中考数学一轮复习备考专题15：特殊三角形（综合测试）

这是一份中考数学一轮复习备考专题15：特殊三角形（综合测试），共28页。
一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，共48分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.下列命题的逆命题是假命题的是( )
A.全等三角形的对应角相等
B.等腰三角形的两底角相等
C.三个角都相等的三角形是等边三角形
D.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
2.如图,D为等边的边的中点,点P是上的一个动点,连接,将沿翻折,得到,连接,若,则的度数为( )
A.40°B.60°C.70°D.80°
3.如图，在中，，点D是AC的中点，且，若的面积为2，则它的周长为( )
A.B.C.D.
4.四边形的边长如图所示,对角线的长度随四边形形状的改变而变化.当为等腰三角形时,的面积为( )
A.B.C.或D.15
5.如图,在中,,,.将绕点C旋转至,使,交边于点D,则的长是( )
A.4B.C.5D.6
6.如图，在等边三角形中，在边上(不包含A、C)取两点M、N，使，若,,，则x，m，n满足的数量关系为( )
A.B.C.D.
7.如图,在中,,,是的平分线,交于点D,若,则的长是( )
A.2B.C.D.4
8.如图,已知是等边三角形,,E在上,交于点F,,若,则的度数为( )
A.B.C.D.
9.足球是世界上最受欢迎的运动项目之一,如图,球员A向边线传球,传球落点在边线上任何位置都能被边线球员接住球,而边线球员不运球直接传给球员B,图中四边形为直角梯形,,,,则两次传球中皮球飞过的最短路径为( )
A.15B.C.20D.
10.如图,点A是射线上一个定点,点B是射线上的一个动点,,以线段为边在右侧作等边三角形,以线段为边在上方作等边三角形,连接,随点B的移动,下列说法中正确的是( )
①；②；
③直线与射线所夹的锐角的度数不变；
④随点B的移动,线段的值逐渐增大.
A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④
11.如图，是等边三角形，D是边AC上一点，连接BD，点E在BC的延长线上，且，延长ED交AB于点F，若，则的值为( )
A.B.C.2D.
12.如图，在等边中，，点O在AB上，且，点E是边上一动点，，且.有下面三个结论：①为等边三角形；②点D到直线的距离不变；③当时，最小.所有正确结论的序号为( )
A.③B.①②C.①③D.①②③
二、填空题（每小题3分，共15分）
13.如图,在和中,,、分别为的中点,若,则______.
14.如图,在中,,分别是,边的垂直平分线,连接,,,若,则的大小为______(度).
15.如图,在中,,,,点D在AB上,连结CD,将沿CD折叠,点A的对称点为E,CE交AB于点F,为直角三角形,则______.
16.如图,在中,,,点C在直线上,,点P为上一动点,连接,.当的值最小时,的度数为______.
17.如图,等边中,,点D、点E分别在和上,且,连接、交于点F,则的最小值为______.
三、解答题（本大题共6小题，共计57分，解答题应写出演算步骤或证明过程）
18.（6分）如图,已知点A,C分别是的边和延长线上的点,作的平分线,若.
(1)求证：是等腰三角形；
(2)作的平分线交于点H,若,求的度数.
19.（8分）如图,P为等边三角形内一点,分别连接,,,,,.以为边作等边三角形,连接.
(1)求证：；
(2)求的度数.
20.（8分）如图,点P,M,N分别在等边的各边上,且于点P,于点M,于点N.
（1）求证:是等边三角形;
（2）若cm,求CM的长.
21.（10分）如图1,,,点D在内部,且,点E在上且.
(1)如图1,求证：；
(2)如图2,的平分线与的延长线交于点F,连接并延长交于点G,
①猜想与的数量关系,并证明你的猜想；
②连接,若,,求的面积(用含a,b的式子表示).
22.（12分）如图1,已知等边三角形的边长为,点P,Q分别从点A,B同时出发,沿边,向点B和点C运动,且它们的运动速度都是/秒.直线,交于点M.
(1)连接,当点P,Q运动______秒时,是直角三角形；
(2)求证：；
(3)在点P,Q分别在边,上运动的过程中,求当运动时间为多少秒时,是等腰三角形？
(4)如图2,若点P,Q在运动到点B,C后继续在射线,上运动,直线,交于点M,当是直角三角形时,求点P的运动时间.
23.（13分）[探究]
（1）已知和都是等边三角形，
①如图1，当点D在BC上时，连接CE.请探究CA，CE和CD之间的数量关系，并说明理由；
②如图2，当点D在线段BC的延长线上时，连接CE.请再次探究CA，CE和CD之间的数量关系，并说明理由.
[运用]
（2）如图3，等边三角形ABC中，，点E在AC上，.点D是直线BC上的动点，连接DE，以DE为边在DE的右侧作等边三角形DEF，连接CF.当为直角三角形时，请直接写出BD的长.
答案以及解析
1.答案：A
解析：“全等三角形的对应角相等”的逆命题为“对应角相等的两个三角形全等”,是假命题,故A选项符合题意；
“等腰三角形的两底角相等”的逆命题为“底角相等的三角形为等腰三角形”是真命题,故B选项不符合题意；
“三个角都相等的三角形是等边三角形”的逆命题为“等边三角形的三个角都相等”是真命题,故C选项不符合题意；
“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题为“到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上”是真命题,故D选项不符合题意.
故选A.
2.答案：D
解析：∵D是中点,
∴,
由翻折知,,
∴,
∴,
∴,
∴,
∵等边中,,
∴中,.
故选：D.
3.答案：C
解析：，点D是AC的中点，，.的面积为2，，，，或（舍去），.
4.答案：B
解析：当时,
过A作,交于点E,
∵,
∴,
由勾股定理,,
∴,
当时,
∵不满足小于,
∴此种情况不存在,
故选：B.
5.答案：C
解析：∵将绕点C旋转至,
∴,,,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴,
而,
∴,
∴,
∴.
故选：C.
6.答案：C
解析：如图所示.将绕点B顺时针旋转得到，连接，
∴，
∴,.
∵，
∴.
∵，
∴，
∴.
可知，
∴，
即.
故选：C.
7.答案：B
解析：在中,
,,
,
是的平分线,
,
,
在中,
,
在中,,
,
故选：B.
8.答案：B
解析：如图,连接,
∵是等边三角形,
∴,,
∵,
∴,垂直平分,
∴,
∵,
∴,
∴,
∴为等边三角形,
∴,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
故选：B.
9.答案：B
解析：作A关于的对称点E,连接交于O,连接,过A作于F,
∴,,
∴,,
∴,两次传球中皮球飞过的最短路径长等于,
依题意得,
∴,
∴,
∵,
∴,
又,
∴,
∴,
又,
∴,
即两次传球中皮球飞过的最短路径为,
故选：B.
10.答案：B
解析：∵
∴
∵和都是等边三角形,
∴,,,
∴,
在和中,
,
∴,故①正确；
∵,
∴
∵,
∴,故②正确；
延长交x轴于点E,
∵,
∴,
∵,
∴,
∴直线与x轴的夹角恒为,故③正确；
∵点A是x轴上一个定点,
∴的长为定值,
∵,
∴,
∴的长为定值,
∴随点B的移动,线段的值不变,故④错误,
故选：B.
11.答案：B
解析：过点D作交BC于点G作于点P，如图，
∵是等边三角形，
∴
∵，
∴
∴是等边三角形，
∴
设，
∵，
∴
∴
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴，
∴，
∴，
故选：B
12.答案：B
解析：将线段绕点O逆时针旋转得到线段，且.
，
又，
是等边三角形，
故①是正确的；
在上取点M，使，连接，，
是等边三角形，
，，
，
，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
点D在过点M且平行于直线的直线上，
即根据平行线之间距离相等，点D到直线的距离不变；
故②是正确的；
过点C作于点N，
为定点，
当点D与点N重合时，最小，
由②得是等边三角形，
此时E与M重合，
，
故③是错误的；
故选：B.
13.答案：
解析：∵,点E为中点,,
∴,
∵E、F分别为、的中点,
∴,
故答案为：.
14.答案：
解析：∵,分别是,边的垂直平分线,
∴,
∴,,,
∵,
∴,
即,
∵,
∴,
故答案为：.
15.答案：2或/或2
解析：在中,,,,
∴,,,
当为直角三角形,分两种情况讨论：
如图,当时,
∵
∴
∴
∵
∴为等边三角形
∴
如图,当时,
∵,
∴,
∴
∴
综上所述：或
故答案为：2或.
16.答案：/度
解析：如图,作B关于的对称点D,连接,,,
∴,,
∴,
∴当A、P、D三点共线时,最小,即此时的值最小,
由轴对称的性质可得,,
,
,
,
是等边三角形,
,
,
,
,,
,
,
故答案为：.
17.答案：
解析：如图,∵是等边三角形,
∴,,
∵,
∴,
∴,
又∵,
∴,
∴,
∴,
作的外接圆,圆心为O,则点F在以O为圆心,为半径的劣弧上运动,连接,交于N,当点F与N重合时,的值最小,最小值为.
∵,
∴,
∵,
,
,
,,
,
,
,
,
,
,,
∴的最小值为.
故答案为：.
18.答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)证明：平分,
；
,
,,
,
是等腰三角形
(2),,
,
,
平分,
,
,
.
19.答案：(1)见解析
(2)
解析：(1)证明：∵、都是等边三角形,
∴,,,
∴,
∴,
在和中,
,
∴,
∴；
(2)∵是等边三角形,
∴,
∵,
∴,
而,
∵,
,
∴,
∴为直角三角形,且,
∴.
20.答案：（1）见解析
（2）4cm
解析:（1）是正三角形,
,
,,,
,
,
,
是等边三角形;
（2）根据题意,
,,
cm,
是正三角形,
,
,
,
,
.
21.答案：(1)见解析
(2)①,理由见解析；②
解析：(1)证明：∵,,
∴,
∴,
∵,,
∴；
(2)①,理由如下：
连接,设,交于点H,如图所示,
∵,,
∴是等边三角形,
∴,,
∵平分,
∴,,即垂直平分,
∴,
∵,
∴,
∴,
由(1)可知：,
∴,
∴；
②过点G作于点M,如图所示,
由①可知,,,
∵,
∴,
∴,
∴,
∴.
22.答案：(1)1或2
(2)见解析
(3)
(4)
解析：(1)设运动时间为t秒,则,,
①当时,
∵,
∴.
∴,即,
解得；
②当时,
∵,
∴.
∴,即,
解得；
∴当点P、Q运动到第1秒或第2秒时,为直角三角形.
故答案为：1或2；
(2)证明：∵是等边三角形,
∴,,
∵点P、Q的速度相同,
∴,
∴；
(3)∵,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵是等腰三角形,
∴,
∴,
∴,且,
∴,
∴；
(4)在等边三角形中,,
∴,
∵点A、B同时出发,且它们的速度都为,
∴,
∴,
∴,
∴.
∴,
∵,
∴,
∴,
∵是直角三角形,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴,
∵,
∴,
∴.
23.答案：（1）①，理由见解析
②.理由见解析
（2）或
解析：（1）①.理由如下，
和是等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
，
.
②.理由如下，
和是等边三角形，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
.
（2）过E作，则为等边三角形.
①当点D在H左侧时，如图1，
，，，
，
，
此时不可能为直角三角形.
②当点D在H右侧，且在线段CH上时，如图2，同理可得.，
，，
此时只有有可能为，当时，，
，
，
，，.
③当点D在H右侧，且HC延长线上时，如图3，此时只有，
，
，
，
，
，
综上：BD的长为或.