安徽省怀宁县新安中学2024-2025学年高一下学期5月月考 数学试卷（含解析）

这是一份安徽省怀宁县新安中学2024-2025学年高一下学期5月月考 数学试卷（含解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知复数为纯虚数，其中为虚数单位，则（ ）
A．0B．C．D．
2．已知向量不共线，，其中，若三点共线，则的最小值为（ ）
A．5B．4C．3D．2
3．在中，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，设向量，若，则角A的大小为（ ）
A．B．C．D．
4．已知平面向量满足，，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
5．在中，，，若满足上述条件的有且仅有一个，则边长的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．已知平面向量满足，且向量在向量上的投影向量为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，棱长为2的正方体中，为边的中点，为侧面上的动点，且//平面.则点在侧面轨迹的长度为
A．2B．C．D．
8．已知三棱锥内接于半径的球，平面ABC，，，，则三棱锥的体积为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．在四面体中，，，则下列结论正确的有（）
A．四面体的表面积为40
B．四面体的体积为
C．四面体外接球的表面积为
D．记四面体内切球的球心为，则
10．如图，正方体的棱长为4，F是的中点，点P为正方形内一动点（含边界），则下列说法正确的是（ ）
A．四棱锥的体积为定值
B．当时，点P的轨迹长度为
C．当直线AP与平面所成的角为时，则点P的轨迹长度为
D．若直线平面，则点P的轨迹长度为
11．已知为圆锥底面圆的直径（为顶点，为圆心），点为圆上异于的动点，，则下列结论正确的为（ ）
A．圆锥的侧面积为
B．的取值范围为
C．若为线段上的动点，则
D．过该圆锥顶点的平面截此圆锥所得截面面积的最大值为
三、填空题
12．在中，，，，的平分线交于，则的长度为 ．
13．如图，在直三棱柱 中，，，点 是线段 上靠近 的三等分点，则直线 与 所成角的余弦值为 .
14．在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，在直角中，AD为斜边BC上的高，，，现将沿AD翻折成，使得四面体AB＇CD为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为 .
四、解答题
15．在锐角中，角的对边分别为，，，已知且.
（1）求角A的大小；
（2）求的取值范围.
16．已知中，分别为内角的对边，且.
(1)求角的大小；
(2)设点为上一点，是的角平分线，且，，求的面积.
17．如图，在三棱柱中，侧面为菱形，边长为2，且，，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）若平面平面，与平面所成的角为，求四棱锥的体积.
18．如图，在四棱锥中，，，，底面，是上一点．
（1）求证：平面平面；
（2）若是的中点，求平面与平面的夹角的正弦值．
19．已知复数可以表示为三角形式：，其中是以轴非负半轴为始边.向量所在射线为终边的角．已知与的乘积．
（1）试将写成三角形式；
（2）当时，求的最大值和最小值．
（3）请用复数三角形式的乘积公式推导三倍角公式：，．
参考答案
1．【答案】B
【详解】由题意可得，
因为是纯虚数，所以，解得.
则，又，，，，
则时，，，，，
即有时，，
故.
故选B.
2．【答案】B
【详解】因为三点共线，
所以存在实数k，使，即，
又向量不共线，所以，
由，所以，
当且仅当时，取等号，
即的最小值为4.
故选B
3．【答案】B
【详解】利用垂直的数量积为0与余弦定理求解即可.
【详解】因为,所以,
即,所以因为,故
故选B．
4．【答案】C
【详解】
如图，设，，则，
故，，故外接圆的半径为，
且在优弧上运动变化，设外接圆的圆心为，的中点为，
延长至，使得，连接，
则，且，，
而，故，
故，当且仅当过时取最大值，
此时在优弧上，
故选C.
5．【答案】C
【详解】在中利用正弦定理得，则，
若满足上述条件的有且仅有一个，则或，
则或，
则边长的取值范围是.
故选C
6．【答案】C
【详解】因为向量在向量上的投影向量为，
所以，所以，又，
所以，所以.
故选C.
7．【答案】C
【详解】取的中点,连接,由于平面,平面,故平面,同理可得平面,,平面，故可得平面平面,点的轨迹就是线段,而线段的长度为，
故选:C.
8．【答案】C
【详解】
设球心为，取线段的中点记为.
因为，，，
所以在中，由余弦定理可得，即.
则有，即是以线段为斜边的直角三角形.
所以点是截面ABC的圆心，半径为
则平面ABC.
又因为平面ABC，且三棱锥内接于半径的球，
所以球心在线段的垂直平分线上，
所以，
由，,解得.
所以三棱锥的体积为.
故选C.
9．【答案】ACD
【详解】因为四面体的对棱相等，所以四面体可嵌入长方体，设长方体的长宽高分别为,
,解得，，.
每个面为等腰三角形，面积均为10，表面积为.选项A正确.
体积计算:长方体体积为,减去四个三棱锥体积(每个为),
得四面体体积为.选项B错误.
四面体的外接球即长方体的外接球，半径,表面积为.选项C正确.
因为四面体内切球球心到各个面的距离相等，且四面体各个面是全等的，所以可以得到内切球球心到四面体各个顶点的距离也相等，即四面体的内切球球心和外接球球心重合，则长度即为外接球的半径.选项D正确.
故选ACD.
10．【答案】ACD
【详解】对于A，点到侧面的距离即为，，
，四棱锥的体积为定值，A正确；
对于B，由平面，平面，得，
则，
点的轨迹是以点为圆心，为半径的四分之一圆，其轨迹长度为，B错误；
对于C，由与平面所成的角为，则为等腰直角三角形，
，则点的轨迹是以点为圆心，为半径为半径的四分之一圆，
其轨迹长度为，C正确；
对于D，取的中点，连接，由为的中点，得，
由平面，平面，得平面，
由且，得四边形为平行四边形，则，
而，则，由平面，平面，得平面，
由，平面，得平面平面，
当点在线段上运动时，平面，则平面，
因此点的轨迹为线段，其长度为，D正确.
故选ACD
11．【答案】AC
【详解】对选项A：母线长，侧面积为，正确；
对选项B：中，，，则当时，
，错误；
对选项C：为等腰直角三角形，，将放平得到，如图2所示，当三点共线时最小，为中点，连接，则，，
，正确；
对选项D：如图3，设截面为，为中点，连接，设，，则
，当，即时等号成立，D错误.
故选AC
12．【答案】
【详解】由余弦定理可得即，
故或（舍），
由可得，
故.
13．【答案】/
【详解】根据题意，可以补充成一个棱长为的正方体.
如图所示.取的三等分点，连接，根据正方体性质，知道.
则为直线 与 所成角或补角.
连接，.根据正方体性质，知道．
，
，
，
，
在中，由余弦定理可得，，
则直线 与 所成角的余弦值为.
14．【答案】
【详解】由题可知，，都是直角三角形，只需平面即可，
所以鳖臑外接球的球心在过中点且垂直于平面的直线上，
而在直角三角形中，的中点到点的距离都相等，
所以的中点是外接球的球心，所以，
所以该鳖臑外接球的表面积为．
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）∵，
∴，
，
，
∵，∴，
又，∴，
，；
（2）根据正弦定理，，
则
，
，所以的取值范围为.
16．【答案】(1)；
(2).
【分析】(1)由正弦定理实行角化边，然后利用余弦定理即可得到答案.
(2)先利用三角形的面积关系解出 ，再根据三角形面积公式计算答案即可.
【详解】(1)在中，由正弦定理及得：，
由余弦定理得，
又，所以；
(2)是的角平分线，，
由可得
因为，，即有，，
故.
17．【答案】（1）证明见解析（2）
【详解】（1）证明：连接，设，连接.
因为三棱柱的侧面为平行四边形，所以为的中点.
在中，因为是的中点，
所以.
因为平面，平面，所以平面.
（2）因为为正三角形，所以，，
因为平面平面，平面平面，
所以平面，
所以为与平面所成的角，所以，
所以，
因为，为中点，
所以.
所以
.
18．【答案】（1）证明见解析；
（2）.
【详解】（1）在四棱锥中，，，则，
，在中，，则，
即，于是，由平面，平面，
得，又平面，则平面，又平面，
所以平面平面.
（2）由（1）知，平面，而平面，则，又，
因此是二面角的平面角，
在中，，则，由是的中点，
得，于是，
所以平面与平面的夹角的正弦值为.
19．【答案】（1），其中.
（2）的最大值为3，最小值为0.
（3）证明见解析
【详解】（1）设，
则，故，
故，其中.
（2）因为，故设，
故
，
因为，故，
故的最大值为3，此时，最小值为0，此时.
（3）设，则
，
但
，
故，.