广东省湛江第一中学2023−2024学年高一下学期期末考试（7月） 数学试题（含解析）

这是一份广东省湛江第一中学2023−2024学年高一下学期期末考试（7月） 数学试题（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．已知，若为纯虚数，则（ ）
A．B．2C．1D．
2．下列说法正确的是（ ）
A．棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
B．棱柱的侧面都是全等的平行四边形
C．有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱
D．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
3．某读书会有6名成员，寒假期间他们每个人阅读的书本数分别如下：3，2，5，4，3，1，则这组数据的75%分位数为（ ）
A．3B．4C．3.5D．4.5
4．雷锋塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一、中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔.如图，某同学为测量雷锋塔的高度，在雷锋塔的正西方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点E处（A，C，E三点共线）测得建筑物顶部B，雷锋塔顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则雷锋塔的高度约为（ ）
A．B．C．D．
5．已知函数的部分图如图所示，且，则（ ）
A．B．
C．D．
6．如图所示直三棱柱容器中，且，把容器装满水(容器厚度忽略不计)，将底面BCFE平放在桌面上，放水过程中当水面高度为AB的一半时，剩余水量与原来水量之比的比值为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，已知四棱，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱长相等且为4，E为CD的中点，则异面直线CM与AE所成的角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
8．在斜三角形中，角的对边分别为，点满足，且，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．今年“五一”假期，各大商业综合体、超市等纷纷抓住节日商机，积极开展各类促销活动．在某超市购买80元以上商品的顾客可以参加一次抽奖活动，若顾客小王中奖的概率为0.4，顾客小张中奖的概率为0.2，则（ ）
A．小王和小张都中奖的概率为0.1
B．小王和小张都没有中奖的概率为0.46
C．小王和小张中只有一个人中奖的概率为0.44
D．小王和小张中至多有一个人中奖的概率为0.92
10．如图，已知圆锥MO，AB是底面圆的直径，点C为圆周上的一个动点，圆锥的高与底面半径都等于8，则下列说法正确的是（ ）

A．圆锥的母线长为
B．圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为
C．当三棱锥的体积最大时，
D．若，则异面直线MB与AC所成的角的正弦值为
11．已知O是所在平面内一点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则为钝角三角形
C．若O为的垂心，，则
D．若，则点O的轨迹经过的重心
三、填空题（本大题共3小题）
12．某市场有四类食品，其中粮食类、蔬菜类、肉类和水果类分别有10种、20种、20种和50种，现在从中抽取一个容量为50的样本进行食品安全检测，若采用按比例分配的分层抽样的方法抽取样本，则抽取的粮食类和水果类的样本数之和为 ．
13．已知，，则 ．
14．已知是球O的直径，，C，D是球面上两点，，，与平面所成的角为，则四面体的体积为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．已知向量，，．
(1)求在上的值域；
(2)求函数图象的对称中心坐标和对称轴方程．
16．某中学为了组建一支业余足球队，在高一年级随机选取50名男生测量身高，发现被测男生的身高全部在到之间，将测量结果按如下方式分成六组：第1组，第2组，…，第6组，如图是按上述分组得到的频率分布直方图，以频率近似概率.
（1）若学校要从中选1名男生担任足球队长，求被选取的男生恰好在第5组或第6组的概率；
（2）试估计该校高一年级全体男生身高的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）与中位数；
（3）现在从第5与第6组男生中选取两名同学担任守门员，求选取的两人中最多有1名男生来自第5组的概率.
17．如图，在三棱锥中，平面分别为棱PC，PB的中点.
(1)求证：平面平面；
(2)若，求二面角的大小.
18．在中，角的对边分别为，已知.
(1)若的内角平分线交于点，求的长；
(2)若与的内角平分线相交于点的外接圆半径为2，求的最大值.
19．如图，在三棱柱中，侧面为矩形．
(1)设为中点，点在线段上，且，求证：平面；
(2)若二面角的大小为，且，求直线和平面所成角的正弦值．
参考答案
1．【答案】B
【分析】借助复数运算法则计算后结合纯虚数定义即可得.
【详解】，
若为纯虚数，则，解得.
故选B.
2．【答案】C
【分析】利用棱柱的定义判断ABC；利用棱台的定义判断D.
【详解】对于A，正六棱柱正对的两个侧面平行，但它们不是正六棱柱的底面，A错误；
对于B，底面邻边不等的长方体的相邻两个侧面不全等，B错误；
对于C，由棱柱的定义知，C正确；
对于D，当截面与棱锥的底面不平行时，棱锥底面与截面之间的部分不是棱台，D错误.
故选C.
3．【答案】B
【分析】这组数从小到大排列顺序为：1，2，3，3，4，5，根据，结合百分数的定义，即可求解.
【详解】由题意，这组数从小到大排列顺序为：1，2，3，3，4，5，
由，可得这组数据的75%分位数为从小到大排列的第5个数为4.
故选B.
4．【答案】C
【分析】在直角三角形中利用锐角三角函数表示斜边长，根据三角形内角和以及平行线性质可得角的度数，在结合正弦定理，可得答案.
【详解】在中，；在中，；
由图可知，易知，
在中，，根据正弦定理可得：，
则.
故选C.
5．【答案】C
【分析】根据题意，结合函数的图象，以及正弦函数的性质，求得的值，即可求解.
【详解】由函数的图象，可得，所以，可得，
所以函数，
又由，可得，
因为，可得只有时满足题意，可得，
又因为，可得，所以.
故选C.
6．【答案】A
【分析】根据柱体体积计算公式分析即可得答案．
【详解】
如图，柱体体积公式是底面积乘高，高没变，没有水的部分底面积变为原来的，
故放出水量是原来水量的，剩余水量是原来水量的．
故选A．
7．【答案】D
【分析】取有中点，利用几何法，结合余弦定理求出异面直线夹角的余弦.
【详解】取的中点，连接，由E为CD的中点，得，，
则是异面直线CM与AE所成的角或其补角，
正方形中，，在中，，
，，
于是，
所以异面直线CM与AE所成的角的余弦值为.
故选D.
8．【答案】A
【详解】因为，
由余弦定理得，
又因为是斜三角形，所以，所以，
由正弦定理得，因为，
所以，所以，
所以，所以，
所以，
因为，
化简得，解得或（舍去），
所以，
设边的中点为，则，
因为，所以，
即为的中点，所以.
故选A.
【思路导引】通过正余弦定理转化得，对变形得，两边同平方得，解出，再利用三角形面积公式和向量中线公式即可得到答案.
9．【答案】CD
【分析】对于A和B，利用相互独立事件的概率乘法公式计算即得；对于C，利用互斥事件的概率加法公式即得；对于D，利用对立事件的概率公式计算即得.
【详解】对于A，因小王和小张中奖相互独立，则小王和小张都中奖的概率为，故A错误；
对于B，小王和小张都没有中奖的概率为，故B错误；
对于C，小王和小张中只有一个人中奖包括两种情况：
①小王中奖但小张没中奖
②小张中奖但小王没中奖
两者互斥，故只有一个人中奖的概率为：，故C正确；
对于D，因“小王和小张中至多有一个人中奖”的对立事件为“小王和小张都中奖”，
故小王和小张中至多有一个人中奖的概率为，故D正确.
故选CD.
10．【答案】ACD
【分析】根据给定条件，利用圆锥的结构特征，结合线面角、异面直线的夹角求解.
【详解】对于A，圆锥的母线长为，A正确；
对于B，平面，则母线与底面所成的角等于，，B错误；
对于C，平面平面，且交线为，则点在平面上的射影在线段上，
当是弧中点，即时，点到平面的距离最大，而面积为定值，
此时三棱锥的体积最大，反之亦然，C正确；
对于D，当时，，连接并延长交圆于，连接，，有，则，是异面直线与所成角或其补角，，，，，D正确.
故选ACD.

11．【答案】ACD
【分析】利用向量数量积定义及运算律，结合垂心、正弦定理逐项公板判断即可.
【详解】对于A，由，得，则，为等腰三角形，A正确；
对于B，由，得，整理得，角是锐角，不能确保为钝角三角形，B错误；
对于C，由O为的垂心，得，则，C正确；
对于D，令边中点为，由正弦定理得，即，则，因此点的轨迹是直线上，而直线过的重心，所以点O的轨迹经过的重心，D正确.
故选ACD.
【易错警示】与（或）的计算时，前者的夹角是，后者的夹角为.
12．【答案】30
【分析】根据给定条件，利用分层抽样的抽样比计算即得.
【详解】依题意，抽取的粮食类的样本数为，
抽取的水果类的样本数为，
所以抽取的粮食类和水果类的样本数之和为30.
故答案为：30.
13．【答案】
【分析】根据给定条件，切化弦，再利用二倍角公式化简求出角.
【详解】由，得，即，
由，得，整理得，
所以.
故答案为：.
14．【答案】2
【分析】取中点H，由已知可证平面平面，得，解得，由求出体积即可.
【详解】球O的半径为2，，为等边三角形，
取中点H，连接，如图所示，

则，由与，平面，，所以平面，
平面，则有平面平面，
平面平面，故即与平面所成线面角，即，
，
.
故答案为：2.
15．【答案】(1)；
(2)对称中心，对称轴.
【分析】（1）利用数量积的坐标表示，结合二倍角的余弦公式及辅助角公式化简求得，再求出值域.
（2）由（1）中函数式，结合正弦函数性质求出对称中心及对称轴.
【详解】（1）依题意，，
当时，，则，
所以的值域为.
（2）由，得，
所以函数图象的对称中心坐标为；
由，得，
所以函数图象的对称轴方程为.
16．【答案】（1）0.12；（2）平均数为168.72，中位数为168.25；（3）.
【分析】（1）由直方图可得，被选取的男生恰好在第5组或第6组的概率；
（2）每个矩形的中点横坐标与该矩形的纵坐标、组距相乘后求和可得平均值；直方图左右两边面积相等处横坐标表示中位数；
（3）利用列举法，从第5与第6组男生中选取两名同学担任守门员共有15种情况，其中选取的两人中最多有1名男生来自第5组的情况有9种，由古典概型概率公式可得结果.
【详解】（1）被选取的男生恰好在第5组或第6组的概率
.
（2）全体男生身高的平均数为.
设全体男生身高的中位数为，因为第1组对应的频率为0.20，第2组对应的频率为0.28，所以，则，解得.
（3）第5组有人，记为，，，，同理第6组有2人记为，，
所有的情况为、、、、、、、、、、、、、、，共15种，
选取的两人中最多有1名男生来自第5组的有、、、、、、、、共9种，
所以所求概率为.
17．【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）由平面，可得，在中，，由正弦定理可得，则得平面，再由，即可证得平面平面；
（2）取中点，连接，可得平面，得即为二面角的平面角，再由棱长关系即可求得，进而得到二面角的大小.
【详解】（1）平面，平面，
，
在中，，
由正弦定理，则，
，又，平面，
平面，又分别为棱PC，PB的中点，
，则平面，又平面，
平面平面.
（2）
如图，取中点，连接，
又为PB的中点，，，
由平面，平面，
又平面，，
由（1）知，，
平面，，
平面，又平面，，
则即为二面角的平面角，
设，则，，
，
在直角三角形中，
，，
即二面角的大小为.
18．【答案】(1)
(2)4
【详解】（1）

因为是内角的平分线，所以，
因为，所以，
即，
解得；
（2）

因为的外接圆半径为2，，
所以，，
因为与的内角平分线相交于点，
所以，即，
在中，由余弦定理可得，
所以，
因为，
所以，
所以，，当且仅当等号成立，
所以的最大值为4.
【思路导引】（1）利用计算可得答案；
（2）根据与的内角平分线相交于点可得，在中，由余弦定理可得，再利用基本不等式可得答案.
19．【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接交于，连接，由题可得，然后利用线面平行的判定定理即得；
（2）在平面中，过点C作射线，可得为二面角的平面角，过点作，可得平面，则即为直线和平面所成的角，利用锐角三角函数计算可得.
【详解】（1）连接交于，连接，
因为侧面为矩形，
所以，又为中点，
所以，
又因为，
所以．
所以，又平面，平面，
所以平面．
（2）在平面中，过点作射线，
因为底面为矩形，所以，
所以为二面角的平面角，且．
又，平面，所以平面，
在平面中，过点作，垂足为，连接，
因为平面，平面，
所以，又，平面，平面，
所以平面，
则即为直线和平面所成的角，
于是为点到平面的距离，且，
设直线和平面所成角为，又，
则，
所以直线和平面所成角的正弦值为．