2024-2025学年安徽省怀宁县新安中学高一下学期第一次月考数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年安徽省怀宁县新安中学高一下学期第一次月考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量a=−2,−1,b=−1,−1，则向量b在向量a上的投影向量为( )
A. −6 55,−3 55 B. −2 55,− 55 C. −65,−1 D. −65,−35
2.在▵ABC中，点D在BC上，且满足BD=14BC，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足BE=xBA+yBC，则1x+2y的最小值为( )
A. 2 2B. 4 3C. 4+2 3D. 9+4 2
3.设点P为ΔABC内一点，且2PA⇀+2PB⇀+PC⇀=0，则SΔABP:SΔABC=( )
A. 15B. 25C. 14D. 13
4.已知a,b为正实数，且满足1a+2b+1a+3=12，则a+b的最小值为( )
A. 12B. 1C. 52D. 2
5.已知函数fx= 2sin2x+cs2x+1，若存在x1,x2∈0,π2满足fx1=fx2=73，则csx2−x1的值为( )
A. 4 39B. 33C. 12D. 13
6.已知函数fx=csωx+π3ω>0在区间0,π上至少有3个零点，则ω的取值范围是( )
A. 0,136B. 0,176C. 136,+∞D. 176,+∞
7.向量a=2csx,2sinx,b=csx, 3csx,x∈R，若存在整数m使得方程m=a⋅b在0,π2上有两个不同的实数根，则m=( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
8.如图，在▵ABC中，AC=2，AB=6，∠BAC的内角平分线交BC于点D，过C作CE⊥AD于点E，则CE⋅BECE2的值是( )
A. −3B. −2C. −32D. −1
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图是函数fx=Asinωx+φ(其中A>0，ω>0，0B，则sinA>sinB
B. a=2 3,c=2,A=2π3，则b=4
C. 若acsB−bcsA=c，则▵ABC定为直角三角形
D. 若B=π3,a=2且该三角形有两解，则b的取值范围是( 3,2)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量a=(35,45)，b为单位向量，且满足|a+b|=|b−2a|，则向量b在向量a方向的投影向量为
13.北京冬奥会开幕式上的“雪花”元素惊艳了全世界(图①)，顺次连接图中各顶点可近似得到正六边形ABCDEF(图②).已知这个正六边形的边长为1，且P是其内部一点(包含边界)，则AP⋅FC的最大值是 ．
14.已知sinα+sinα+π3=2 33，则sin2α−π6=___ _____．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知向量a= 3sinx,csx，b=csx,csx．
(1)若a//b，且x∈0,π2，求x的值；
(2)设函数fx=2a⋅b−1，若fx2=14，求sin2x−π6的值．
16.(本小题15分)
在▵ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知b+ca−b=sinA+sinBsinC．
(1)求A；
(2)已知M是边BC上的点，AM⊥AB,AM= 3，求2b+c的最小值．
17.(本小题15分)
已知在▵ABC中，acsB+bcsA=2ccsA．
(1)求A的大小；
(2)若角A的角平分线交边BC于点D，a=7，▵ABC的周长为15，求AD的长．
18.(本小题17分)
记▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+cb+c=sinBsinA−sinC．
(1)求A；
(2)▵ABC的外接圆半径为1，D是边BC的中点，求AD的最小值．
19.(本小题17分)
已知函数fx=cs2ωx−π6−cs2ωx+π6−2sin2ωx(其中ω>0，x∈R)的最小正周期为π．
(1)求fx的单调增区间；
(2)若关于x的方程fx−a=0在−π2,π12上有解，求实数a的取值范围．
参考答案
1.D
2.D
3.A
4.C
5.A
6.C
7.C
8.A
9.BC
10.AC
11.ACD
12.(310,25)
13.3
14.−19
15.【详解】(1)由a//b，可得 3sinxcsx=cs2x
因为x∈0,π2，所以csx≠0，
所以tanx= 33，所以x=π6
(2)fx=2a⋅b−1=2 3sinxcsx+2cs2x−1
= 3sin2x+cs2x=2 32sin2x+12cs2x=2sin2x+π6
fx2=2sinx+π6=14，∴sinx+π6=18，
所以sin2x−π6=sin2x+π6−π2=−sinπ2−2x+π6=−cs2x+π6
=2sin2x+π6−1=2×164−1=−3132.

16.【详解】(1)因为b+ca−b=sinA+sinBsinC，
所以b+ca−b=a+bc，
即b2+c2−a2=−bc，
可得csA=b2+c2−a22bc=−bc2bc=−12，
因为0