广东湛江第一中学2023~2024学年高一下册期末考试（7月）数学试卷[附解析]

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全卷满分150分，考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚．
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交．
5．本卷主要考查内容：必修第一册第五章，必修第二册．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分．共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知，若为纯虚数，则（ ）
A.B. 2C. 1D.
2.下列说法正确的是（ ）
A.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
B.棱柱的侧面都是全等的平行四边形
C.有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱
D.用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
3.某读书会有6名成员，寒假期间他们每个人阅读书本数分别如下：3，2，5，4，3，1，则这组数据的75%分位数为（ ）
A. 3B. 4C. 3.5D. 4.5
4.雷锋塔，位于浙江省杭州市西湖区，是“西湖十景”之一、中国九大名塔之一，为中国首座彩色铜雕宝塔.如图，某同学为测量雷锋塔的高度，在雷锋塔的正西方向找到一座建筑物，高约为，在地面上点E处（A，C，E三点共线）测得建筑物顶部B，雷锋塔顶部D的仰角分别为和，在B处测得塔顶部D的仰角为，则雷锋塔的高度约为（ ）
A.B.C.D.
5.已知函数的部分图象如图所示，且，则（ ）
A.B.C.D.
6.如图所示直三棱柱容器中，且，把容器装满水(容器厚度忽略不计)，将底面BCFE平放在桌面上，放水过程中当水面高度为AB的一半时，剩余水量与原来水量之比的比值为( )
A.B.C.D.
7.如图，已知四棱，底面ABCD是边长为2的正方形，侧棱长相等且为4，E为CD的中点，则异面直线CM与AE所成的角的余弦值为（ ）
A.B.C.D.
8.在斜三角形中，角对边分别为，点满足，且，则的面积为（ ）
A.B.C.D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.今年“五一”假期，各大商业综合体、超市等纷纷抓住节日商机，积极开展各类促销活动．在某超市购买80元以上商品的顾客可以参加一次抽奖活动，若顾客小王中奖的概率为0.4，顾客小张中奖的概率为0.2，则（ ）
A.小王和小张都中奖的概率为0.1B.小王和小张都没有中奖的概率为0.46
C.小王和小张中只有一个人中奖的概率为0.44D.小王和小张中至多有一个人中奖的概率为0.92
10.如图，已知圆锥MO，AB是底面圆的直径，点C为圆周上的一个动点，圆锥的高与底面半径都等于8，则下列说法正确的是（ ）

A.圆锥的母线长为
B.圆锥的母线与底面所成的角的余弦值为
C.当三棱锥的体积最大时，
D.若，则异面直线MB与AC所成的角的正弦值为
11.已知O是所在平面内一点，则下列结论正确的是（ ）
A.若，则为等腰三角形
B.若，则为钝角三角形
C.若O为的垂心，，则
D.若，则点O的轨迹经过的重心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.某市场有四类食品，其中粮食类、蔬菜类、肉类和水果类分别有10种、20种、20种和50种，现在从中抽取一个容量为50的样本进行食品安全检测，若采用按比例分配的分层抽样的方法抽取样本，则抽取的粮食类和水果类的样本数之和为______．
13 已知，，则______．
14.已知是球O的直径，，C，D是球面上两点，，，与平面所成的角为，则四面体的体积为_________.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
15.已知向量，，．
（1）求在上的值域；
（2）求函数图象的对称中心坐标和对称轴方程．
16.某中学为了组建一支业余足球队，在高一年级随机选取50名男生测量身高，发现被测男生的身高全部在到之间，将测量结果按如下方式分成六组：第1组，第2组，…，第6组，如图是按上述分组得到的频率分布直方图，以频率近似概率.
（1）若学校要从中选1名男生担任足球队长，求被选取的男生恰好在第5组或第6组的概率；
（2）试估计该校高一年级全体男生身高的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）与中位数；
（3）现在从第5与第6组男生中选取两名同学担任守门员，求选取两人中最多有1名男生来自第5组的概率.
17.如图，在三棱锥中，平面分别为棱PC，PB的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若，求二面角的大小.
18.在中，角的对边分别为，已知.
（1）若的内角平分线交于点，求的长；
（2）若与的内角平分线相交于点的外接圆半径为2，求的最大值.
19.如图，在三棱柱中，侧面矩形．
（1）设为中点，点在线段上，且，求证：平面；
（2）若二面角的大小为，且，求直线和平面所成角的正弦值．