安徽省怀宁县新安中学2024−2025学年高二下学期5月月考 数学试卷（含解析）

这是一份安徽省怀宁县新安中学2024−2025学年高二下学期5月月考 数学试卷（含解析），共11页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．在的展开式中，的系数为（ ）
A．B．C．D．
2．已知双曲线的两个焦点分别为，点在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）
A．4B．3C．2D．
3．已知等差数列的前项和为，若，则（ ）
A．B．C．1D．
4．甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（ ）
A．30种B．60种C．120种D．240种
5．某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．从人中选择人去，，三地调研，一个地方安排人另外两个地方各安排人的安排方法共有（ ）
A．种B．种C．种D．种
7．设椭圆的离心率分别为．若，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数在处取得极小值，则的值为（ ）
A．－1或－3B．－1C．或1D．－3
二、多选题（本大题共3小题）
9．对任意实数，有.则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
10．已知函数，则下列描述正确的是（ ）
A．直线是的一条切线
B．在上单调递增
C．在上的最小值为
D．关于的不等式的解集为
11．已知抛物线的焦点为，过焦点的直线与抛物线交于两点（点在第二象限），则（ ）
A．可能为等边三角形
B．
C．若直线的倾斜角为，则
D．若直线的倾斜角为，则的面积为
三、填空题（本大题共3小题）
12．记为等差数列的前n项和，若，，则 .
13．若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 .
14．若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为 ．
四、解答题（本大题共5小题）
15．设，，．
（1）若，求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
16．已知等比数列的前n项和为，且.
(1)求的通项公式；
(2)求数列的通项公式.
17．设椭圆的左，右焦点是，离心率为，上顶点坐标为
（1）求椭圆的方程；
（2）设P为椭圆上一点，且，求焦点三角形的周长和面积．
18．已知函数.
（1）当时，求在处的切线方程；
（2）若在处取得极值，求的单调区间.
19．已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围．
参考答案
1．【答案】A
【详解】的二项展开式为，
令，解得，
故所求即为.
故选A.
2．【答案】C
【详解】由题意，设、、，
则，，，
则，则.
故选C.
3．【答案】D
【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成和来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理.
【详解】方法一：利用等差数列的基本量.
由，根据等差数列的求和公式，，
又.
故选D.
方法二：利用等差数列的性质.
根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式，
，故.
故选D.
方法三：特殊值法.
不妨取等差数列公差，则，则.
故选D.
4．【答案】C
【详解】首先确定相同得读物，共有种情况，
然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的5种读物里，选出两种进行排列，共有种，
根据分步乘法公式则共有种，
故选C.
5．【答案】D
【分析】利用古典概率的概率公式，结合组合的知识即可得解.
【详解】依题意，从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有（件），
其中这2名学生来自不同年级的基本事件有，
所以这2名学生来自不同年级的概率为.
故选D.
6．【答案】D
【详解】满足条件的安排方法可分两步完成，
第一步，从人中选择人，完成该步有种方法，
第二步，将所选人按要求分去，，三地调研，完成该步的方法数为，
由分步乘法计数原理可得满足要求的方法共有种.
故选D.
7．【答案】A
【详解】由，得，因此，而，所以.
故选A
8．【答案】B
【详解】由，又函数在处取得极小值，
则，解得或，
当时，，令，则或，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
则在处取得极小值，故符合；
当时，，令，则或，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
则在处取得极大值，故不符合，
.
故选B
9．【答案】ACD
【详解】对任意实数x有
，
所以，故A正确；
令，可得，故B不正确；
令，可得，故C正确；
令，可得，故D正确．
故选ACD．
10．【答案】ACD
【详解】对于A，由，得，
假设直线是的一条切线，设切点为，
则，解得，此时，即切点为，
经验证，点也在直线上，
所以直线是的一条切线，故A正确；
对于B，因为，令，解得或，令，解得，
在和上单调递增，在上单调递减，故B错误；
对于C，由B可知当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当或时，函数取得最小值，
又，，
所以当时，函数取得最小值为，故C正确；
对于D，因为在上单调递增，又，，
所以，解得或，故D正确.
故选ACD.
11．【答案】BC
【详解】
由已知可得，设直线的方程为，
设，，
由得，所以，，
对于，若为等边三角形，则，
根据抛物线的对称性可得此时直线与轴垂直，且，，
所以，，
所以不可能为等边三角形，故错误；
对于，因为，，所以，
因为两点在抛物线上，所以，，所以，
所以，故正确；
对于，若直线的倾斜角为，所以，
所以，，
所以
，故正确；
对于，若直线的倾斜角为，直线的方程为，即，
所以到直线的距离为，
所以，故错误.
故选.
12．【答案】95
【详解】因为数列为等差数列，则由题意得，解得，
则.
13．【答案】
【详解】由得，，
故曲线在处的切线方程为；
由得，
设切线与曲线相切的切点为，
由两曲线有公切线得，解得，则切点为，
切线方程为，
根据两切线重合,所以，解得.
14．【答案】（或，答案不唯一）
【详解】联立，化简并整理得：，
由题意得或，
解得或无解，即，经检验，符合题意.
15．【答案】（1）
（2）
（3）12
【详解】（1）由二项式定理可得展开式的通项为，
所以，
所以.
整理可得，解得或（舍去负值），
所以.
（2）由（1）可得，.
令，可得，
所以.
（3）对两边同时求导可得，
整理可得.
代入，可得.
16．【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用结合题意可求出的通项公式；
（2）利用结合（1）可求出.
【详解】（1）由，
当，，
两式相减得，
所以，所以，
等比数列的公比为，而由，
即，
所以，代入，则，
所以.
（2）因为，，
所以，
所以.
17．【答案】（1）;
（2）,.
【详解】（1）由题意知，解得，.
∴椭圆的方程为.
（2）由（1）知，∴
又∵P为椭圆上一点，∴，
∴焦点三角形的周长.
在△中，由余弦定理，得
即 ①
由平方，得 ②
②-①，整理得，
所以三角形的面积.
18．【答案】（1）
（2）单调递增区间为，单调递减区间为
【详解】（1）当时，，
则，
则，又，
所以在处的切线方程为，
即.
（2）由，，
则，
因为函数在处取得极值，
所以，即，
此时，
令，得；令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
则在处取得极值，满足题意，故，
则函数的单调递增区间为，单调递减区间为.
19．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）当时，则，，
可得，，
即切点坐标为，切线斜率，
所以切线方程为，即.
（2）解法一：因为的定义域为，且，
若，则对任意恒成立，
可知在上单调递增，无极值，不合题意；
若，令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则有极小值，无极大值，
由题意可得：，即，
构建，则，
可知在内单调递增，且，
不等式等价于，解得，
所以a的取值范围为；
解法二：因为的定义域为，且，
若有极小值，则有零点，
令，可得，
可知与有交点，则，
若，令，解得；令，解得；
可知在内单调递减，在内单调递增，
则有极小值，无极大值，符合题意，
由题意可得：，即，
构建，
因为则在内单调递增，
可知在内单调递增，且，
不等式等价于，解得，
所以a的取值范围为.