2026上海海事大学附属北蔡高级中学高一上学期期末试卷数学

这是一份2026上海海事大学附属北蔡高级中学高一上学期期末试卷数学，共14页。试卷主要包含了方程的解集为________等内容，欢迎下载使用。
（考试时间：120分钟 ）
填空题（）
1.已知集合，，若，则 .
2.函数的定义域为____________
3.设是实数，若是的必要条件，则的取值范围是____________
4.用“二分法”研究函数的零点时，第一次经计算可知，说明该函数在区间内存在零点，下一次应计算，则 ．
5.用反正法证明命题“若”时，第一步应该假设____________
6.已知关于的方程有一正一负两个实数根，则实数的取值范围是 .
7.方程的解集为________
8.已知扇形的面积是1，周长是4，则扇形的圆心角（正角）为 弧度
9．在声学中，声强级L（单位：dB）由公式给出，其中I为声强（单位：）．若（dB为声强单位:分贝）对应的声强为，对应的声强为，则 ．
10.已知为定义域上的严格增函数，则实数的取值范围为____________.
11.若正实数满足，且不等式恒成立，则实数m的取值范围是 ．
12．设集合S，T都至少含有两个元素，且S，T同时满足：条件1：对任意，若，则；条件2：对任意，若，则．给出下列说法：
①若S只有2个元素，则这2个元素互为相反数；
②若S只有2个元素，则必有3个元素；
③若S只有2个元素，则可能有4个元素；
④存在含有3个元素的集合S，满足有4个元素；
其中所有正确说法的序号是 ．
选择题（）
13.已知，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．C．D．
14.下列说法正确的是（ ）
A．若角与角不相等，则与的终边不可能重合
B．角的大小是一个与半径大小无关的值
C．终边落在直线上的角的集合是
D．若角是锐角，则一定是钝角
15.函数与在同一平面直角坐标系中的大致图象为（ ）
A．B．
C．D．
16.定义区间的长度均为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，的长度．用表示不超过x的最大整数，记，其中．设，当时，不等式解集的区间长度为，则实数k的最小值为（ ）．
A．B．C．6D．7
解答题（）
17.已知幂函数的图象关于y轴对称，且在区间上严格增.
(1)求的值；（6分）
(2)求满足不等式的实数的取值范围.（8分）
18.如图，已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，为角终边与单位圆的交点，将角的终边绕点按逆时针方向旋转后得到角，此时点旋转至点.
(1)求的值；（4分）
(2)求的值（4分）
(3)求的值.（6分）
19.已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
(1)请证明函数是上的严格增函数（6分）
(2)求的值，把函数图象补充完整，写出函数其他的单调区间（直接写出结果）；并求函数在上的值域.（6分）
(3)讨论方程的解的个数(6分）
20.两次购买同一种物品，通常有两种不同的策略．
策略①不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量相同
策略②不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的金额相同
已知某人两次购买同一种物品，第一次、第二次购买时的价格分别为，设采用策略①时，两次购买的数量均为；采用策略②时，两次购买的金额均为．
(1)若，请计算策略①购买的产品总量以及购买产品使用的总金额，以及策略②购买的产品总量以及购买产品使用的总金额.（4分）
(2)请问，采用哪种策略更经济？说明理由；（6分）
(3)请根据(2)的讨论，从两种策略的平均价格入手得出一个一般性的数学结论。并用此结论解决下面问题“设，且，求的最小值．”（4分）
21.设函数的定义域为，如果对内的任意一个，都有，且，则称为“自关联函数”，请根据上述定义回答下列问题：
(1)判断函数和是否为“自关联函数”（4分）
(2)若为上的“自关联函数”，当时，，是否存在正整数，使得成立？若存在，求出的所有值，若不存在，请说明理由．（6分）
(3)若为上的“自关联函数”，其函数值恒大于0，且在上是严格减函数．设，且．解不等式（8分）
2025学年度高一（上）期末考试参考答案
1．
【分析】利用子集的定义求解.
【详解】，，，
集合中所有的元素都在集合中，
集合中的元素在集合中，
.
故答案为：.
2．
3.
4．1
【分析】根据二分法的原理可解.
【详解】第一次经计算可知，
说明该函数在区间内存在零点，
下次计算，.
故答案为：1
5．
6．
【分析】由根与系数的关系得到不等式，即可解出实数的取值范围.
【详解】设方程的一正一负两个根为，
则，解得，
故答案为：.
7.
8．
【分析】根据题干条件代入公式求得扇形的半径和弧长，再利用弧长公式即可求出.
【详解】设扇形的半径为，弧长为，则，即，
又扇形的面积是1，，，解得，，
设扇形的圆心角为弧度，
根据弧长公式可得，即，解得.
故答案为：.
【分析】根据条件，指对互化得，再结合条件得，，即可求解.
【详解】由，得到，所以，
又若对应的声强为，对应的声强为，
所以，，则，
故答案为：.
10.
【分析】结合对数函数的性质直接解不等式即可.
【详解】由，
若，则，矛盾，舍去；
若，则，
综上，.
故答案为：
11．
【分析】将问题转化为，利用基本不等式求的最小值，再解绝对值不等式即可求解.
【详解】因为不等式恒成立，所以，
因为正实数满足，所以，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，所以.
所以，即，所以，
解得，则实数m的取值范围是.
故答案为：.
12.①②④
13．D
【分析】利用不等式的性质，结合作差比较法逐一判断各选项即可.
【详解】对于A，因，由，可得，故A错误；
对于B，因，则，利用不等式的性质，可得，即，故B错误；
对于C，因，由，可得，故C错误；
对于D，因，利用不等式的性质，可得，即，故D正确.
故选：D.
14．B
【分析】由任意角的定义，终边相同角，象限角的定义，
【详解】A，若角与角不相等，例如，，二者不相等但终边重合，故错误，
B，角的大小是一个与半径大小无关的值，角的大小与角两边的张开程度有关，故正确，
C，终边落在直线上的角，在第一象限的角为，在第三象限的角为，合并后，故错误.
D，，则是锐角，不一定是钝角，故错误.
故选：B.
15．D
16．B
【分析】根据的定义将化为，对，，…，依次讨论，求解不等式直到满足解集的区间长度为，从而可求得最小值.
【详解】，，
即，
当时,，上式可化为，∴，其区间长度为；
当 时,，上式可化为，∴；
当 时,，上式可化为，∴；
当 时,，上式可化为，∴；
当 时,，上式可化为，∴；
当 时,，上式可化为，∴，其区间长度为；
当 时,，上式可化为，∴，其区间长度为；
当 时,，上式可化为，∴，其区间长度为；
所以当 时, 不等式的解集为；
∴当时，不等式解集的区间长度为 ，
所以实数k的最小值为.
故选：B
【点睛】函数新定义的题目，解题关键点是围绕着新定义的概念和运算进行分析.
17．(1)或
(2)
【分析】（1）由幂函数的单调性和图象的对称性确定指数取值范围即可求解；
（2）直接根据函数解析式解不等式即可.
【详解】（1）由题意，幂函数的图象关于轴对称，且在上单调递增，故可知其指数为正偶数，
故有，解得或.
若，则，此时为偶函数，符合题意；
若，则，此时为偶函数，符合题意.
综上所述，或，.
（2）由，可得，整理得，
解得，即.
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根据三角函数的定义可求出答案；
（2）由题意知，利用三角函数的定义和诱导公式即可求出答案.
（3）利用诱导公式化简即可求出答案.
【详解】（1）因为为角终边与单位圆的交点，
根据三角函数的定义可得.
（2）因为为角终边与单位圆的交点，
根据三角函数的定义可得，，
由题意知，
所以，，
所以.
（3），
，
，
，
所以.
19．(1)在内任取，

(2)作图见解析，单调递增区间为，，单调递减区间为，
【分析】（1）当时，，代入条件，化简整理，结合奇函数的定义，可求得时的解析式，即可得答案.
（2）根据解析式，结合二次函数的性质，可作出图象，根据图象，可得单调区间.
【详解】（1）在内任取，

（2）由（1）可得解析式，作出的图象，如图所示：

由图象可知，的单调递增区间为，；
单调递减区间为，.
在上的值域为
时 方程有一解
时，方程有两解
，方程有3解
20．(1)策略1够得120件产品，共用180元；策略2够得135件产品，共用180元
(2)答案见解析
(3)2.
【分析】（1）根据给定条件，列式表示两种策略，再作差比较大小即可；
（2）将给定等式变形为，再利用（1）的结论求出最小值.
【详解】（2）采用策略①，两次购买物品的数量均为，则两次的平均价格为；
采用策略②，两次购买的金额均为，购买物品的数量依次为，
则两次平均价格为，
又，于是
当时，两次购买的平均价格相等，采用策略①与采用策略②一样经济；
当时，，采用策略②比采用策略①更经济.
（3）由（1）知，，，当且仅当时取等号，
当时，由，得，即，
因此，当且仅当时取等号，则，
所以的最小值为2.
21．1．(1)是，不是；
(2)不存在，理由见解析；
(3)
【分析】（1）利用“自关联函数”的定义判断两个函数即可.
（2）利用“自关联函数”的定义求出函数解析式，按和分类并结合零点存在性定理推理判断.
（3）根据定义可得，结合已知判断其单调性，并借助对数函数的单调性求解不等式.
【详解】（1）函数的定义域为，有，且，
所以是“自关联函数”；
函数的定义域为，而，，
所以不是“自关联函数”.
（2）由是上的“自关联函数”，得当时，，，
则，即函数，
当时，函数在上都单调递减，在上单调递减，
因此在上单调递增，，方程无解；
当时，函数在上单调递增，，
，则，使得，而，
所以方程无正整数解，即不存在正整数使成立.
（3）由是上的“自关联函数”，得，，
由，得，
由在上是严格减函数，得，则，，，
于是，即，因此函数在上是减函数，
由，得，不等式
，
即，解得，又因为，
所以原不等式的解集为.
题号
9
10
11
12






答案
D
B
D
B