上海海事大学附属北蔡高级中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题

这是一份上海海事大学附属北蔡高级中学2024-2025学年高一下学期期末考试数学试题，共19页。试卷主要包含了填空题，单选题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.366°是第_____象限的角.
2.若,那么在方向上的数量投影为_____.
3.直线,若,,则的位置关系是_____.
4.函数的值域是_____.
5.已知平面向量,若,则_____.
6.已知为虚数单位,若,则的取值范围为_____.
7.函数的对称轴方程是_____
8.若是关于的方程的根,则_____.
9.在中,角所对的边分别为,若,则_____.
由余弦定理得,可得.
10.已知直线与平面,给出下列命题:
①；②；
③；④.
其中正确的命题是_____.(填序号)
11.已知是外一点,过点的两条直线分别交于,交于,且,则的长为_____.
12.如图,是以为直径的半圆(不含端点)上一动点,,且.若,则的取值范围是_____.
二、单选题
13.已知为虚数单位,则（ ）
A.3i B.i C. D.
14.已知是同一平面内所有向量的一个基底,则“”是“的夹角是钝角”的()
A.充分非必要条件 B.充要条件
C.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件
15.利用三角函数图象,求出中的取值范围（ ）
A. B.
C. D.
16.如图1,“六芒星”由两个全等的正三角形组成,中心重合于点且三组对边分别平行,点是“六芒星”(如图2)的两个顶点,动点在“六芒星”上(包含内部以及边界),若,则的取值范围是()
A. B. C. D.
三、解答题(8+10+10+12+12)
17.已知复数,其中.
(1)若是实数,求实数的值；
(2)若是纯虚数,求实数的值；
(3)若在复平面内对应的点在第四象限,求实数的取值范围.
18.如图,在四面体中,,点为线段的中点,且.
(1)证明:直线平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
19.如图,某公司要在、两地连线上的定点处建造广告牌,其中为顶端,长35米,长80米.设、在同一水平面上,从、看的仰角分别为、.
(1)设计中是铅垂方向,若要求,求的长(结果精确到0.01米):
(2)施工完成后与铅垂方向有偏差,现实际测得,求的长和的大小(结果精确到0.01米和).
20.如图,长方体中,,点为的中点.
(1)求证:直线平面；
(2)求异面直线与所成的角的大小；
(3)求点与平面的距离.
21.定义函数的“积向量”为,向量的“积函数”为
(1)若,求最大值及对应的取值集合；
(2)若向量的“积函数”满足,求的值;
(3)已知,设,且的“积函数”为,其最大值为,求的最小值,并判断此时的关系.
2024-2025学年海大附中高一下期末考试
一、填空题(3*12=36)
1.366°是第_____象限的角.
【答案】一
【解析】由,
故为第一象限角.
2.若,那么在方向上的数量投影为_____.
【答案】
【解析】因为,
所以,,
所以在方向上的数量投影为.
3.直线,若,,则的位置关系是_____.
【答案】相交、平行或异面
4.函数的值域是_____.
【答案】
5.已知平面向量,若,则_____.
【答案】
【解析】,且,
,解得,
.
6.已知为虚数单位,若,则的取值范围为_____.
【答案】
【解析】因为表示单位圆,表示单位圆上点到的距离。
距离计算:定点到原点的距离为5,结合单位圆半径1,直接得出距离范围为。
7.函数的对称轴方程是_____
【答案】,
【解析】
由,,得,.
函数的对称轴方程是:,.
8.若是关于的方程的根,则_____.
【答案】4
9.在中,角所对的边分别为,若,则_____.
【答案】
【解析】根据,可得,结合,解得,.
中,,
由余弦定理得,可得.
10.已知直线与平面,给出下列命题:
①；②；
③；④.
其中正确的命题是_____.(填序号)
【答案】①②
【解析】考虑线在面内,所以③④错误
11.已知是外一点,过点的两条直线分别交于,交于,且,则的长为_____.
【答案】20或4
【解析】
如图所示,因为平面平面,
所以,
,
.
当在平面与平面之间时,
.
故答案为:20或4.
12.如图,是以为直径的半圆(不含端点)上一动点,,且.若,则的取值范围是_____.
【答案】
【解析】以所在直线为轴,所在直线为轴,建立直角坐标系.
设,,则,且.
,当且仅当时取等号,.
二、单选题
13.已知为虚数单位,则（ ）
A.3i B.i C. D.
【答案】B
14.已知是同一平面内所有向量的一个基底,则“”是“的夹角是钝角”的()
A.充分非必要条件 B.充要条件
C.必要非充分条件 D.既非充分也非必要条件
【答案】B
【解析】由题意,,是非零向量,且不共线,
当时,可得,即的夹角为钝角；
当的夹角为钝角时,有,即;
故“”是“”的夹角是钝角”的充要条件.
故选:.
15.利用三角函数图象,求出中的取值范围（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由得,
由正切函数的性质得
使不等式的的取值范围是故选.
16.如图1,“六芒星”由两个全等的正三角形组成,中心重合于点且三组对边分别平行,点是“六芒星”(如图2)的两个顶点,动点在“六芒星”上(包含内部以及边界),若,则的取值范围是()
A. B. C. D.
【答案】C.
【解析】设,求的范围,只需考虑图中6个向量的情况即可,讨论如下:
(1)若在点,因为,所以;
(2)若在点,因为,所以;
(3)若在点,因为,所以;
(4)若在点,因为,所以,;
(5)若在点,因为,所以;
(6)若在点,因为,所以.
所以的最大值为.
根据对称性,可知的最小值为-5.
故的取值范围是.
三、解答题(8+10+10+12+12)
17.已知复数,其中.
(1)若是实数,求实数的值；
(2)若是纯虚数,求实数的值；
(3)若在复平面内对应的点在第四象限,求实数的取值范围.
【解析】复数,其中.
(I)若是实数,则,解得或；
(II)若是纯虚数,则,解得；
(III)若在复平面内对应的点在第四象限,则,解得,
故实数的取值范围为(0,2).
18.如图,在四面体中,,点为线段的中点,且.
(1)证明:直线平面；
(2)求直线与平面所成角的正弦值；
【解析】(1)证明:因为点为中点,且,
所以,
因为,即,,
所以平面,则,
在中,,,
则,
因为,,
所以,所以,
又,所以平面.
(2)如图,过点作,垂足为,连接,
由(1)知平面,所以,
又,
所以平面,则为与平面所成的角,
因为,,
则.
19.如图,某公司要在、两地连线上的定点处建造广告牌,其中为顶端,长35米,长80米.设、在同一水平面上,从、看的仰角分别为、.
(1)设计中是铅垂方向,若要求,求的长(结果精确到0.01米):
(2)施工完成后与铅垂方向有偏差,现实际测得,求的长和的大小(结果精确到0.01米和).
【解析】(1)设CD的长为米,则,,
因为,所以tanα=tan2β>0,则,
即,解得:米.
故CD的长为28.28米.
(2)由题设ADB=180°--β=120.7°,
由正弦定理得,即米,
所以,则米,
又,则
故CD的长为28.57米,.
20.如图,长方体中,,点为的中点.
(1)求证:直线平面；
(2)求异面直线与所成的角的大小；
(3)求点与平面的距离.
【解析】(1)证明:设和交于点,则为的中点.
连结,又因为是的中点,所以.
又因为平面,平面
所以直线平面.
(2)由(1)知,,所以即为异面直线与所成的角.
因为,所以，,
所以异面直线与所成的角的大小为.
（3）点与平面的距离为.
21.定义函数的“积向量”为,向量的“积函数”为
(1)若,求最大值及对应的取值集合；
(2)若向量的“积函数”满足,求的值;
(3)已知,设,且的“积函数”为,其最大值为,求的最小值,并判断此时的关系.
【解析】(1)若,,则由题意,
可得,
当,,即,时,
函数有最大值2,
此时对应的取值集合为,；
(2)由“积函数”满足,
可得,
令,则有,
所以,,即,,
所以;
(3)因为,
所以
,
所以
,
此时存在满足,,
当且仅当时等号成立,
所以,即,,
所以
成立,
且,则,
所以,
当时,取得最小值为.