2025年中考数学二轮复习专题二次函数线段定值、最值与面积问题训练

这是一份2025年中考数学二轮复习专题二次函数线段定值、最值与面积问题训练，共10页。试卷主要包含了二次函数中线段定值，二次函数中的面积问题等内容，欢迎下载使用。
例1.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+2ax+a+2与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为点D．点P为x轴上的一个动点．
（1）求点D的坐标；
（2）如图1，当点P在线段AB上运动时，过点P作x轴的垂线，分别交直线AD、BD于点E、F，试判断PE+PF是否为定值，若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由．
变式1.如图,拋物线y=与坐标轴交于A、B、C三点,对称轴与x轴交于点P,点E是x轴上方抛物线上的动点,过点E作EN⊥x轴于点N.连接AE交抛物线对称轴于点F,连接BE并延长交对称轴于点G,试证明PF+PG的值为定值,并求出该定值.
变式2.抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C，其中A（5,0），C（0，-3）.
求抛物线的解析式；
将抛物线向左平移1个单位长度得到新抛物线（如图），点P在新抛物线
在轴下方，已知PA、PB与轴分别交于E、F两点.当P运动时，是否为定值？若是，试求出该定值；若不是，请说明理由.
变式3．已知抛物线y＝kx2﹣4kx+3k（k＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为 D．
（1）如图1，请求出A、B、C三点的坐标；
（2）点E为x轴下方抛物线y＝kx2﹣4kx+3k（k＞0）上一动点．如图2，若k＝1时，抛物线的对称轴DH交x轴于点H，直线AE交y轴于点M，直线BE交对称轴DH于点N，求MO+NH的值；

变式4．如图，二次函数y＝a（x2+2mx﹣3m2）（其中a，m是常数a＜0，m＞0）的图象与x轴分别交于A、B（点A位于点B的右侧），与y轴交于点C（0，3），点D在二次函数的图象上，CD∥AB，连结AD．过点A作射线AE交二次函数的图象于点E，AB平分∠DAE．
（1）求a与m的关系式；
（2）求证：为定值；
例2．如图，P（m，n）是抛物线上任意一点，l是过点（0，﹣2）且与x轴平行的直线，过点P作直线PH⊥l，垂足为H．
（1）填空：当m＝0时，OP＝ ，PH＝ ；当m＝4时，OP＝ ，PH＝ ；
（2）对任意m，n，猜想OP与PH的大小关系，并证明你的猜想．
变式1.如图，已知直线l：y＝﹣1和抛物线L：y＝ax2+bx+c（a≠0），抛物线L的顶点为原点，且经过点，直线y＝kx+1与y轴交于点F，与抛线L交于点B（x1，y1），C（x2，y2），且x1＜x2．
（1）求抛物线L的解析式；
（2）求证：无论k为何值，直线l总是与以BC为直径的圆相切；
例3.如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点 C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；
例4.如图，在平面直角坐标系中，已知点B的坐标为（﹣1，0），且OA＝OC＝4OB，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）图象经过A，B，C三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是直线AC下方的抛物线上的一个动点，作PD⊥AC于点D，当PD的值最大时，求此时点P的坐标及PD的最大值．
．
变式1．如图，抛物线y＝﹣x2+x+4交x轴于A，B两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．
（1）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；
（2）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？
变式2．如图，抛物线y＝x﹣4与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q，过点P作PE∥AC交x轴于点E，交BC于点F．
（1）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
（2）请用含m的代数式表示线段QF的长，并求出m为何值时QF有最大值．
变式3．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，其中A（﹣4，0），B（2，0），C（0，﹣4）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线AC下方抛物线上一点，PD⊥AC，当线段PD的长度最大时，求点P的坐标；
二、二次函数中的面积问题
例1．星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为米．
（1）若平行于墙的一边长为米，直接写出与的函数关系式及其自变量的取值范围；
（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；
（3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图象，直接写出的取值范围．
例2．若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的顶点在一次函数y＝kx+t（k≠0）的图象上，则称y＝ax2+bx+c（a≠0）为y＝kx+t（k≠0）的伴随函数，如：y＝x2+1是y＝x+1的伴随函数．若y＝x2﹣4是y＝﹣x+p的伴随函数，求直线y＝﹣x+p与两坐标轴围成的三角形的面积；
例3．如图，直线y＝x+1与抛物线y＝x2﹣4x+5交于A，B两点，点P是y轴上的一个动点，当△PAB的周长最小时，求S△PAB．
例4．如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点，点是线段上一动点（端点除外），过点作，交于点，连接．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当动点运动到何处时，；
（3）当的面积最大时，求点的坐标．
变式1．如图，开口向下的抛物线y＝ax2﹣5ax+4a（a为常数）与x轴交于A、B两点（A在B点左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上的一个动点，横坐标设为t，连接DC、DB．
（1）求A、B的坐标．
（2）当点D为抛物线的顶点时，△BCD的面积为15，求抛物线的解析式．
变式2．如图，抛物线M1：y＝﹣x2+4x交x正半轴于点A，将抛物线M1先向右平移3个单位，再向上平移3个单位得到抛物线M2，M1与M2交于点B，直线OB交M2于点C．
（1）求抛物线M2的解析式；
（2）点P是抛物线M1上AB间的一点，作PQ⊥x轴交抛物线M2于点Q，连接CP，CQ．设点P的横坐标为m，当m为何值时，使△CPQ的面积最大，并求出最大值；