山东省济南市钢城区2025届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)

这是一份山东省济南市钢城区2025届九年级下学期中考一模数学试卷(含解析)，共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．5的相反数是（ ）
A．B．C．D．5
2．产自广西钦州的坭兴陶是中国四大名陶之一，以钦州两岸特有的陶土为原料，经独特工艺制作而成，具有“双料混炼、骨肉相融”的特点．右图是坭兴陶的茶杯，它的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
3．晶晶利用“国家中小学智慧教育平台”学习《项目学习2包装中的智慧》时，发现网页中显示“今天已有1650000人与你一起学习…”．请将数据1650000用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
4．下列运算正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．“过新年，挂新灯，家家户户乐融融”，挂灯笼是我国各地新年的一个传统习俗．如图，欣欣从三个灯笼中随机选择两个挂在门口，则选择和两个灯笼的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．函数与（k为常数，）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（ ）
A．B．
C．D．
7．如图，正五边形内接于，P为上一点，连接，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．关于x的方程有两个不相等的实数根，则整数m的最大值是（ ）
A．2B．3C．4D．5
9．如图，点为边上一点(可与点重合)，已知，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点；再以点为圆心，长为半径作弧，交于点(点在点下方)：最后以点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连结并延长且交于点，以下4个结论：①；②；③的最大值为；④若为中点，则．其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
10．如图1，四边形为菱形，动点，同时从点出发，点以每秒1个单位长度沿线段向终点运动；点沿线段向终点运动，当点运动至终点时，另一点也恰好到达终点．设运动时间为秒， 的面积为个平方单位，图2为关于的函数关系图象．下面四个结论中：①菱形的边长为6；②点的运动速度为每秒3个单位长度；③当时，；④曲线段的函数解析式为，结论正确的是（ ）
A．①②③④B．①②③C．①②④D．②④
二、填空题
11．已知关于x的分式方程的解是，则k的值为 ．
12．已知直线，将一块含角的直角三角板按如图方式放置，其中A、两点分别落在直线、上，若，则的度数为 ．
13．两同心圆，小圆半径为2cm，大圆半径为4cm，则一只蚊子落在同心圆的黑色区域内的概率为 ．
14．如图1，是在空中参与飞行表演的两架无人机，如图2，在平面直角坐标系中，线段OA，BC分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度y1，y2()与飞行时间x()的函数关系，其中，线段OA与BC相交于点P，AB⊥y轴于点B，点A的横坐标为25，则在第 秒时1号和2号无人机飞行高度差为20米．
15．如图，在矩形中，，点在边上，，在矩形内找一点，使得，则线段的最小值为 ．
三、解答题
16．计算：
17．解不等式组：，并将解集表示在数轴上．
18．如图，在矩形中，对角线相交于点O，于点E，于点F．求证：．

19．某校学习小组进一步计划去郊外进行测绘实践活动“测量山坡两侧点与点的高度差”，因山坡的遮挡，两点无法用眼睛直接观测到，于是他们先画出如图2所示的测绘图纸，在点，处分别竖直安置经纬仪和，且米，用无人机辅助测得PG与水平线的夹角与水平线的夹角，无人机距离水平地面的高度米，无人机距离经纬仪顶端Q的距离米．请你根据以上数据求：
(1)无人机距离经纬仪顶端P的距离；
(2)点与点的高度差．(参考数据：)
20．如图，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，连接AE和BE，BC平分∠ABE交⊙O于点C，过点C作CD⊥BE，交BE的延长线于点D，连接CE．

(1)请判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若sin∠ECD＝，CE＝5，求⊙O的半径．
21．2024年4月24日“中国航天日”的主题是“极目楚天，共襄星汉”，这是自2016年以来的第九个“中国航天日”．为了弘扬航天精神，某校开展了航天知识竞答活动，学校随机抽取了部分学生的成绩进行整理，将成绩（单位：分）分成五组：A．；B．；C．；D．；E．．下面给出部分信息：
组的数据为70，71，72，72，72，74，75，76，76，77，77，79．
绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次调查随机抽取了 名学生；
(2)请补全条形统计图；
(3)在扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角度数是 ；
(4)随机抽取的这部分学生的成绩的中位数是 分；
(5)该校要对成绩在E组的学生进行奖励，按成绩从高到低设一、二等奖，并且一、二等奖的人数比例为，请估计该校1500名学生中获得一等奖的学生人数．
22．火龙果是一种花青素、维生素E含量较为丰富的水果，有延缓衰老、调节免疫的作用．现有“白心火龙果”和“红心火龙果”两个品种，某水果店试销这两种火龙果，已知每箱的售价“红心火龙果”比“白心火龙果”贵10元，销售6箱“白心火龙果”的总价比销售5箱“红心火龙果”的总价多30元．
(1)问“白心火龙果”与“红心火龙果”每箱的售价各是多少元？
(2)若“白心火龙果”每箱的进价为65元，“红心火龙果”每箱的进价为70元．现水果店购进两种火龙果共38箱，计划所花资金不高于2600元，设购进“白心火龙果”箱，销售这两种火龙果的利润为元，则该水果店应如何设计购进方案才能使得利润最大，最大利润是多少？
23．已知一次函数（）和反比例函数的图象如图所示．
(1)一次函数必定经过点 ________．（写点的坐标）
(2)当时，一次函数与反比例函数图象交于点A，B，与x，y轴分别交于点C，D，连接并延长，交反比例另一支于点E，求出此时A，B两点的坐标及的面积．
(3)直线绕点C旋转，直接写出当直线与反比例图象无交点时m的取值范围．
24．如图所示，抛物线的对称轴为直线，与轴交于，两点，与轴交于点，直线与该抛物线交于，两点（点在点的左侧）．
(1)求该抛物线的解析式及，两点的坐标；
(2)如图2，将位于直线上方的抛物线沿着直线翻折，点是上方的抛物线上的一动点，点的对应点为点，连接交于点．
①当四边形是菱形时，请直接写出点的坐标；
②在点的运动过程中，请求出线段的最大值．
25．在等腰直角中，，D为直线上任意一点，连接．将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，过点E作于点F，连接．
(1)尝试发现：如图1，当点D在线段上时，请探究线段与的数量关系；以下是小琳同学的探究思路梳理：由已知条件的基本图形“一线三垂直”，易证，于是可得．欲探究线段与的数量关系，由直观先猜想，要进一步证明，可尝试证明，由已知，得，于是可得：（ ① ），所以可得（ ② ），因此猜想成立．请填空：以上思路梳理中，空白①处的理由是______，空白②处的线段是______．
(2)类比探究：如图2，当点D在线段的延长线上时，
①再探究线段与的数量关系并证明；
②若，求线段的长；
(3)拓展应用：如图3，若，请直接写出线段的长．
《2025年山东省济南市钢城区九年级中考一模数学试题》参考答案
1．A
解：5的相反数是；
故选A．
2．C
解：从上面看得到图形为：
故选：C．
3．C
解：，
故选：C
4．A
解：A．，正确；
B．，故不正确；
C．，故不正确；
D．，故不正确；
故选A．
5．B
解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中选择和两个灯笼的结果有两种，
选择和两个灯笼的概率为，
故选：B．
6．D
解：当时，函数的图象在第一、三象限，函数在第一、三、四象限，故选项C不符合题意，选项D符合题意；
当时，函数的图象在第二、四象限，函数在第一、二、四象限，故选项A、B不符合题意，
故选：D．
7．B
解：连接、，
∵是圆内接五边形，
∴，
∴，
故选B．
8．B
解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根，
∴，
解得：，
又∵m为整数，
∴m的最大值为3．
故答选：B．
9．B
解析：①由尺规作图可得，，故①正确；
② ，，
，
∴， 故②错误；
③ 当与重合时，最大，此时，
由，得，
解得，故③不正确；
④ 当为中点时，，由尺规作图可得，
由 ，可得，
∴，故④正确；
综上所述，①④正确，
故选：B．
10．A
解：∵动点，同时从点出发，同时到达点D，
∴点Q的速度是点P速度的3倍，
∵点以每秒1个单位长度的速度运动，
∴点的运动速度为每秒3个单位长度，故②正确；
由图象可知，2秒后点Q到达点B，
∴，即菱形的边长为6，故①正确；
作于点H，由图象可知，点Q到达点B时，即时，的面积为5，此时，
∴，
∴，
∴，
当点Q到达点C时，的面积最大，此时，，的面积为，即当时，，故③正确；
当点Q运动到点D时，，
当点Q运动到的中点时，作交的延长线于E，此时，，．
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴的面积为，
设曲线段的函数解析式为，
把代入，得
，
解得，
∴，故④正确．
故选A．
11．2
解：将代入分式方程可得：
，
∴，
解得
故答案为：2
12．
解：∵直线，
∴，
故答案为：．
13．．
∵大圆的面积为：42π＝16π，小圆的面积为22π＝4π，
∴蚊子落在同心圆的黑色区域内的概率为，
故答案为：．
14．13或17
解：，当时，，
∴点的坐标为，
由题意知点的坐标为，
设，
将代入得，
∴，
∴，
∴线段对应的函数表达式为：，
由题意得，
整理得，
解得：或，
∴在第13秒或17秒时，1号和2号无人机飞行高度差为20米，
故答案为：13或17．
15．/
解：点P在所对圆周角的圆O上运动，
当的延长线过圆心O时，有最小值，连接，，过O作于H，过O作于M，
，，
，，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
，
，
的最小值是，
故答案为：．
16．
解：原式
．
17．，数轴表示见解析
解：，
解不等式①，得：；
解不等式②，得：，
所以不等式组的解集为：，
在数轴上表示如图：
18．见解析
∵四边形是矩形，对角线相交于点O，
∴．
∵，，
∴．
在和中，，
∴，
∴，
∴，
即．
19．(1)70米
(2)点与点的高度差为11米
（1）解：如图，过点作于点，则四边形是矩形，
∴，
∴米
在中，，
米
（2）解：过点作于点，
在中，，
（米），
（米）．
答：点与点的高度差为11米．
20．(1)CD是⊙O的切线，理由见解析
(2)⊙O的半径为
（1）解：结论：CD是⊙O的切线．
理由：连接OC．
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵BC平分∠ABD，
∴∠OBC＝∠CBE，
∴∠OCB＝∠CBE，
∴OC//BD，
∵CD⊥BD，
∴CD⊥OC，
∵OC是半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）设OA＝OC＝r，设AE交OC于点J．
∵AB是直径，
∴∠AEB＝90°，
∵OC⊥DC，CD⊥DB，
∴∠D＝∠DCJ＝∠DEJ＝90°，
∴四边形CDEJ是矩形，
∴∠CJE＝90°，CD＝EJ，CJ＝DE，
∴OC⊥AE，
∴AJ＝EJ，
∵sin∠ECD＝＝，CE＝5，
∴DE＝3，CD＝4，
∴AJ＝EJ＝CD＝4，CJ＝DE＝3，
在Rt△AJO中，r2＝（r﹣3）2+42，
∴r＝，
∴⊙O的半径为．

21．(1)
(2)见解析
(3)
(4)
(5)人
（1）解：由频数分布直方图可知：组人数为人，
由扇形统计图可知：组人数占比为，
本次调查随机抽取的学生总人数为：
（人），
故答案为：；
（2）解：由（1）得：本次调查随机抽取的学生总人数为人，
由扇形统计图可知：组人数占比为，
组人数为：（人），
补全条形统计图如下；
（3）解：在扇形统计图中，组所在扇形的圆心角为：
，
故答案为：；
（4）解：随机抽取了人，
中位数是第名学生和第名学生成绩的平均值，
根据题意，第名学生和第名学生的成绩分别为：，，
中位数，
故答案为：；
（5）解：（人），
估计该校名学生中获得一等奖的学生人数约为人．
22．(1)“白心火龙果”每箱的售价为80元，“红心火龙果”每箱的售价为90元
(2)购进“白心火龙果”12箱，购进“红心火龙果”26箱时，利润最大，最大利润是700元
（1）解：设“白心火龙果”每箱的售价为元，“红心火龙果”每箱的售价为元，
由题意可得，解得，
答：“白心火龙果”每箱的售价为80元，“红心火龙果”每箱的售价为90元；
（2）解：由题意可得，
，
随的增大而减小，
要求所花资金不高于2600元，
，解得，
当时，取得最大值，此时，，
答：购进“白心火龙果”12箱，购进“红心火龙果”26箱时，利润最大．最大利润是700元．
23．(1)
(2)A，B两点的坐标分别为，，的面积为6
(3)
（1）解：由题意知，
令，即，则，
∴一次函数必定经过点，
故答案为：；
（2）解：∵，则，
联立，解得，，
∴，，
∴，
如图，过作轴，过作于，过作于，
则，，，，，
∴
∴A，B两点的坐标分别为，，的面积为6．
（3）解：由题意知，，
令，整理得，
令，
解得，
∴直线与反比例图象无交点时m的取值范围为．
24．(1)，，
(2)①；②
（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
解得，
将点代入抛物线得：，
∴该抛物线的解析式．
联立，解得或，
∵抛物线与直线交于，两点（点在点的左侧），
∴，．
（2）解：①如图，设直线分别交轴，轴于点，，交轴于点，过点作轴于点，
对于直线，
当时，，即，
当时，，解得，即，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，且，
∵四边形是菱形，
∴，，
由（1）已得：，，
∴，即，
∵轴，
∴，
又∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，即，
设直线的解析式为，
将点，代入得：，解得，
∴直线的解析式为，
联立，解得或，
∵点是上方的抛物线上的一动点，且，，
∴点的横坐标大于，且小于4，
∴点的坐标为．
②如图，设直线交轴于点，过点作轴，交于点，
设点的坐标为，则点的坐标为，
∴，
由（1）可知，，
∵轴，
∴，
，关于直线对称，
∴，，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
∴，
由二次函数的性质可知，在内，当时，取得最大值．
25．(1)①等式性质1，②
(2)①，证明见解析；②
(3)或
（1）解：∵中，，
∴，
由旋转知，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴（ 等式性质1 ），
∴（ ），
故答案为：等式性质1，；
（2）解：①．
证明：∵中，，
∴，
由旋转知，
∴，
∴，
∵，,
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当时，
，
∴；
（3）解：当时，
由（1）（2）知，，
当点D在右侧时，，
∴；
当点D在左侧时，，
∴．
故线段的长为或．