吉林省白山市2023−2024学年高二下学期7月期末 数学试题（含解析）

这是一份吉林省白山市2023−2024学年高二下学期7月期末 数学试题（含解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．某质点的位移y（单位：m）与时间t（单位：s）满足函数关系式，则当时，该质点的瞬时速度为（ ）
A．B．C．D．
2．调查某校高三学生的身高和体重得到如图所示散点图，其中身高和体重相关系数，则下列说法正确的是（ ）
A．学生身高和体重没有相关性
B．学生身高和体重呈正相关
C．学生身高和体重呈负相关
D．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是
3．已知离散型随机变量的分布列为
若，则（ ）
A．2B．3C．6D．7
4．2024年中国足球乙级联赛陕西联合的主场火爆，一票难求，主办方设定了三种不同的票价分别对应球场三个不同的区域，五位球迷相约看球赛，则五人中恰有三人在同一区域的不同座位方式共有（ ）
A．30种B．60种C．120种D．240种
5．已知，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知随机变量，当且仅当时，取得最大值，则（ ）
A．7B．8C．9D．10
7．6月16日，2024中国·吉林边境森林马拉松系列赛长白山站开赛，约3000名跑者穿行长白林海.甲､乙､丙､丁4名志愿者随机派往领奖台､赛后恢复区､赛道服务站三个区域，每个区域至少派1名志愿者，每名志愿者只能去一个区域.表示事件“志愿者甲派往领奖台区域”；表示事件“志愿者乙派往领奖台区域”；表示事件“志愿者乙派往赛后恢复区域”，则（ ）
A．事件与相互独立B．事件与为互斥事件
C．D．
8．已知函数，对任意，总有成立，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．已知二项式的展开式的项数为奇数，其中只有4项为有理项，则（ ）
A．B．展开式中第4项的二项式系数最大
C．展开式中常数项为15D．展开式中各项系数之和为64
10．暑假结束后，为了解假期中学生锻炼身体情况，学生处对所有在校学生做问卷调查，并随机抽取了180人的调查问卷，其中男生比女生少20人，并将调查结果绘制得到等高堆积条形图．已知，其中，，在被调查者中，下列说法正确的是（ ）
A．男生中不经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人数多
B．男生中经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人多8人
C．经常锻炼者中男生的频率是不经常锻炼者中男全的频率的1.6倍左右
D．在犯错误的概率不大于0.01的条件下，可以认为假期是否经常锻炼与性别有关
11．若实数和正数满足，我们则称为一对关联数.已知满足方程的关联数有且仅有两对，则实数的值可为（ ）
A．B．C．D．
三、填空题（本大题共3小题）
12．甲袋中有5个白球、7个红球，乙袋中有4个白球、2个红球，从两个袋中任选一袋，从中任取一球，则取到的球是白球的概率为 .
13．据统计，某外卖公司在市的3000名外卖员每人的月成交单数，其中有600人的月成交单数超1100单，则该市外卖员月成交单数在区间内的人数约为 .
14．若函数与函数的图象存在公切线，则实数t的取值范围为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．某大学研究机构选择了网络游戏这一项目作为研究，来了解网络游戏对大学生的影响.该机构共在某高校发放50份问卷调查，有34名男同学，16名女同学参加了这次问卷调查活动，调查的结果如下图：
(1)完成下面的列联表，并依据的独立性检验，能否认为大学生喜欢玩网游与性别有关？
(2)视本次问卷中的频率为概率，在该校所有学生中任意抽查5名学生，记其中玩过网游的人数为，求.
附：，其中.
16．已知函数在处的切线与直线垂直.
(1)求；
(2)求的极值.
17．某加盟连锁店总部对旗下600个加盟店中每个店的日销售额（单位：百元）进行了调查，如图是随机抽取的50个加盟店的日销售额的频率分布直方图.若将日销售额在的加盟店评定为“四星级”加盟店，日销售额在的加盟店评定为“五星级”加盟店.
(1)根据上述调查结果，估计这50个加盟店日销售额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表，结果精确到0.1）；
(2)若该加盟连锁店总部旗下所有加盟店的日销售额，其中近似为（1）中的样本平均数，根据的分布估计这600个加盟店中“五星级”加盟占的个数（结果精确到整数）；
(3)该加盟连锁店总部决定对样本中“四星级”及“五星级”加盟店进一步调研，现从这些加盟店中随机抽取3个，设为抽取的“五星级”加盟店的个数，求的概率分布列与数学期望.
（参考数据：若，则）
18．为更好探索有机农业的发展，返乡新农人小王在试验田按有机标准改良土壤，经过了三年置换期后，在2017年采用轮作等方式种植有机胡萝卜，并记录了2017-2023年这7年的有机胡夢卜的亩产量，得到数据如下表；
(1)从这7年的有机胡夢卜的亩产数据中任取3年的数据，若至少有2年的亩产量不低于0.5吨/亩，求3年的亩产量都高于0.5吨/亩的概率；
(2)已知这7年间有一年由于天气原因，导致胡萝卜损失很大.若剔除天气因素导致的异常，经计算，与有线性关系，求该经验回归方程，并预测在排除气候因素影响的情况下，2025年小王的有机胡萝卜的亩产量.
附：
19．已知函数.
(1)求的最小值；
(2)设函数，讨论零点的个数.
参考答案
1．【答案】C
【分析】根据题意，求得，得出的值，即可求解.
【详解】由函数，可得，则，
所以当时，该质点的瞬时速度为．
故选C.
2．【答案】B
【分析】由散点图的特点可分析相关性的问题，从而判断选项，根据相关系数的定义可判断选项.
【详解】由散点图可知，散点的分布集中在一条直线附近，
所以学生身高和体重具有相关性，错误；
又身高和体重的相关系数为，相关系数，
所以学生身高和体重呈正相关，正确，错误；
从样本中抽取一部分，相关性可能变强，也可能变弱，所以这部分的相关系数不一定是，错误.
故选.
3．【答案】C
【分析】根据分布列的性质以及数学期望求出的值，即可求得，根据方差的性质，即可求得答案.
【详解】由题意知，
由得，解得，
故，
故，
故选C.
4．【答案】C
【分析】依题意，先将在同一区域的三个人选出并选定区域，再对余下的两人分别在其它两个区域进行选择，由分步乘法计数原理即得.
【详解】要使五人中恰有三人在同一区域，可以分成三步完成：
第一步，先从五人中任选三人，有种方法；
第二步再选这三人所在的区域，有种方法；
第三步，将另外两人从余下的两个区域里任选，有种方法.
由分步乘法计数原理，共有种方法.
故选C.
5．【答案】D
【分析】、选项代入特殊值、即可，选项求展开式中项的系数，选项先求导，再代入特殊值即可.
【详解】令，有，故正确；
是项的系数，，故正确；
令，有，所以，故正确；
对原等式两边同时求导，有，
令，有，故错误.
故选.
6．【答案】B
【分析】由二项分布的概念，根据二项式系数的对称性即可求解.
【详解】由题得，
由题知在中，最大值只有，
即在中，最大值只有，由二项式系数的对称性可知.
故选.
7．【答案】D
【分析】首先计算出甲､乙､丙､丁4名志愿者随机派往领奖台､赛后恢复区､赛道服务站三个区域的所有情况个数，根据古典概型计算事件A，B，C发生的概率，再利用相互独立事件、互斥事件的定义以及条件概率的计算公式进行求解判断.
【详解】由题意易知分组情况为，即所有安排方案有种，领奖台区域可能安排2人或1人，
所以，同理，而，
由相互独立事件的充要条件可知，事件与不相互独立，故A错误；
显然，事件与能同时发生，不为互斥事件，故B错误；
，由条件概率公式知，故错误；
，故D正确.
故选D.
8．【答案】C
【分析】根据给定条件，可得，等价变形不等式，构造函数，按与分段讨论即可得解.
【详解】依题意，，，
显然，则有，于是，
令，求导得，
当，即时，，函数在上单调递增，，即；
当，即时，当时，，函数在上单调递减，
，，此时，不符合题意，
所以实数的取值范围为.
故选C.
【一题多解】依题意，，对任意，总有成立，当时，显然不成立，当时，，由于不等式在定义域上恒成立，显然当时，成立，排除B、D,当时，取，显然不成立，故排除A，选C.
9．【答案】BC
【分析】写出展开式的通项，根据有理项的项数确定，即可判断A、C，根据二项式系数的特点判断B，利用赋值法判断D.
【详解】二项式的展开式中共有项，又为奇数，所以为偶数，故A错误；
又展开式的通项为
由只有项为有理项知，，所以，则展开式中第4项的二项式系数最大，故B正确；
当时，展开式中常数项为，故C正确；
对，令，得展开式中各项的系数之和为，故D错误．
故选BC．
10．【答案】BCD
【分析】根据男生比女生少20人，建立等式求出男生、女生的人数，建立列联表，利用列联表中的信息解决ABC，利用独立性检验来解决D选项．
【详解】设男生人数为，则女生人数为，
由题得，
解得，即在被调查者中，男､女生人数为80，100，可得到如下列联表，
由表可知，A显然错误，
男生中经常锻炼的人数比女生中经常锻炼的人数多B正确；
在经常锻炼者中是男生的频率为，在不经常锻炼者中是男生的频率为C正确；
零假设：假期是否经常锻炼与性别无关，
则，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为假期是否经常锻炼与性别有关，此推断犯错误概率不大于0.01，D正确，
故选BCD．
11．【答案】BC
【分析】令，结合单调性可得，，构建，利用导数判断其单调性和最值，结合图象分析求解.
【详解】令，
因为在上单调递增，可知在上单调递增，
又因为，则，即，
则，可得，则，
令，所以，
当时，，在内单调递减；
当时，，在内单调递增；
可得，
又当时，，且，
画出的大致图象如下：
由图可知若满足方程的有两个解，当且仅当，
结合选项可知AD错误，BC正确.
故选BC.
【方法总结】对于函数零点的个数的相关问题，利用导数和数形结合的数学思想来求解．这类问题求解的通法是：
（1）构造函数，这是解决此类题的关键点和难点，并求其定义域；
（2）求导数，得单调区间和极值点；
（3）数形结合，挖掘隐含条件，确定函数图象与x轴的交点情况进而求解．
12．【答案】
【分析】设事件A表示“选中甲袋”，B表示“选中乙袋”，C表示“取到的球是白球”，
则，由条件结合全概率公式求结论.
【详解】设事件A表示“选中甲袋”，B表示“选中乙袋”，C表示“取到的球是白球”，
则，，，，
故.
故答案为：.
13．【答案】1800
【分析】根据给定条件，求出，再利用正态分布的对称性求出概率即得.
【详解】依题意，，
于是，
所以该市外卖员月成交单数在区间内的人数约为.
故答案为：1800.
14．【答案】
【分析】求出函数的导数，设出曲线与公切线的坐标，利用导数的几何意义求得两切点坐标之间的关系式，进而求出t的表达式，构造函数，利用导数求其最值，即可求得答案.
【详解】由题意得，，
设公切线与曲线切于点，与曲线切于点，
则，则，，
当时，，函数与的图象存在公切线，符合题意；
当时，，即，
故，
令，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
故，故，
综合得实数t的取值范围为，
故答案为：.
【关键点拨】解答时要设出曲线与公切线的切点，利用导数的几何意义，求得切点坐标之间关系，关键在于由此结合该关系求得参数t的表达式，进而构造函数，利用导数解决问题.
15．【答案】(1)答案见解析，与性别无关；
(2).
【分析】（1）根据已知，利用公式计算即可.
（2）根据已知，计算出玩过网游的频率，再利用二项分布的概率公式计算.
【详解】（1）由题意可得列联表如下.
零假设：大学生喜欢玩网游与性别无关，
则
根据的独立性检验可知，假设成立，所以大学生喜欢玩网游与性别无关.
（2）用频率估计概率，可知大学生玩过网游的概率为
由题意可知，玩过网游的人数
所以.
16．【答案】(1)1
(2)极大值1，极小值
【分析】（1）先根据导数的几何意义求得切线斜率为，然后根据两直线垂直列方程求解即可.
（2）利用导数研究函数的单调区间，然后根据极值概念求解即可.
【详解】（1）由可得，
则.因为切线与直线垂直，
所以，解得.
（2）由（1）知，
令得，或，
当时，，
所以的单调递增区间为；
当时，，所以的单调递减区间为.
因此当时，取得极大值1；当时，取得极小值.
17．【答案】(1)13.0；
(2)14；
(3)分布列见解析，数学期望1.
【分析】（1）根据频率分布直方图计算均值即可；
（2）根据正态分布的范围求解概率即可得解；
（3）利用组合求出随机变量的概率得出分布列，求期望即可.
【详解】（1）由频率分布直方图得样本中日销售额为，
的频率分别为，
所以估计这50个加盟店日销售额的平均数为
（百元）.
（2）由（1）知.
因为，所以，
所以，
所以估计这600个加盟店中“五星级”加盟店的个数为.
（3）“四星级”加盟店有
“五星级”加盟店有（个），
所以的所有可能取值为，
，
.
所以的概率分布列为
所以.
18．【答案】(1)；
(2)，2.54吨/亩.
【分析】（1）利用条件概率的计算公式，即可求得答案；
（2）剔除2023年的数据，根据最小二乘法的公式求出的值，即可得经验回归方程，将代入，即可得2025年小王的有机胡萝卜的亩产量.
【详解】（1）由表知，这7年的有机胡萝卜的亩产数据中，有5年的亩产量不低于0.5吨/亩，2年的亩产量低于0.5吨/亩，
记“这7年中任取3年，至少有2年的亩产量不低于0.5吨/亩”，“这7年中任取3年，3年的亩产量都高于0.5吨/亩”，
则
所以.
（2）由表可知，2023年的数据异常，剔除2023年的数据，
则剩余6年的数据中，
，
，
所以，
所以，
所以与的经验回归方程为，
当时，（吨/亩）.
所以在排除气候因素影响的情况下，预测2025年小王的有机胡夢卜的亩产量为2.54吨/亩.
19．【答案】(1)最小值
(2)答案见解析
【分析】（1）先利用导数求出函数的单调区间，进而可求出函数的最小值；
（2）令，得，令，则与有相同的零点，利用导数求出函数的极值点，再分类讨论即可得出结论.
【详解】（1）的定义域为，
则当时，；当时，，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
因此的最小值为；
（2），且，
令，得，
令，则与有相同的零点，
且，
令，则，
因为当时，则，所以在区间上单调递增，
又，所以，使，
且当时，，即；当时，，即，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，
因此的最小值为，
由，得，即，
令，则在区间上单调递增，
因为，所以，则，
所以，从而，即
所以的最小值，
所以当时，没有零点；
当时，有一个零点；
当时，因为，
当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于，
所以有两个零点.
综上，当时，的零点个数为0；
当时，的零点个数为1；
当时，的零点个数为2.
【方法总结】利用导数解决函数零点问题的方法：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；
（3）参变量分离法：由分离变量得出，将问题等价转化为直线与函数的图象的交点问题.0
1
2
3
性别
玩过网游
没玩网游
合计
男生
女生
合计
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
年份
2017
2018
2019
2020
2021
2022
2023
年份代码
1
2
3
4
5
6
7
亩产量/吨/亩）
0.4
0.5
0.8
1.1
1.5
1.7
0.2
性别
锻炼情况
合计
经常锻炼
不经常锻炼
男
48
32
80
女
40
60
100
合计
88
92
180
性别
玩过网游
没玩过网游
合计
男生
22
12
34
女生
8
8
16
合计
30
20
50
0
1
2
3