中考数学一轮复习考点精炼与综测：（15）特殊三角形（综合测试）

这是一份中考数学一轮复习考点精炼与综测：（15）特殊三角形（综合测试），共29页。
一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.如图，在等边三角形ABC中，BE和CD分别是AC和AB边上的高，且相交于点O，则的度数为( )
A.B.C.D.
2.最近中国“宇树科技”的“机器狗技术”发展迅速.在正常状态下，机器狗的小腿和大腿有一定夹角（如图1）.图2是机器狗正常状态下的腿部简化图，其中，.机器狗正常状态下的高度可以看成A，C两点间的距离，则机器狗正常状态下的高度为( )
A.40cmB.C.D.
3.如图,在中,,点D是的中点,点E是的中点,,若,则的长为( )
A.2B.4C.6D.8
4.如图，在中，，点D在的延长线上，且，则的长是( )
A.B.C.D.
5.如图,中,,的角平分线于D,E为的中点,则图中两个阴影部分面积之差的最大值( )
A.B.3C.D.9
6.如图，在中，，且分别是上的高，分别是的中点，若，则的长为( )

A.10B.12C.13D.14
7.如图，点E在等边的边上，，射线，垂足为C，点P是射线上一动点，点F是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为( )
A.6.5B.7C.8D.9
8.如图，已知为等腰三角形，，，将沿AC翻折至，E为BC的中点，F为AD的中点，线段EF交AC于点G，若，则( )
A.mB.C.D.
9.如图,点A是射线上一个定点,点B是射线上的一个动点,,以线段为边在右侧作等边三角形,以线段为边在上方作等边三角形,连接,随点B的移动,下列说法中正确的是( )
①；②；
③直线与射线所夹的锐角的度数不变；
④随点B的移动,线段的值逐渐增大.
A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④
10.如图，中，，，点O是的中点，将直角三角板的直角顶点绕点O旋转，三角板的两条直角边分别与、分别交于点M、N（不与端点重合），连接，设三角板与重叠部分的四边形的面积为S，则下列说法正确的是( )
A.S变化，有最大值B.S变化，有最小值
C.S不变，有最大值D.S不变，有最小值
11.如图，在中，，点D在斜边上，连接，且，以点A为圆心，以长为半径作弧交于点E，连接，取的中点F，连接.下列结论中不正确的是( )
A.平分B.
C.若，则D.若，则
12.如图，等边中，点D为外一点，连接、、，交于点F，，点E为上一点，连接，点G为上一点，平分，下列结论：①；②；③；④若，则，其中正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
二、填空题（每小题3分，共15分）
13.如图,在中,,D是边的中点.连接.若,则的度数为______.
14.如图,中,,,将绕点C逆时针旋转得到,连接,则的度数为______°.
15.如图,在中,,,D是边上的任意一点,连接,E是上一点,连接,使得,连接,则的最小值是______.
16.在中，，，，点D在边上，且，不重合的两条线段关于经过点D的直线对称，当点E恰好落在的边上时，的长为________.
17.是边长为2的等边三角形,,点D为上一个动点.连接,将线段绕点A顺时针旋转得到线段,当是直角三角形时,的长为______.
三、解答题（本大题共6小题，共计57分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
18.（6分）如图，中，，分别以为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点D，连接与交于点E.
(1)求证：；
(2)若，求的度数.
19.（8分）如图，在中，，是BC边上的中线，EF垂直平分AC，与AC，AD，AB分别交于点E，M，F.若，求的度数.
20.（8分）如图,在中,,,的垂直平分线分别交和于点D,E.
(1)求证：；
(2)连接,请判断的形状,并说明理由.
21.（10分）【问题提出】
勾股定理是直角三角形一个非常重要的性质，有着及其广泛的应用，搭建起了几何图形和数量关系之间的一座桥梁.因此勾股定理与动点、方程、几何图形等结合就可以进行相应的数量计算.
在中，，
【新知初探】
(1)如图1，点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿方向向点C运动，连接.当点P运动 秒时，.
【类比分析】
(2)如图2，当点P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线方向运动，设运动的时间为t.
①当为等腰三角形时，求t的值；
②当为直角三角形时，求t的值；
【学以致用】
(3)如图2，当点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿方向运动，设运动的时间为t.若点P恰好在的平分线上，求t的值.
22.（12分）如图,已知中,,,,P、Q是边上的两个动点,其中点P从点A开始沿方向运动,且速度为每秒,点Q从点B开始沿方向运动,且速度为每秒,它们同时出发,设出发的时间为t秒.
(1)出发2秒后,求的长；
(2)当点Q在边上运动时,出发几秒钟后,能形成等腰三角形？
(3)当点Q在边上运动时,求能使成为等腰三角形的运动时间.
23.（13分）已知等边中,点D为射线上一点,作,交直线于点E.
(1)如图1,当点D在线段上时,线段、、之间的数量关系是______；
(2)如图2,当点D在的延长线上时,(1)中的、、数量关系是否成立,若成立,说明理由,若不成立,求出、、之间的数量关系；
(3)如图3,在(2)的条件下,的平分线交于点F,过点A作于H,当,时,求的长.
答案以及解析
1.答案：B
解析：解法一：因为为等边三角形，所以，又因为，，所以，所以.
解法二：因为为等边三角形，所以，又因为，，所以，，所以，所以.
2.答案：D
解析：连接，过B作于D，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
即机器狗正常状态下的高度为，
故选：D.
3.答案：D
解析：∵中,,
∴,
∴是等边三角形,
∵点D是的中点,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
故选：D.
4.答案：B
解析：如图，过点C作于H,
,,,
,,
,
,
,
故选:B.
5.答案：C
解析：延长交于点H.设交于点O.
,
,
,,
,
,
,
,
,
,
,
,,
,
,
,
,,
,
,
当时,的面积最大,最大面积为.
故选：C.
6.答案：B
解析：如图：连接，

是的中点，，
，
是的中点，
，，
在中，，
故选：B.
7.答案：A
解析：作E关于的对称点G，过G点作交于F，交于P，过F作交于F，
此时的值最小，
，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
；
故选：A.
8.答案：D
解析：如图，连接，，设，则.为AD的中点，.将沿AC翻折至，.为BC的中点，，..
9.答案：B
解析：∵
∴
∵和都是等边三角形,
∴,,,
∴,
在和中,
,
∴,故①正确；
∵,
∴
∵,
∴,故②正确；
延长交x轴于点E,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴直线与x轴的夹角恒为,故③正确；
∵点A是x轴上一个定点,
∴的长为定值,
∵,
∴,
∴的长为定值,
∴随点B的移动,线段的值不变,故④错误,
故选：B.
10.答案：D
解析：如图，连接，
设，
，
，
点O为的中点，
，，
设将直角三角板的直角顶点绕点O旋转，三角板的两条直角边分别与、分别交于点M、N（不与端点重合），
，
在和中，
，
，
，，
四边形的面积；
故S不变；
设，则，
在中，
，
、N（不与端点重合），
，故没有最大值；
当时，有最小值，
故选：D.
11.答案：B
解析：
，
，
，
，，
，
，
的中点F，
，，
，
，
，
，
DB平分∠ADF，故选项A正确，不符合题意；
，，
，故选项C正确，不符合题意；
，
，
，
选项D正确，不符合题意；
由，
是的中线，不一定是上的高，
不一定为，
，不一定相等，故选项B不正确，符合题意；
故选B.
12.答案：D
解析：在上截取，
∵，
∴是等边三角形，则，，
∵是等边三角形，
∴，，则，
∴，
∴，，
则，故①正确；
则，故②正确；
设边上的高为h，点F到，的距离分别为，，
∵，即平分，
∴，
则，
∴，故③正确；
∵平分，
∴，
∴，
∴，
当时，，
∴，
由上可知，，则，
∴，故④正确；
综上，正确的有①②③④，共4个，
故选：D.
13.答案：
解析：∵中,,D是边的中点,
∴是的中点,
∴,
∴.
故答案为：.
14.答案：30
解析：连接,
∵绕点C逆时针旋转得到,
∴,,.
∴是等边三角形,
∴,
在和中,
∴.
∴那么,
∵,
∴.
故答案为：30.
15.答案：/
解析：取中点F,连接、,则,
∵,,
∴,,
∴,
∴,
∵中,当E在上时,,
∴,
∴,
∴的最小值是,
故答案为：.
16.答案：4或
解析：，，，
，
，
点D在边上，且，
，
，
，由关于经过点D的直线对称得，
如图 1，点E落在边上，
，，
是等边三角形，
；
如图 2，点E落在边上，
，，
；
∵
点E不能落在边上，
综上所述，的长为4或，
故答案为：4或.
17.答案：或
解析：连接,如图：
∵是边长为2的等边三角形,,
∴,,,,
∵将绕点A顺时针旋转得到,
∴,,
∴,
∴,即,
∴,
∴,
①若,如图：
∴,
∴,
解得(负值已舍去)；
②若,如图：
∴；
综上所述,的长为或；
故答案为：或.
18.答案：(1)见解析
(2)
解析:(1)证明：由作图知：.
在和中，
.
(2)解析： ∵，，
∴，
则.
19.答案：
解析：解法一：因为，AD是BC边上的中线，
所以.
因为，所以.
因为EF垂直平分AC，所以，
所以，
所以.
解法二：因为，是BC边上的中线，
所以，
又因为，所以，
所以.
因为EF垂直平分AC，所以，
所以，
所以.
20.答案：(1)见解析
(2)是等边三角形,理由见解析
解析：(1)证明：连接,
∵,,
∴,
是的垂直平分线,
,
,
,
在中,,
；
(2)是等边三角形,
理由如下：连接.
垂直平分,
∴,
,,
,
∴,
,
是等边三角形.
21.答案：(1)；
(2)①当为等腰三角形时，t的值为5或8或；②当为直角三角形时，t的值为或4；
(3)t的值为或.
解析：(1)∵在中，，
∴，
设，
∴，
在中，由勾股定理得，即，
解得，
∴，
∴点P运动秒时，.
故答案为：；
(2)①当时，则，
解得；
当时，则，
解得，；
当时，由(1)得，
∴，
解得；
综上，当为等腰三角形时，t的值为5或8或；
②当，，，
在中，由勾股定理得，
在中，，
∴，
即，
解得；
当，则P与C重合，则，
解得；
综上，当为直角三角形时，t的值为或4；
(3)如图，作，
∵点P恰好在的平分线上，，
∴，
∴，
∴，，
由题意得，，
由勾股定理得，解得；
当点P运动到点A时，也在角平分线上，此时，.
综上，t的值为或.
22.答案：(1)
(2)秒钟
(3)11秒或12秒或秒
解析：(1)∵,
∴,
∵,
∴.
(2)当点Q在边上运动时,,,
∵为等腰三角形,
∴,解得：,
∴出发秒钟后,能形成等腰三角形.
(3)①当时,如图1所示：
则,
∵,
∴.
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴秒.
②当时,如图2所示,
则,
∴秒.
③当时,如图3所示,
过B点作于点E,则,
∴,
∴,
∴,
∴秒.
综上所述：当t为11秒或12秒或秒时,为等腰三角形.
23.答案：(1)
(2)不成立,
(3)
解析：(1)∵为等边三角形,
∴,,
过点D作,交于点M,如图所示,
则,,,
∴是等边三角形,
∴,,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴；
故答案为：；
(2)不成立.
过D作交的延长线于N,如图所示,
则,,
∴,是等边三角形,
∴.
∴,
∵,
∴,
∴,
在与中,
,
∴,
∴,
∴,
∴；
(3)连接,如图,
∵,
∴,
∴,,
平分,
∴,
在与中,
,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴.