安徽省怀宁县新安中学2024-2025学年高一下学期第一次月考 数学试卷（含解析）

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由复数四则运算法则直接运算即可求解.
【详解】因为，所以.
故选：C.
2. 已知，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由可得的范围，可知，再由同角三角函数的基本关系和两角和的余弦公式求解即可得出答案.
【详解】因为，所以，所以，
所以，
所以
.
故选：A.
3. 已知a，b，c分别为的三个内角A，B，C的对边，，且，则面积的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先根据正弦定理角化边，可得，从而求出角，得到的面积为，再根据基本不等式求出的最大值，即可求出面积的最大值．
【详解】因为，所以即为
，亦即，化简得，
，所以，又，所以，
的面积为，由，所以，当且仅当时取等号，故面积的最大值为．
故选：D．
4. 的面积为S.若，，则角B等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据正弦定理边角互化以及两角和正弦可求得的度数，再根据面积公式以及余弦定理可求得，即可求得角B
【详解】根据题意知，有正弦定理边角互化可知，
，
化简可得，在中，所以，则，
所以得，
由，
可得，，所以，
所以.
故选：C
5. 已知的内角的对边分别为，若有两解，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】写出三角形有两解的充要条件，进而求出的范围.
【详解】如图：三角形中，，则有两解的充要条件为：
即，
故选：A.
6. 将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数的周期及函数在区间上无零点，列出不等式组，即可解出的取值范围.
【详解】将函数的图象先向右平移个单位长度，可得，
再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，
可得的图象，因为，周期，
函数在上没有零点，则，
所以，因为，所以，
又在上没有零点，所以，
解得，，
又因为，所以当，，，，
所以或.
故选：B
7. 已知角，且，当取得最大值时，角（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角函数的两角和公式将展开化简，得到关于的表达式，再根据均值不等式求出取得最大值时的值，进而求出.
【详解】已知，可得：，，
可得：，得：，
因为，所以，，等式两边同时除以和可得：
，上式可化为：，
又因为，代入上式可得： ，
令，则，，代入可得：
，
因为，所以，则.
根据均值不等式对于有：，
当且仅当，即，时等号成立.
所以，即当时，取得最大值.
因为，且，所以.
当取得最大值时，角.
故选：D.
8. 如图，在中，D是的中点，E，F是上的两个三等分点．若，，则的值为（ ）
A. B. C. 1D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】设，结合图形由数量积的运算率和向量加法可得.
【详解】设，．
同理，
所以联立得，
所以．
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 已知非零复数，其共轭复数分别为，则下列选项正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】设复数，利用共轭复数、模长的定义及复数的四则运算判断各项正误.
【详解】设复数，且，
，A正确；
，B正确；
，
，
所以与不一定相等，C错误；
令，则，D错误．
故选：AB
10. 已知a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下面四个结论正确的是（ ）
A. 若，则为等腰三角形
B. 在锐角中，不等式恒成立
C. 若，，且有两解，则b的取值范围是
D. 若，的平分线交于点D，，则的最小值为9
【答案】BCD
【解析】
【分析】A项，用余弦定理统一成边形式化简判断；B项， 由为锐角三角形，与正弦函数的单调性可得；C项，结合图形，根据边角的关系与解的数量判断；D项，根据三角形面积可得到，将变为，展开后利用基本不等式，即可求得答案.
【详解】选项A，因为，即，
所以有
整理可得，所以或，
故为等腰三角形或直角三角形，故A错误；
选项B，若为锐角三角形，所以，所以，
由正弦函数在单调递增，则，故B正确.
选项C，如图，若有两解，则，
所以，则b的取值范围是，故C正确．
选项D，的平分线交于点D，，
由，由角平分线性质和三角形面积公式得，
得，
即，得，
得，
当且仅当，即时，取等号，故D正确.
故选：BCD.
11. 已知函数，则（ ）
A. 图象关于点中心对称
B. 的值域为
C. 满足在区间上单调递增的的最大值为
D. 在区间上的所有实根之和为
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用两角和差公式、二倍角和辅助角公式可化简得到；利用代入检验法可知A正确；根据正弦型函数值域可知B错误；根据函数单调递增，利用整体代换法可求得范围，知C正确；将问题转化为与交点横坐标之和的问题，由对称性可求得D正确.
【详解】；
对于A，当时，，此时，
的图象关于点中心对称，A正确；
对于B，，的值域为，B错误；
对于C，若在上单调递增，则，
解得：，又，，解得：，
，，则的最大值为，C正确；
对于D，令，则；
当时，，
作出与的图象如下图所示，
与的交点即为方程的根，
由对称性可知：，，
，D正确.
故选：ACD.
【点睛】关键点点睛：本题考查三角恒等变换与三角函数性质相关问题的求解；本题求解方程实根之和的关键是将问题转化为两函数交点的问题，采用数形结合的方式，结合正弦函数对称性可求得结果.
第二部分（非选择题 共92分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 若复数z满足(为虚数单位），则的最大值为_______．
【答案】3
【解析】
【分析】先设出复数，结合给定条件确定的轨迹，再结合复数的模长公式将问题转化为求原点到圆上点的距离最大值问题，最后利用两点间距离公式结合圆的性质求解即可.
【详解】设，因为，所以，
即，则，
得到在以为圆心，半径为的圆上，
由复数模长公式得，其几何意义是原点到的距离，
由两点间距离公式得到原点的距离为，
则，即的最大值为.
故答案为：3
13. 若，则=________
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：∵，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为．
考点：三角恒更变化．
14. 在中，在的三边上运动，是外接圆的直径，若，，，则的取值范围是______.
【答案】
【解析】
【分析】设外接圆圆心为，半径为，利用平面向量的线性运算与数量积可得，再结合圆的几何性质确定其最大最小值可得结论.
【详解】设外接圆圆心为，半径为，
由余弦定理有，所以，
由正弦定理有，即，
，
设到三边，，的距离分别为，则
，，
.
所以的最小值为，最大值为，
即的最小值为，最大值为，
所以的取值范围是.
故答案为：.
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸．
15. 已知复数，i为虚数单位.
（1）求；
（2）若复数z是关于x的方程的一个根，求实数m，n的值.
【答案】（1）；
（2）；
【解析】
【分析】（1）利用复数的除法运算法则可得，即可求得；
（2）将z代入方程利用复数相等的概念即可求得.
【小问1详解】
因为复数，
所以
【小问2详解】
因为复数z是关于x的方程的一个根，
所以，
可得，即，
所以,解得.
16. 如图，在中，，点为中点，点为上的三等分点，且靠近点，设．
（1）用表示；
（2）如果，且，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）结合图形，结合向量加，减，和数乘，即可用基底表示向量；
（2）由，可得，从而可得，结合已知可得，最后利用数量模的运算公式结合数量积的运算律求解即可．
【小问1详解】
因为，
所以，
；
【小问2详解】
因为，所以，
所以，由，可得，
又，所以，
所以．
17. 的内角的对边分别为，已知.
（1）求；
（2）若为锐角三角形，，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由三角变换公式可得，从而可求的值.
（2）利用正弦定理及三角变换公式可得，结合的范围可求其取值范围，从而可求的取值范围.
【小问1详解】
因为，由正弦定理得，
故，
在中，，，所以，，则，
可得，所以，所以.
【小问2详解】
由正弦定理可得（为外接圆的半径），
所以，，
因为，则，，
所以，
因为为锐角三角形，则，解得，
则，，故.
18. 的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）设，延长到点使，求的面积．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理结合两角差余弦公式化简给定式子，求解角度即可.
（2）利用正弦定理求解，再利用两角和的正弦公式求出，结合给定式子将问题转化为求已知三角形面积的问题，利用三角形面积公式求解即可.
【小问1详解】
．由正弦定理得，
故，所以，
得到，化简可得，
，．
小问2详解】
由正弦定理得，
解得，因为，所以，
所以是锐角，故，而，
解得，所以，
因为，所以，
而，可得．
19. 已知函数．
（1）求函数的解析式及对称中心；
（2）若，且，求的值．
（3）在锐角中，角、、分别为、、三边所对的角，若，求周长的取值范围．
【答案】（1）,对称中心为
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据向量数量积的定义，二倍角公式及辅助角公式化简，再根据三角函数的性质求解即可；
（2）由得出，再根据两角差的正弦公式计算即可；
（3）由得出，根据正弦定理边化角，结合两角和的正弦公式及辅助角公式，将转化为三角函数，根据为锐角三角形得出A的范围，结合三角函数的性质得出范围即可求解．
小问1详解】
.
令，则，，
函数的对称中心为，.
【小问2详解】
由可知，，
化简得，
，，，
【小问3详解】
由可得， 即，
又，则，则，所以.
由正弦定理有
所以
，
因为为锐角三角形，所以，解得.
所以，则，
所以，则，
所以的周长的取值范围为.