山东省济南市历城区2024届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)

这是一份山东省济南市历城区2024届九年级下学期中考二模数学试卷(含解析)，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（ ）
A．B．C．D．
2．自 2020年起，济南新能源汽车市场逐渐驶入发展快车道．2023年一季度，济南新能源汽车总保有量约达111500辆．将数字111500 用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，在中，点D在的延长线上，．如果，，那么的度数是（ ）
A．B．C．D．
4．下列以数学家名字命名的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．已知a是方程 的解，则代数式的值为（ ）
A．2023B．2024C．2025D．2026
6．“龙行朤朤，前程朋朋”表达了对未来的美好祝愿和期许．现将分别印有“龙”、“行”、“ 朤”、“ 朤”四张质地均匀、大小相同的卡片放入盒中，从中随机抽取一张后放回，再从中随机抽取一张，则抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“朤”的概率为（ ）
A．B．C．D．
7．不等式组的所有整数解的和是（ ）
A．9B．7C．5D．3
8．在同一直角坐标系中，一次函数与反比例函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
9．已知，作图．
步骤1：以点D为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N；再分别以点M，N为圆心，大于 长为半径画弧交于点E，画射线．
步骤2：在上任取一点O，以点O为圆心，长为半径画半圆，分别交，，于点P，Q，C；
步骤3：连接，．
则下列结论不正确的是（ ）
A．B． C．垂直平分D．
10．在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等或互为相反数，则称点为“美丽点”．例如点，，，，都是“美丽点”．已知二次函数的图象上只有三个“美丽点”，其中一个“美丽点”是，当时，函数的最小值为，最大值为2，求的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
11．因式分解：= ．
12．七巧板被西方人称为“东方魔术”，下面的两幅图是由同一个七巧板拼成的． 一只蚂蚁图上任意爬行，已知它停在这副七巧板上的任何一点的可能性都相同，那么它停在阴影部分的概率是 ．
13．若 且a为整数，则a的值是 ．
14．如图，以正五边形的边为边向外作等边三角形，连接，则 等于 °．
15．公元三世纪，我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出了“赵爽弦图”．将两个大小相同的“赵爽弦图”（如图1）中的两个小正方形和八个直角三角形按图2方式摆放围成边长为10的正方形，则空白部分面积为

16．如图，在平面直角坐标系中，将等边绕点旋转180°得到，再将绕点旋转得到，再将绕点旋转得到，按此规律进行下去，若点的坐标为，则点的坐标为 ．
三、解答题
17．计算：
18．先化简再求值： 其中
19．如图，在中，过对角线的中点O 作直线，分别交的延长线，的延长线于点E ，M，N ， F．求证：．
20．某种落地灯如图1所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点 B 旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度，支杆与悬杆之间的夹角为．（参考数据： ，，，，，）
(1)如图2，当A、B、C三点共线且时，求灯泡悬挂点 D 距离地面的高度；
(2)在图 2 所示的状态下，将支杆 绕点 B 顺时针旋转同时调节的长（如图3），此时测得灯泡悬挂点 D 到地面的距离为，求的长．（结果精确到1 cm）
21．甲、乙两所学校组织志愿服务团队选拔活动，经过初选，两所学校各 400名学生进入综合素质展示环节．从两校进入综合素质展示环节的学生中分别随机抽取了50名学生的综合素质展示成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
a．甲学校学生成绩的频数分布直方图如图（数据分成6组：，，，，，）：
b．甲学校学生成绩在这一组的是：
c．乙学校学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（85分及以上为优秀）如下表：
根据以上信息，回答下列问题：
(1)甲学校50名学生成绩的中位数为_____，优秀率为_____（85分及以上为优秀）；
(2)甲学校学生A，乙学校学生B的综合素质展示成绩同为83分，这两人在本校学生中的综合素质展示排名更靠前的是_____（填“A”或“B”）；
(3)根据上述信息，推断_____学校综合素质展示的水平更高，理由为_____（至少从一个角度说明推断的合理性）；
(4)若每所学校综合素质展示的前120名学生将被选入志愿服务团队，请预估甲学校学生分数至少达到多少分才可以入选，并说明理由．
22．如图，中，以 为直径的交 于点，是 的切线，且，垂足是E，延长交于点F，连接．

(1)求证：；
(2)若，，求的长．
23．2024年是中国农历甲辰龙年．元旦前，某商场进货员预测一种“吉祥龙”公仔能畅销市场，就用6000元购进一批这种“吉祥龙”公仔，面市后果然供不应求，商场又用12800元购进了第二批这种“吉祥龙”公仔，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每件的进价贵了4元．
(1)该商场购进第一批、第二批“吉祥龙”公仔每件的进价分别是多少元？
(2)若两批“吉祥龙”公仔按相同的标价销售，最后的50件“吉祥龙”公仔按标价的八折优惠售出，且在整个销售过程中需要支出1300元各项费用，要使两批“吉祥龙”公仔全部售完后获利不低于6000元（不考虑其他因素），那么每件“吉祥龙”公仔的标价至少是多少元？
24．【发现问题】
小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形．那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？
【解决问题】
小明尝试从函数图象的角度进行探究：
（1）建立函数模型
设一矩形的面积为4，周长为m ，相邻的两边长为x、y ，则． 即那么满足要求的（x，y）应该是函数 与 的图象在第_____象限内的公共点坐标．
（2）画出函数图象
①画函数 的图象；
②在同一直角坐标系中直接画出的图象，则函数的图象可以看成是函数的图象向上平移_____个单位长度得到．
（3）研究函数图象
平移直线，观察两函数的图象；
①当直线平移到与函数 的图象有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为_____，周长m 的值为_____；
②在直线平移的过程中，两函数图象公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应数值m 的取值范围．
【结论运用】
（4）面积为8的矩形的周长m的取值范围为_____．
25．综合与实践
【问题情境】
在“综合与实践”课上，老师提出如下问题：如图1，是线段上的一点，以和为直角边分别作等腰直角和等腰直角，点在边边上，连接和．
（1）试判断和的位置关系，并说明理由．
【实践探究】
（2）“勤学小组”受此问题启发，将图中的绕着点逆时针旋转角度，使得点落在的外部，得到，点的对应点为，点的对应点为，连接，，如图，请判断与之间的位置关系，并加以证明．
【拓展探究】
（3）“志远小组”在“勤学小组”探究的基础上，提出了这样一个问题：如图3，在： 中， D 为 内一点，当，，时，求线段的长．
26．如图1，抛物线与x轴交于点 A ，与直线交于点 ，点在y轴上．点 P 从点 B 出发，沿线段方向匀速运动，运动到点O 时停止．
(1)求抛物线的表达式；
(2)在图1中过点 P 作 交抛物线于点D ，连接，当四边形是平行四边形时，求的长．
(3)如图2，点P 从点B 开始运动时，点Q 从点O同时出发沿x轴正方向匀速运动，速度是点 P 速度的2倍，点 P 停止运动时点Q 也停止运动．连接，求 的最小值．
80
80
81
82
82
83
83
84
85
86
86.5
87
87
88
88.5
89
平均数
中位数
众数
优秀率
83.3
84
78
46%
《2024年山东省济南市历城区中考二模数学试题》参考答案
1．C
解：由主视图和左视图可得此几何体为柱体，根据俯视图为三角形可得此几何体为三棱柱．
故选C．
2．B
解：，
故选：B．
3．D
解：∵
∴
∵
∴
∵
∴
故选：D．
4．D
解：A．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
5．B
是方程 的解，
，
，
．
故选B．
6．D
解：把“龙”、“行”、“ 朤”、“ 朤”分别记为、、、，
列表得：
共有种等可能出现的结果，其中抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“朤”的情况有种，
抽取的两张卡片上恰有一张印有汉字“朤”的概率为，
故选：D．
7．C
解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为：，
不等式组的整数解为：，，，，，
所有整数解的和是，
故选：C．
8．B
解：、一次函数的图象经过第一、三、四象限，则，，，反比例函数图象经过第二、四象限，则，此选项错误，不符合题意；
、一次函数的图象经过第一、二、三象限，则，，，反比例函数图象经过第二、四象限，则，此选项正确，符合题意；
、一次函数的图象经过第二、三、四象限，则，，，反比例函数图象经过第一、三象限，则，此选项错误，不符合题意；
、一次函数的图象经过第一、二、四象限，则，，，反比例函数图象经过第二、四象限，则，此选项错误，不符合题意；
故选：．
9．D
解：．由作图可知：，
，垂直平分，故选项A、C正确，不符合题意；
B．为半圆的直径，
，，
，
，选项B正确，不符合题意；
D．的度数未知，和互余，
不一定等于，
不一定等于，故选项D错误，符合题意．
故选：D．
10．C
解：一个“美丽点”是，
，
，
的图象上只有三个“美丽点”，
对应的一元二次方程必有一个有两个相等的实数根，
当时，有，
，
化简得：，
，此方程无解，
当时，有，
，
化简得：，
，
，
，
原二次函数为，
，
，
当时，二次函数有最大值为2，
当时，，
关于抛物线的对称轴直线的对称点为，
当时，函数的最小值为，最大值为2，
的取值范围为：．
故选：C．
11．2（x+3）（x﹣3）
=2（x2-9）=2（x+3）（x-3）．
故答案为：2（x+3）（x﹣3）
12．
解：如图，设大正方形的边长为a，
则阴影部分的为标号为1，4，7的三角形的面积，即：，
∴它停在阴影部分的概率；
故答案为：
13．4
解：，即，
，
，
故答案为：4．
14．6
解：五边形是正五边形，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
故答案为：6．
15．50
解：正方形的边长为10，
“赵爽弦图”中正方形的边长5，
空白处的面积大正方形的面积小正方形面积．
故答案为：．
16．
解：∵是等边三角形，点的坐标为，将绕点旋转180°得到，
∴，
∵，
∴，
∴，
故，
即，，
则，
同理可得， ，
······， ，
故点的坐标为，
即．
故答案为：．
17．
解：原式
18．， 6
解：
，
当时，原式
19．见解析
证明：∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即．
20．(1)
(2)
（1）解：过点 D 作于点 E．
在中，，，
，
解得，
灯泡悬挂点D距离地面的高度为（）．
（2）解：过点D向地面作垂线，垂足为F，过点C作于点G，延长交于点H．
在中，，，
，
解得，
（），
（），
在中，，
，
解得，
的长为．
21．(1)；
(2)A
(3)乙校，乙校的中位数高于甲校，乙校的优秀率高于甲校；
(4)预估甲学校学生分数至少达到88分才可以入选．
（1）解：甲校共有50名学生，则中位数为第25位和第26位的平均成绩
由直方图和题干数据得，第25位和第26位的成绩为：81和82，
∴中位数为：；
优秀率为；
故答案为：；；
（2）解：∵A成绩为83分，高于中位数，则A排名在甲校为前半部分；
∵B成绩为83分，低于乙校中位数84，则B排名在乙校为后半部分；
故A的排名更靠前；
故答案为：A；
（3）解：乙校，理由如下：甲校的优秀率为：，由（1）甲校的中位数是81.25分，乙校的中位数是84，优秀率为46%，从中位数，优秀率两个方面比较看出，乙校都高于甲校，故乙校高，
故答案为：乙校，乙校的中位数高于甲校，乙校的优秀率高于甲校；
（4）解：根据题意，分的人数为为：人，不够120人，要从分之间补充，设需要补充x个人，
根据题意，得，
解得，
而这个3个数依次为89，88.5，88，至少要88分，
答：预估甲学校学生分数至少达到88分才可以入选．
22．(1)见解析
(2)
（1）证明：如图，连接．
，
，
是 的切线，
，
，
，
，
．
（2）如图，连接，．

由（1）可知，，
为的直径，
，
．
为的中点，
，
，
．
，
，
．
，，
，
又，
，
，即，
解得，
．
23．(1)该商场购进第一批、第二批“吉祥龙”公仔每件的进价分别是60元、64元
(2)每件“吉祥龙”公仔的标价至少是90元
（1）解：设该商场购进第一批“吉祥龙”挂件的进价是x元/件，则第二批“吉祥龙”挂件的进价是元，
根据题意得： ，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意，
∴（元/件）．
答：该商场购进第一批“吉祥龙”挂件的进价是60元/件，第二批“吉祥龙”挂件的进价是64元；
（2）设“吉祥龙”公仔每件的标价是a元．
由题意得：
解得：
∴“吉祥龙”公仔标价至少是90元
答：每件“吉祥龙”公仔的标价至少是90元．
24．（1） 一；（2）①图见解析；②图见解析，
（3）①，8；②0个交点时，；2个交点时，
（4）
解：（1）∵x、y是边长，∴，，
故满足要求的（x，y）应该是两个函数的图象在第一象限内的公共点坐标，
故答案为：一；
（2）①列表：
描点、连线得函数 的图象如图：
②列表：
描点、连线得函数的图象如图，
由得，函数的图象可以看成是函数的图象向上平移个单位长度得到，
故答案为：；
（3）由得，
由，得，此时，
解得，
∴当直线平移到与函数的图象有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为，周长m的值为8，
故答案为：，8；
②如图，
由①并结合图象知：0个交点时，；2个交点时，；
（4）当面积为8的矩形的周长是m时，相邻两边分别为x、y，则，，
∴，，
由得，
由题意，该方程有实数根，
则，解得，
故答案为：．
25．（1），理由见解析（2），理由见解析（3）
解：，理由：
如图，延长交 于点，
∵和 都是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2），理由：
如图，延长交于点，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴ ；
（3） 如图
过点C作， 并截取 ，连接，
∵在中， ， ，
∴，，



∵，，
∴，
∴，
∴，，
，
∴，
在直角中， ，
∴，
，

过A作 垂足为N，
∴为等腰直角三角形，


在直角中，

26．(1)
(2)
(3)
（1）解：∵抛物线过点，
∴，
∴，
；
（2）∵轴，轴，
∴，
∵四边形是平行四边形；
∴，
∵，
∴，
∵点P在上，
设，
，
解得，
∴，
∵，
．
（3）如图，由题意得，连接．
在下方作，使得，
∵，
∴，
∴，

∴，
（当M，Q，B三点共线时最短），
的最小值为，
，
，
即的最小值为 ．
x
1
2
4
8
y
4
2
1
x
0
1
y
0