得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求频率分布直方图中的值，并估计该校此次参赛学生成绩的平均分（同一组数据用该组区间的中点值代表）；
(2)在该样本中，若采用分层抽样方法，从成绩低于分的学生中随机抽取人调查他们的答题情况，再从这人中随机抽取人进行深入调研，求这人中至少有人的成绩低于分的概率.
17．如图，四边形ABCD的内角，，，，且．

(1)求角B；
(2)若点是线段上的一点，，求的值．
18．如图，四棱柱的底面是菱形，平面，，，，点为的中点，点为上靠近的三分点.
(1)求证：平面；
(2)求二面角的正切值.（先找角再证明最后计算）
19. 对于函数，，如果存在实数，，使得，那么称函数为的“重组函数”
(1)已知，，是否存在实数，，使得是的重组函数？若存在，求出，，；若不存在，试说明理由．
(2)当，时，求的重组函数的值域．
(3)当，时，的重组函数有唯一的零点，求实数的取值范围．日期
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
气温（℃）
2
10
18
20
16
12
6
2
6
12
参考答案：
1．A
【分析】利用复数的四则运算法则求出，再求其模长即得.
【详解】因为，
所以.
故选：A.
2．B
【分析】由众数，平均数，中位数，百分位数，极差的概念求解可得结论.
【详解】对于A：由气温统计表可得众数为2和6和12，故A正确；
对于B：把气温由小排到大为2，2，6，6，10，12，12，16，18，20，
由，故70%分位数为，故B错误；
对于C：平均数为，
中位数为，所以平均数小于中位数，故C正确；
对于D：极差为，故D正确.
故选：B.
3．C
【分析】由直线与平面的位置关系即可逐一判断各个选项，进而得解.
【详解】对于A，若，则或或或斜交，故A错误；
对于B，若，则或，故B错误；
对于C，由线面垂直的性质可知：若，则，故C正确；
对于D，若，则或相交或异面，故D错误.
故选：C.
4．B
【分析】由结合充分条件必要条件的定义即得.
【详解】因为，当且仅当时取等号，
所以由可推出，而由推不出，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
5．B
【分析】利用换元法，令，，找到与的关系，然后利用诱导公式和倍角公式进行求值即可.
【详解】令，，则，
令，则
所以
故选：B.
6．【答案】C
【分析】本题四个选项逐个分析，A选项利用在勾股定理判断；B，C选项分别作出线线角，线面角算出正切值判断是否正确；D选项面面平行的性质的定理画出完整的截面进而计算面积即可.
【详解】在中，,
在中，，，，
∵，∴A错误．
∵，∴直线与直线所成角等于，，∴B错误．
因为平面，且平面
所以直线与平面所成角等于直线与平面所成角，，∴C正确．
因为正方体的对面都是相互平行，且根据面面平行的性质定理可得，
在边上作点使得，则平行四边形为所求截面．
在中，
∴，，
∴平行四边形的面积为．∴D错误．
故选：C
7.B
【分析】根据反函数的定义可得，进而得，结合函数零点的存在性定理即可求解.
【详解】由题意知，，则，
所以函数在上单调递增，
又，
所以，即.
故选：B
8．A
【分析】设、、、是集合互不相同的元素，分析可知，然后对的取值由小到大进行分析，验证题中的条件是否满足，即可得解.
【详解】解：设、、、是集合互不相同的元素，若，则，不合乎题意.
①假设集合中含有个元素，可设，则，
，这与矛盾；
②假设集合中含有个元素，可设，，
，，，满足题意.
综上所述，集合中元素个数最少为.
故选：A.
9．ABD
【分析】根据基底定义可判断AC；由平面向量基本定理可判断B；根据投影向量公式直接计算可判断D.
【详解】对于A，根据平面向量基底定义可知，不共线，所以一定都是非零向量，A正确；
对于B，若，且在平面向量基本定理中不共线，所以，B正确；
对于C，只要是平面内不共线的两个向量都可作为基底，C错误；
对于D，因为，所以在上的投影向量为，D正确.
故选：ABD
10．AB
【分析】本题主要考查样本特征数中的平均数、中位数、众数、方差等基础知识，根据相应的公式求解即可.
【详解】将这组数据从小到大重新排列：1.74，1.81，1.81，1.87，1.88，1.99，
则这组数据的平均数为，A正确．
这组数据的中位数为，B正确．
这组数据的众数为错误．这组数据的方差为，D错误．
故选:AB．
11．AC
【分析】由直观图可判断A，B；用割补法计算每个正八边形的面积，可判断C；正方体的体积减去八个三棱锥的体积，可判断D．
【详解】从图（1）的鲁班锁和图（2）的直观图中可知，各个面中为正三角形的面共有8个，表面为正八边形的面有6个，故A正确，B错误，

如图为正八边形的平面图，易得，
分别过点作，垂足分别为，
，
，
则，
则每个正八边形的面积为，
所以该鲁班锁表面的所有正八边形的面的面积之和为，故C正确
鲁班锁的体积，可以看成正方体的体积减去八个三棱锥的体积得到，

正方体体积为，小三棱锥的体积为：，
鲁班锁的体积为：，故D错误.
故选：AC
12．2
【分析】利用对数的换底公式，结合对数的运算求解即可.
【详解】解：由，，
可得
，
故答案为：
13． /
【分析】第一空根据余弦定理即可求出边；第二空根据三角形面积公式求出的面积.
【详解】因为，，，
根据余弦定理得，
所以；
根据三角形面积公式得.
故答案为：；.
14．
【分析】利用圆锥的侧面展开图，利用两点间的距离，结合图象，求长度.
【详解】由题意，半径为，山高为，则母线,
底面圆周长，所以展开图的圆心角，
如图，是圆锥侧面展开图，结合题意，,
由点S向引垂线，垂足为点，此时为点S和线段上的点连线的最小值，
即点为公路的最高点，段即为下坡路段，
则，即，得
上坡路段长度为.
故答案为：
15．(1)
(2)
【分析】（1）根据向量共线的坐标表示求出，再由二倍角公式计算可得；
（2）由数量积的坐标表示、两角和的正弦公式及诱导公式求出，即可求出，最后根据两角和的余弦公式计算可得.
【详解】（1）因为，且，
所以，则，
所以.
（2）因为，且，
所以，则，
所以，则，所以，
又，所以，所以，
所以
.
16．(1)，；
(2).
【分析】（1）根据小矩形的面积之和等于列方程即可得的值，利用平均数的计算公式即可得平均分；
（2）先根据分层抽样求出成绩低于分的有人，成绩位于区间的有人，求出基本事件的总数以及这人中至少有人的成绩低于分包含的基本事件的个数，由古典概率公式即可求解.
【详解】（1）根据频率分布直方图得到，解得.
这组样本数据的平均数为，所以.
（2）根据频率分布直方图得到成绩在，内的频率分别为，，
所以采用分层抽样的方法从样本中抽取的人，
成绩在内的有人，记为，
成绩在内的有人，分别记为，，，，，
从这人中随机抽取人，所有可能的结果为，，，，，，
，，，，，，，，，，，，，共种.
这人中至少有人的成绩在内的有，，，，，，，，，，共种.
所以这人中至少有人的成绩低于分的概率为.
17．(1)
(2)
【分析】（1）设，在、分别利用余弦定理可得出关于、的方程组，解出的值，结合角的取值范围可求得角的值；
（2）利用正弦定理可求得，利用勾股定理求出，即可求得的长.
【详解】（1）设，
在中由余弦定理得，即①，
又在中由余弦定理得，即②，
因为，则，
联立①②可得（负值舍去），，因为，所以．
（2）在中，由正弦定理知，，
所以，
又，故，
在直角三角形中，由勾股定理知，，
此时．

18．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）构造底面的中心并证明，再使用线面平行的判定定理；
（2）证明，，然后直接计算即可.
【详解】（1）
已知底面是菱形，如图，设其中心为，则是线段和的中点.
由于是的中点，故，而在平面内，不在平面内，所以平面.
（2）我们有，.
而是的中点，所以，，从而二面角的正切值就是.
而由于，，故.所以二面角的正切值为.
19. 【答案】(1)，，
(2)
(3)
【分析】（1）依题意可得，根据对应系数相等得到方程组，解得即可；
（2）首先得到解析式，再利用换元法及二次函数的性质计算可得；
（3）首先得到解析式，令，则，令，则在上有一个零点，结合二次函数的性质计算可得.
【详解】（1）因为，则，
又，
若，即，
即，
即，解得；
（2）因为，则，且，
所以，
令，则，
令，则，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，则的值域为.
（3）当，，，则，
则的重组函数，
令，即，
令，则，
令，则在上有一个零点，
当，解得，此时无零点；
由，解得或，
当时，只需，即，所以，显然无解；
当时，则需满足，即，所以，
当时，此时，
则在上有且只有一个零点，所以符合题意；
综上可得实数的取值范围为.