吉林省白山市浑江区盟校2023−2024学年高二下学期7月期末考试 数学试题（含解析）

这是一份吉林省白山市浑江区盟校2023−2024学年高二下学期7月期末考试 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．端午节吃粽子是我国的传统习俗．现有一盘中装有6个粽子，其中4个不同的蛋黄粽，2个不同的豆沙粽．若从蛋黄粽和豆沙粽中各取1个，则不同的取法种数为（ ）
A．4B．6C．8D．12
2．下列求导正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．已知函数，则函数的定义域为（ ）
A．B．
C．D．
4．已知变量和的统计数据如下表：
若，线性相关，经验回归方程为，据此可以预测当时，（ ）
A．5.75B．7.5C．7.55D．8
5．某班举办知识竞赛，已知题库中有两种类型的试题，类试题的数量是类试题数量的两倍，且甲答对类试题的概率为，答对类试题的概率为，从题库中任选一题作答，甲答对题目的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．向如图放置的空容器中注水，直至注满为止.下列图象中可以大致刻画容器中水的体积V与水的高度h的函数关系的是（ ）
A．B．
C．D．
7．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去一个场馆，其中甲场馆安排2名志愿者，乙、丙场馆都至少安排1名志愿者，则不同的安排方法共有（ ）
A．300种B．210种C．120种D．60种
8．已知函数则方程的实数个数为（ ）
A．9B．10C．11D．12
二、多选题（本大题共3小题）
9．随机变量，随机变量服从两点分布，且，设，则（ ）
A．B．
C．D．
10．对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．恰有一个极值点
B．有最小值但没有最大值
C．直线与曲线的公共点个数最多为4
D．经过点只可作的一条切线
11．袋中共有5个除颜色外完全相同的球，其中有3个红球和2个白球，每次随机取1个，有放回地取球，则下列说法正确的是（ ）
A．若规定摸到3次红球即停止取球，则恰好取4次停止取球的概率为
B．若进行了10次取球，记为取到红球的次数，则
C．若规定摸到3次红球即停止取球，则在恰好取4次停止取球的条件下，第1次摸到红球的概率为
D．若进行了10次取球，恰好取到次红球的概率为，则当时，最大
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知二项式展开式中各项二项式系数的和为16，则 ，展开式中的常数项为 ．
13．已知函数满足，若，则 .
14．设点在曲线上，点在曲线上，若的最小值为，则 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知幂函数（）为偶函数，且在区间上单调递增，函数满足.
(1)求函数和的解析式；
(2)对任意实数，恒成立，求的取值范围.
16．某公司为了解某产品的客户反馈情况，随机抽取了100名客户体验该产品，并进行评价，评价结果为“喜欢”和“不喜欢”，整理数据得到如下列联表：
(1)根据上表，依据小概率值的独立性检验，能否认为客户对该产品的评价结果与性别有关系？
(2)为进一步了解客户对产品的反馈，现从评价结果为“不喜欢”的客户中，按性别用分层抽样的方法选取8人，收集对该产品的改进建议.若从这8人中随机抽取3人，求所抽取的3人中女性人数大于男性人数的概率.
附：.
17．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)若关于的方程恰有两个不同的实数解，求的取值范围．
18．某种资格证考试分为笔试和面试两部分，考试流程如下：每位考生一年内最多有2次笔试的机会，最多有2次面试的机会．考生先参加笔试，一旦某次笔试通过，不再参加以后的笔试，转而参加面试；一旦某次面试通过，不再参加以后的面试，便可领取资格证书，否则就继续参加考试．若2次笔试均未通过，或通过了笔试但2次面试均未通过，则考试失败．甲决定参加考试，直至领取资格证书或考试失败，他每次参加笔试通过的概率均为，每次参加面试通过的概率均为，且每次考试是否通过相互独立．
(1)求甲在一年内考试失败的概率．
(2)求甲在一年内参加考试次数X的分布列及期望．
(3)已知参加首次面试的N名考生全都来自A，B两个地区，其中来自A地区的考生人数为．根据资格证考试要求：所有面试人员提前到场，并随机给每人安排一个面试号码，按面试号码k由小到大依次进行面试，每人面试时长10分钟，面试完成后自行离场．记随机变量Y表示从面试的第一名考生开始面试到最后一名A地区考生完成面试所用的时间，忽略其他损耗的时间，用表示Y的数学期望，证明：．
19．定义在区间上的函数满足：若对任意，且，都有，则称是上的“好函数”．
(1)若是上的“好函数”，求的取值范围．
(2)（ⅰ）证明：是上的“好函数”．
（ⅱ）设，证明：．
参考答案
1．【答案】C
【分析】根据分步乘法计算原理即可得解.
【详解】由题意，不同的取法种数为种.
故选C.
2．【答案】C
【分析】运用函数导数的四则运算和复合函数求导即可.
【详解】对于A，，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，，故D错误．
故选C.
3．【答案】D
【分析】由根式和复合函数的定义域求解即可.
【详解】由题可知的定义域为，
则为使有意义必须且只需，
解得，
所以的定义域为.
故选D.
4．【答案】A
【分析】由题意可知样本中心，代入线性回归方程即可求出，再将代入即可.
【详解】，，
所以，即，
令，解得.
故选A.
5．【答案】C
【分析】应用全概率公式计算概率即可.
【详解】设“选出类试题”为事件，“选出类试题”为事件，“甲答对题目”为事件，
则，
所以.
故选C.
6．【答案】A
【分析】根据容器形状，结合自变量为水的高度可得解.
【详解】在注水的过程中，容器横截面面积越大，水的体积增长越快，所以随着水的高度的增长，体积先缓慢增长，再剧烈增长，再缓慢增长.
故选A.
7．【答案】B
【分析】甲场馆安排2名志愿者可以有种，乙、丙场馆都至少安排1名志愿者可以有三种分法，第一种是乙馆安排1名志愿者丙安排3名，有种情况，第二种是乙、丙各安排2名，有种情况，第三种是乙安排3名丙安排1名，有种情况，根据分步计算可得答案.
【详解】根据题意可知，甲场馆安排2名志愿者可以有种，
乙、丙场馆都至少安排1名志愿者可以有三种分法，
第一种是乙馆安排1名志愿者丙安排3名有种情况，
第二种是乙、丙各安排2名有种情况，
第三种是乙安排3名丙安排1名种情况，
所以根据分步算法可得种.
故选B.
【思路导引】利用两个计数原理解决应用问题的一般思路：
(1)弄清完成一件事是做什么．
(2)确定是先分类后分步，还是先分步后分类．
(3)弄清分步、分类的标准是什么．
8．【答案】C
【分析】作出函数的部分图象，利用整体法求出或，再根据图象观察交点个数即可.
【详解】函数的部分图象如图所示.
由方程，解得或.
当时，有5个实根，当时，有6个实根，
故方程的实根个数为11.
故选C.
9．【答案】AC
【分析】根据正态分布的对称性及两点分布的定义即可判断AB；根据期望和方差的公式及性质即可判断CD.
【详解】因为，所以，且，
又，，故A正确，B错误；
，故，故C正确；
，
，故D错误.
故选AC.
【规律方法】对于正态分布N(μ，σ2)，已知直线x＝μ是正态曲线的对称轴，因此解决正态分布问题的关键是利用对称轴x＝μ确定所求概率对应的随机变量的区间与已知概率对应的随机变量的区间的关系，必要时，可借助图形判断．
10．【答案】ACD
【分析】由导数得出单调性进而判断AB；由单调性得出图象，结合直线过定点判断C；由导数的几何意义判断D.
【详解】对于A：的定义域为，，
当或时，，当时，，
所以在和上单调递增，在上单调递减，
故是唯一的极值点，故A正确；
对于B：函数在上的最小值为，
又因为当时，且，当且时，，
当且时，，
所以既无最小值也无最大值，故B错误；
对于C：由B选项作出函数的大致图象如图所示，
直线恒过点，
当足够大时，
直线与曲线有2个交点，
直线与曲线有2个交点，
则直线与曲线的公共点个数最多为4，故C正确；
对于D：易知点不在的图象上，设切点为，
则，解得，
则经过点只可作曲线的一条切线，故D正确.
故选ACD.
11．【答案】BCD
【分析】应用独立事件概率乘积公式判断A；根据n次独立重复实验计算判断BD；计算条件概率判断C.
【详解】每次取到红球的概率为，若规定摸到3次红球即停止，则恰好取4次停止取球的概率为，故A错误；
，则，故B正确；
记恰好取4次停止取球为事件，第1次摸到红球为事件，则，
，所以，故C正确；
，当最大时，
即
所以即解得，
又，所以，当为6时，最大，故D正确.
故选BCD.
12．【答案】；
【分析】利用二项式的各项系数和求出的值，写出二项展开式通项，令的指数为零，即可得解.
【详解】因为二项式展开式中各项二项式系数的和为16，
所以，解得，
展开式的通项为，
令，得，
所以展开式中的常数项为.
故答案为：；.
13．【答案】76
【分析】先由题意得到，从而利用函数的对称性与的值即可得解.
【详解】由题可知，，
令，则，
所以.
14．【答案】
【分析】考虑到两曲线关于直线对称，的最小值可转化为点到直线的最小距离的两倍，再利用导数的几何意义，求曲线上斜率为1的切线对应的切点坐标，代入到点到直线的距离公式中，可求得，再分类讨论出符合题意的即可.
【详解】因为与互为反函数，其图象关于直线对称，
又点在曲线上，点在曲线上，的最小值为，
所以曲线上的点到直线的最小距离为，
设与直线平行且与曲线相切的切线的切点，
，解得，所以，
得到切点，点到直线即的距离，解得或3，
当时，过点和，过点和，
又，，所以与相交，不符合题意；
当时，令，则，当时，，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，即恒成立，
所以与不相交，符合题意.
综上，.
故答案为：.
【关键点拨】与关于直线对称，当P、Q在和上的对应点关于直线对称且切线与平行时，最小.
15．【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据幂函数的性质得到，求出的范围，再由确定的值，再代入检验，即可求出的解析式，再利用换元法求出解析式；
（2）参变分离可得，恒成立，结合二次函数的性质求出的最小值，即可得解.
【详解】（1）依题意幂函数为偶函数，且在区间上单调递增，
可得，解得，
因为，故，
当时，，此时为奇函数，不符合题意，
当或时，，此时为偶函数，符合题意，
故；
由，可得，令，
所以，
故.
（2）由，恒成立，
可得，恒成立.
又，所以当时，取得最小值，
故，即的取值范围为.
16．【答案】(1)有关
(2)
【分析】（1）利用独立性检验，代入公式求解即可；
（2）结合超几何分布求解即可.
【详解】（1）零假设为：客户对该产品的评价结果与性别无关，
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即认为客户对该产品的评价结果与性别有关；
（2）由题意得，抽取的8人中，男性人数为，女性人数为，
当3人中有2名女性和1名男性时，，
当3人全部为女性时，，
则所抽取的3人中女性人数大于男性人数的概率.
【易错警示】超几何分布和二项分布的区别与联系：
(1)超几何分布需要知道总体的容量N，而二项分布不需要；
(2)超几何分布是“不放回”抽取，而二项分布是“有放回”抽取(独立重复)；
(3)当总体的容量非常大时，超几何分布近似于二项分布．
17．【答案】(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）利用导数，分类讨论、、时，函数的单调性即可；
（2）结合（1）中的单调性，首先可以判断时不符合题意，然后结合的大致趋势，可以画出和时的大致图象，结合图象分析出时仅有一个实数解，时，仅当最小值小于时，满足题意，最后构造关于的函数，利用函数的单调性和得解.
【详解】（1）由题意，函数定义域为R，
因为，
所以，
当时，，在R上单调递增；
当时，令，则，解得，
令，则，解得，
所以在上单调递增，在单调递减，
当时，令，则，解得，
令，则，解得，
所以在上单调递减，在单调递增，
综上所述，当时，在R上单调递增；
当时，在上单调递增，在单调递减；
当时，在上单调递减，在单调递增；
（2）由（1）知，当时，在R上单调递增，所以方程不可能有两个不同的实数解，不符合题意；
当时，在上单调递增，在单调递减；
令，得，所以，解得，
所以时，，时，，
且当时，，当时，，
所以函数的大致图象如图所示，
由图可知，方程仅有一个实数解，不符合题意；
当时，在上单调递减，在单调递增；
令，得，所以，解得，
所以时，，时，，
且当时，，当时，，
所以函数的大致图象如图所示，
由图可知，若方程有两个不同的实数解，则，
所以，即，
令，
所以，
所以函数在时单调递减，
又因为，
所以由，得，
即的取值范围为.
【关键点拨】本题主要考查了利用导数解决函数的单调性问题，以及函数零点个数问题，解题的关键在于利用导数，分类讨论、、时，函数的单调性，并结合函数的大致趋势画出函数的大致图象，然后将零点个数问题转化为函数图象的交点问题来求解.
18．【答案】(1)
(2)分布列见详解，
(3)证明见详解
【分析】（1）应用独立事件乘法公式及互斥事件概率和计算即可；
（2）按照步骤求离散型随机变量的分布列及期望；
（3）结合组合数性质计算证明.
【详解】（1）甲每次参加笔试未通过的概率均为，每次参加面试未通过的概率均为．
甲2次笔试均未通过的概率为，
甲通过了第一次笔试，但2次面试均未通过的概率为，
甲未通过第一次笔试，通过了第二次笔试，但2次面试均未通过的概率为，
所以甲在一年内考试失败的概率为．
（2）由题意得X的可能取值为2，3，4，
，
，
，
X的分布列为
故．
（3）由题意得Y的可能取值为，，…，10N，
则Y的分布列为，其中，
所以
．
故．
19．【答案】(1)
(2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）利用给定定义结合分离参数法求解即可.
（2）（ⅰ）利用给定定义结合导数证明即可.（ⅱ）利用给定定义结合裂项相消法证明即可.
【详解】（1）由题可知任意，且，
即，解得．
因为，所以，即的取值范围为．
（2）（ⅰ）证明：设，
则．
令，且，
则，则hx在1,+∞上单调递增，
所以，即，
所以是0,+∞上的“好函数”．
（ⅱ）证明：由（ⅰ）可知，当x∈1,+∞时，，
令，则，
即．
故，
化简可得．
【关键点拨】本题考查导数新定义，解题关键是合理利用给定定义，然后结合裂项相消法得到所要求的不等关系即可．1
2
3
4
5
0.9
1.3
1.8
2.4
3.1
喜欢
不喜欢
合计
男
45
5
50
女
35
15
50
合计
80
20
100
0.05
0.025
0.01
0.005
3.841
5.024
6.635
7.879
X
2
3
4
P