湖北省襄阳市第五中学2025届高三下学期5月适应性考试（三）数学试题（Word版附答案）

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15.解:（1），
在∆ABC中，由正弦定理得，，
由三角形内角和为可得，
，
即，
，，，
即，………………………………………………………………………………（5分）
又，，即………………………………………………（6分）
（2）设，令，，
在中，由正弦定理得，，
，…………………………………………………………（8分）
在∆ABC中，由正弦定理得，，，，
……………………………………………………………………………（10分）
，
解得，
……………………………………………………………（13分）
16．解：（1）设数列的公差为，因为成等比数列，且，所以，
即，即，解得，所以，………………………（4分）
又因为，
当时，集合，所以集合中元素的个数；
当时，集合，所以集合中元素的个数.…………（6分）
（2）由集合 的元素个数为，
结合（1）可得，…………………………………………………………………（8分）
所以，
当时，可得；
当时，可得，………………………………………（13分）
又由，
所以数列为单调递增数列，所以的最小值是.………………………………………（15分）
17．解：（1）由题意得，
所以；………………………………（5分）
（2）列联表如下：
则，
所以，
…………………………………………………………………………………………………（9分）
同理，
所以
…………………………………………………………………（15分）
18．解：（1）对于任意不同的，有，，所以，
，
所以是上的“3类函数”………………………………………………………（4分）
（2）因为，
由题意知，对于任意不同的，都有，
不妨设，则，
故且，
故为上的增函数，为上的减函数，
故任意，都有，
由可转化为，
令，只需
，令，在单调递减，
所以，，故在单调递减，
，…………………………………………………………………………（7分）
由可转化为，
令，只需
，令，在单调递减，
且，，所以使，即，
即，
当时，，，故在单调递增，
当时，，，故在单调递减，
，
故…………………………………………………………………………………（11分）
（3）因为为上的“2类函数”，所以，
不妨设，
当时，；
当时，因为，
，
综上所述，，，…………………………………………………（17分）
19．解：（1）依题意，，，解得，
所以所求方程为…………………………………………………………………（4分）
（2）（i）设直线，由消去得，
设，则，直线的斜率分别为，
则
，
则，即，……………………………………………………（8分）
在中，令，则，
，
当且仅当时取等号，所以的最大值为……………………………………（10分）
（ii）当取最大值时，是边长为2的等边三角形，
过原点，
将沿轴折成三棱锥，将底面补成等腰梯形，
则三棱锥的外接球即为四棱锥的外接球．
过等腰梯形外心即中点作直线平面，
过中心作直线平面，则即为三棱锥外接球球心，
即为三棱锥外接球半径，
显然与重合时三棱锥外接球半径最小，
此时平面，三棱锥为正四面休，AN与交点即为中心，
平面，而平面，则PG⊥AM，
在等腰梯形中，，，则，即，
由平面，于是平面，
而平面，因此，
因此，………………………………………………（14分）
，
则三棱锥表面积为，
设三棱锥内切球半径为，
则，
解得……………………………………………………………………………（17分）

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ABC
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