吉林省白山市第七中学2023−2024学年高一下学期期中考试 数学试题（含解析）

这是一份吉林省白山市第七中学2023−2024学年高一下学期期中考试 数学试题（含解析），共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．设点O是正三角形ABC的中心，则向量，，是（ ）
A．相同的向量B．模相等的向量
C．共线向量D．共起点的向量
2．已知复数满足（是虚数单位），则（ ）
A．B．C．D．
3．若直线平面，则下列说法正确的是（ ）
A．l仅垂直平面内的一条直线B．l仅垂直平面内与l相交的直线
C．l仅垂直平面内的两条直线D．l与平面内的任意一条直线垂直
4．工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是（ ）
A．两条相交直线确定一个平面
B．两条平行直线确定一个平面
C．四点确定一个平面
D．直线及直线外一点确定一个平面
5．在中，内角的对边分别为.已知，则此三角形（ ）
A．无解B．有一解
C．有两解D．解的个数不确定
6．已知向量，，且，，，则（ ）
A．8B．9C．D．
7．在中，角的对边分别为，且，则为（ ）
A．等腰三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形
8．如图所示，在正方体中，E，F分别为，AB上的中点，且，P点是正方形内的动点，若平面，则P点的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．下列命题错误的是（ ）
A．B．
C．若，则D．若，则
10．已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题中是真命题的是（ ）
A．如果，那么
B．如果，那么
C．如果，那么
D．如果，那么与所成的角和与所成的角相等
11．如图为清代官员夏日所用官帽、凉帽的形制，无檐，形如圆锥，俗称喇叭式．材料多为藤、竹制成．外裹绫罗，多用白色，也有用湖色、黄色等．不同型号的官帽大小经常用帽坡长（母线长）和帽底宽（底面圆的直径长）两个指标进行衡量．现有一个官帽，帽坡长，帽底宽，关于此官帽，下面说法正确的是（ ）
A．官帽轴截面（过顶点和底面中心的截面图形）的顶角为
B．过官帽顶点和官帽侧面上任意两条母线的截面三角形的最大面积为
C．若此官帽顶点和底面圆上所有点都在同一个球上，则该球的表面积为
D．此官帽放在平面上，可以盖住的球（保持官帽不变形）的最大半径为
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知是虚数单位，复数z满足，则复数z的模为 .
13．已知平面向量满足，且，则向量与的夹角为 .
14．一个钢筋混凝土预制件可看成一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体，其尺寸如图所示（单位：米），浇制一个这样的预制件需要 立方米混凝土（钢筋体积略去不计）．
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知是虚数单位，复数，．
(1)当复数为实数时，求的值；
(2)当复数为纯虚数时，求的值；
16．在中，内角，，所对的边分别为，，，且满足.
（1）求的值
（2）若，求的值.
17．如图，在直三棱柱中，，侧棱，分别是的中点.
(1)证明：平面；
(2)求点到平面的距离.
18．如图，在菱形中，，是的中点，且．
(1)求；
(2)以为圆心，2为半径作圆弧，点是弧上的一点，求的最小值．
19．如图，在四棱锥中，底面是矩形，，是棱上一点，且平面.
(1)证明：平面平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值.
参考答案
1．【答案】B
【分析】根据正三角形的中心到三个顶点的距离相等，得到这三个向量的模长相等，即可判断得解.
【详解】是正的中心，向量分别是以三角形的中心和顶点为起点和终点的向量，
到三个顶点的距离相等，但向量，，不是相同向量，也不是共线向量，也不是起点相同的向量.
故选B.
2．【答案】A
【分析】设，求得，根据题意求得的值，即可求解.
【详解】设，可得
因为，所以
解得，所以.
故选A.
3．【答案】D
【详解】因为若直线平面，则l与平面内的任意一条直线都垂直．
所以ABC错误，D正确，
故选：D
4．【答案】A
【分析】利用平面的基本性质求解.
【详解】由于连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格，
所以工人师傅运用的数学原理是“两条相交直线确定一个平面”.
故选A.
5．【答案】C
【分析】利用正弦定理可求得的值，再根据对边，得到内角，可得角有两个解.
【详解】由正弦定理可得，得，可得.
因为对边，所以内角.又因为，所以或，故此三角形有两解.
故选C.
6．【答案】C
【详解】解：因为，所以，
所以
故选：C
7．【答案】A
【详解】在中，由余弦定理得，
，，
因为，
所以，
即，
即，
又因为，
所以，
所以为等腰三角形.
故选：A
8．【答案】C
【详解】如图所示，取的中点，的中点为，连接，
则∥，，且∥，，
可得∥，且，可知四边形是平行四边形，则∥，
且平面，平面，可得∥平面，
同理可得：∥平面，
且，平面，可知平面∥平面，
又因为P点是正方形内的动点，平面，
所以点在线段上，
由题意可知：，可得，
所以P点的轨迹长度为.
故选：C.
9．【答案】CD
【详解】解：，故A对，因为，故，故B对,
虚数不能比较大小，故C错，设仍为虚数，不能与0比较大小，故D错.
故选：CD.
10．【答案】BCD
【详解】对于A，可运用长方体举反例证明其错误，如图，不妨设为直线为直线，
四边形所在的平面为，四边形所在的平面为，
显然这些直线和平面满足题目条件，但不成立，A错误；
对于B，证明如下：设过直线的某平面与平面相交于直线，
则，由
知，从而；B正确
对于C，由平面与平面平行的定义知，如果，那么C正确；
对于D，由平行的传递性及线面角的定义知，如果，那么与所成的角和与所成的角相等，D正确．
故选：BCD．
11．【答案】ACD
【分析】对于A，作圆锥的轴截面图，通过题中数据可求得；对于B，界面三角形的面积，根据正弦函数鹅值域即可判断；对于C，设外接球的球心为O，，则，，再计算即可；对于D，设是内切球的球心，则，可求得，再解三角形即可.
【详解】如图所示，，，，，，所以正确；
，所以最大面积应为，所以错误；
设外接球的球心为，则，，，可见球心在延长线上，，所以C正确；
设是内切球的球心，则，，，得到最大半径为，所以正确．
故选ACD.
12．【答案】
【详解】由
，
故答案为：
13．【答案】150°
【详解】由，得，即，
因为，所以，
所以，又，
所以向量与的夹角为150°.
故答案为：150°
14．【答案】324
【分析】将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体，可求得截面的面积，由柱体的体积公式即可求得预制件的体积.
【详解】将预制件看成由一个长方体挖去一个底面为等腰梯形的四棱柱后剩下的几何体．
所以（平方米），
设该预制件的高为h，则该预制件的体积（立方米）．
故浇制一个这样的预制件需要约324立方米的混凝土．
故答案为：324.
15．【答案】(1)或
(2)
【详解】（1）为实数，，解得：或.
（2）为纯虚数，，解得：.
16．【答案】（1）；（2）.
【分析】（1）由正弦定理可得结果；
（2）先由三角恒等变换求得，再由正弦定理可得结果.
【详解】（1）因为，由正弦定理得，所以；
（2）由（1）知，所以，又，
所以，
由正弦定理得.
17．【答案】(1)证明见解析；
(2).
【详解】（1）证明：如图，取的中点，连，
且，
且，
四边形为平行四边形，，
平面平面，
平面.
（2）解：取中点，连，
且为直三棱柱，
为直角三角形且，平面，
平面，，
由（1）知，
为直三棱柱，为中点，，
，
，
平面，平面，
，
，
设点到平面的距离为，
，
，
有，得，
故点到平面的距离为.
18．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）因为，，
所以，
所以，
所以，又，所以．
为等边三角形，又是中点，
，是直角三角形，，，
，；
（2）以为坐标原点，所在直线为轴，垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示．
则，，设，
所以，，
所以，
其中，，，故，
故当时，取最小值，
所以，此时．
19．【答案】(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）在矩形中，所以，
平面平面平面，
，
在中，为中点，
，
，即，
又平面平面，
平面，
又平面平面平面；
（2）由（1）知，，
平面平面，
又平面，
平面，又平面，
又平面，
，平面平面平面，
平面，由（1）知为中点，
所以到平面距离为，
设到平面的距离为，由，
即，解得，
设直线与平面所成的角为，则
则.
所以直线与平面所成角的正弦值为.