内蒙古自治区赤峰市赤峰第四中学2024−2025学年高一上学期12月月考 数学试题（含解析）

这是一份内蒙古自治区赤峰市赤峰第四中学2024−2025学年高一上学期12月月考 数学试题（含解析），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知命题；命题，则（ ）
A．p和q都是真命题B．和q都是真命题
C．p和都是真命题D．和都是真命题
3．函数的零点所在的区间是（ ）
A．B．C．D．
4．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
5．若实数，满足，则的最小值是（ ）
A．18B．6C．D．
6．若，，，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
8．定义在R上奇函数，，当时函数单调递增，则不等式的解集是( )
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．给定函数，，对于，用表示，中的最大者，记为，下列关于函数的说法正确的是（ ）
A．函数是偶函数B．函数的最大值是
C．函数在递增D．函数有四个单调区间
10．已知定义域为R的函数在上为增函数，且为偶函数，则（ ）
A．的图象关于直线对称B．在上为增函数
C．D．
11．定义在上的函数若满足：①对任意、，都有；②对任意，都有，则称函数为“中心捺函数”，其中点称为函数的中心.已知函数是以为中心的“中心捺函数”，则使得不等式成立的的取值可能是（ ）
A．B．0C．2D．4
三、填空题（本大题共3小题）
12．已知幂函数的图象过点，则 .
13．函数的单调递增区间为 .
14．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示的图形，点在以为直径的半圆上，为圆心，点在半径上（不与点重合），且．设，则 （用表示），由可以得出的关于的不等式为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．设为实数，集合，.
(1)若，求，；
(2)若，求实数的取值范围.
16．计算下列各式的值：
(1)
(2).
17．已知关于的不等式的解集为.
(1)求实数，的值；
(2)若正实数，满足，求的最小值.
18．如今中国已经成为全球最大的新能源汽车消费市场，并且建成了高效的协同产业体系，2024年上半年新能源汽车销售469万辆，同比增长29.7%.某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产x（千辆）获利（万元），关系如下：，该公司预计2024年全年其他成本总投入为万元.由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求.记2024年的全年利润为（单位：万元）.
(1)求函数的解析式；
(2)当2024年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由.
19．已知函数为奇函数.
(1)写出的定义域，并求的值；
(2)判断函数的单调性，并利用定义加以证明；
(3)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围．
参考答案
1．【答案】C
【详解】因为；
.
所以.
故选：C
2．【答案】B
【详解】解析：对于p而言，取，则有，故p是假命题，是真命题，
对于q而言，取，则有，故q是真命题，是假命题，
综上，和q都是真命题.
故选：B.
3．【答案】C
【详解】因为函数在上单调递减，
又，，，
所以，
所以函数有唯一零点，且在内.
故选C.
4．【答案】C
【详解】由于，
故，
故“”是“”的充要条件，
故选C.
5．【答案】B
【详解】由于，故，
当且仅当，即时等号成立，
故选B.
6．【答案】D
【详解】，在上单调递增，
，
故，所以，
，在上单调递增，
，故，即，所以．
故选：D
7．【答案】A
【详解】因为函数是上的减函数，
所以；解得.
故选A.
8．【答案】D
【详解】
由题意可得，(1)，在上单调递增，的图象如图所示：
再根据，可得与异号，①，或②．
由①可得x∈∅，由②可得，故的范围是：．
故选D．
9．【答案】AD
【详解】如图：
对A：由图可知，的图象关于轴对称，所以函数为偶函数，故A正确；
对B：由图可知，函数在上单调递增，且，所以，当时，，故B错误；
对C：由图象可知，函数在0,1上单调递减，故C错误；
对D：由图象可知，函数在和0,1上单调递减，在和1,+∞上单调递减，所以函数有四个单调区间.故D正确.
故选：AD
10．【答案】AD
【详解】对于A，因为函数fx-1为偶函数，其图象关于对称，
所以函数的图象关于对称，故A正确；
对于B，函数在上为增函数且函数的图象关于对称，
所以函数在上为减函数，故B错误；
对于C，由于函数的图象关于对称，且函数在上为增函数，
所以，故C错误；
对于D，由于，
因为函数在上为减函数，且，
所以，即，故D正确.
故选AD.
11．【答案】AD
【详解】因为函数满足条件①，
所以当时，，故是减函数，
又函数满足条件②，则的图象关于点对称，
由于函数是以1,0为中心的“中心捺函数”，
所以函数是以为对称中心，即函数是奇函数，
又是减函数，所以也是减函数，
不等式化为，
所以，解得或，只有AD满足．
故选AD.
12．【答案】
【详解】设，因为函数的图象过点，
所以，解得，所以，
所以.
故答案为：
13．【答案】
【详解】因为，解得或，
所以函数的定义域为，
设，则原函数，
因为在单调递减，
在单调递减，在单调递增，
所以的单调递增区间为.
故答案为：.
14．【答案】 （也可以写作）
【详解】，，
，
由可得，即．
故答案为：；.
15．【答案】(1)，或x>5；
(2)
【详解】（1）时，，
所以，
所以或x>5.
（2）由，得或，
即或，
所以实数的取值范围是.
16．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
.
（2）.
17．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由题意得是方程的两根，再利用韦达定理即可得解；
（2）结合（1）中结论，利用基本不等式“1”的妙用即可得解.
【详解】（1）因为关于的不等式的解集为，
所以是方程的两根，
由韦达定理得，解得；
（2）由（1）得，
则，
当且仅当，即时取等号，
所以取得最小值.
18．【答案】(1)；
(2)当2024年产量为4千辆时，该企业利润最大，最大利润是480万元.
【详解】（1）依题意，，而，
所以函数的解析式为，即.
（2）当时，在上单调递减，在上单调递增，
当时，；
当时，
，当且仅当，即时取等号，
而，则当时，，
所以当2024年产量为4千辆时，该企业利润最大，最大利润是480万元.
19．【答案】(1)定义域为，
(2)函数在定义域上单调递增，证明见解析
(3)
【详解】（1）对任意的x∈R，，则函数的定义域为R，
则，解得，此时，，
满足，
所以，当时，函数为奇函数.
（2）由（1）知：，
则函数在定义域R上单调递增，
证明如下：
设任意的，则
因为，则，则，
又，，
所以，，即，
所以，函数在定义域R上单调递增.
（3）因为不等式对任意的恒成立，
且函数为R上的奇函数，
所以，对任意的恒成立，
又因为函数为增函数，则，
则对任意的恒成立，
所以，，解得.
因此，实数的取值范围是.