湖北省襄阳市第五中学2025届高三下学期5月适应性考试（五）数学试题（PDF版附解析）

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15．（1）解：依图象可知，………………………………………………………………….2分
，所以，，……………………………………………………………….4 分
，当时，，
点的坐标为，千米…………………………6分(没有单位扣1分)
（2）在中，
，
，………………………………………………………………………………….8分
当且仅当取等号，……………………………………………………………….10分
，
的面积最大值为平方千米.………………………………13分（没有单位扣1分）
16.解:（1）连接BD，BD与AC交于，点F，连接EF，
四边形ABCD为矩形，为BD的中点，
平面AEC，平面PBD经过PB且与平面AEC交于EF，
，……………………4分
又点F是BD的中点，点E是棱PD的中点.……………………………………………………5分
（2）方法一：平面ABCD，AC，AD，平面ABCD，，
则就是PC与平面ABCD所成的角，
故，解得．……………………………………7分
四边形ABCD为矩形，，
又，PA与AD是平面PAD内的两相交直线，平面PAD，
如图，平面PAD内作，垂足为G，连接GC，则，
是二面角的平面角．………………………………………………………10分
在直角三角形PAD中，，点E是PD的中点，
，且
平面PAD，平面PAD，，
故，
二面角的平面角的正切值为．…………………………………………………15分
方法二：平面ABCD，AC，AD，平面ABCD，
，则就是PC与平面ABCD所成的角，
又四边形ABCD为矩形，，
分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
设是平面AEC的一个法向量，二面角的大小为，
由，可得，………………………………………………7分
则，
故
解得，所以，………………………………………………9分
又是平面AED的一个法向量，且为锐角，………………………………………10分
故，…………………………………………………12分
则，即，
所以二面角的平面角的正切值为．……………………………………………15分
17．解:（1）渐近线方程为.
又，
双曲线的方程为……………………………………………………………………4分
（2）直线与双曲线交于不同的两点，
由 ，得，
，且 ，
，且.…………………………………………………………………………6分
设，则，
，
线段的中点坐标为，
线段的垂直平分线的方程为，
即，……………………………………………………………………………10分
又在由点与构成的三角形中，，
点不在直线上，而是在线段的垂直平分线上，……………………………………12分
，
又，
且，解得，或，
实数的取值范围是.…………………………………………………………15分
解：（1）小球三次碰撞全部向左偏或者全部向右偏落入袋，
故概率，
小球落入袋中的概率.
故，，分
游戏过程中累计得分可以分为两种情况：
得到分后的一次游戏小球落入袋中（分），
或得到分后的一次游戏中小球落入袋中（）分，
故 分
故为常数数列且，故即分
，
故是以为首项，以为公比的等比数列，分
故，
所以的通项公式为分
19．解:（1）.
曲线在点处的切线方程为.…………………………3分
（2）当时，，
在上恒成立，
∴f(x)在上单调递增，
当时，.……………………………………………………………………7分
（3）当时，，
当时，存在成立，
，
得.
由（2）可知，当时，单调递增，
，即，
，………………………………………………………………………………10分
设，
则，
当时，，则，……………………………………………13分
，
，
.…………………………………………………………………………………17分
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
A
C
A
D
A
B
C
B
BCD
AC
BCD