江西省三新协同教研共同体2024-2025学年高一下学期5月联考数学试卷（Word版附解析）

这是一份江西省三新协同教研共同体2024-2025学年高一下学期5月联考数学试卷（Word版附解析），共13页。试卷主要包含了本试卷主要考试内容等内容，欢迎下载使用。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
4.本试卷主要考试内容：北师大版必修第二册第一章至第五章。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满足 z1+i=2−i,其中i为虚数单位，则z在复平面内对应的点位于
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知向量a=(2,-m),b=(3m+2,2),且a⊥b,则3a+b=
A.(2,1) B.(5,5) C.(-1,2) D.(6,3)
3.已知角α的终边过点(3,-4),则sin2α=
A. 35 B.−35 C.−2425 D.2425
4.在△ABC中, AN=13NC,P是直线 BN上的一点，若 AP=mAB+25AC,则实数m的值为
A.−35 B. 35 C. 15 D.−15
5.已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能是
A. f(x)= sin(sinx)
B. f(x)= tan(sinx)
C. f(x)= cs(tanx)
D. f(x)= tan(csx)
6.若函数f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x+π)=f(x),当 x∈0π2时,f(x)=3csx,则 f−13π3+f9π4+f2π=
A.32+12 B.1 C.32−32 D.0
【高一数学 第1页(共4页)】7.方程 x2−2x⋅csπx2+1=0的实数解的个数为
A.0 B.1 C.2 D.3
8.设A,B,C是函数 fx=sinπ2−ωxω0)与函数 gx=csωx−π3ω0)的图象连续相邻的三个交点，若△ABC 是锐角三角形，则ω的取值范围是
A.3π3+∞ B.2π2+∞
C.02π2 D.03π3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的。全部选对的得6分，部分选择的得部分分，有选错的得0分。
9.已知函数 fx=Asinωx+A0,ω>0,∣∣b>c,证明：该三角形是直角三角形.
【高一数学 第3页(共4页)】18.(17分)
设函数 fx=sin2x−2acsx+a+1a∈R.
(1)求 f(x)在R上的最大值;
(2)若不等式 fx>0在 0π3上恒成立，求a的取值范围；
(3)若方程. fx=1−2acsx在(0，2π]上有4个不相等的实数根，求a 的取值范围.
19.(17分)
“算两次”原理(又称富比尼原理)是一种重要的数学思想，其核心是通过对同一量采用两种不同的计算方式，利用结果的等价性构建等式来解决问题.例如：如图甲，在 △ABC中,D 为BC的中点，则 AD=AB+BD,AD=AC+CD,两式相加得 2AD=AB+BD+AC+CD,因为D为BC的中点，所以 BD+CD=0,于是 2AD=AB+AC.请用“算两次”的方法解决下列问题.
(1)如图乙,在四边形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,证明: 2EF=AB+DC.
(2)如图丙,在四边形ABCD 中,E,F 分别在边AD,BC上,且 AE=14AD,BF=14BC, AB=4,DC=3,AB与 DC的夹角为( 60∘,求 AB⋅EF.
(3)若在四边形ABCD中,E,F 分别在边AD,BC上,且 AE=1mAD,BF=1mBC,AB=p, DC=q,AB与 DC的夹角为α，求 AB⋅EF.
【高一数学 第4 页(共4页)】数学试卷参考答案
1. D
根据复数除法计算出z，再根据共轭复数的定义写出z，，最后确定对应点在复平面内的位置.
【详解】由 z1+i=2−i可知z=(2-i)(1+i)=3+i,则 z=3−i.
故选D.
2. B
由a⊥b,可得6m+4-2m=0,求出m的值,从而可求出3a+b的坐标.
【详解】因为向量a=(2,-m),b=(3m+2,2),且a⊥b,
所以6m+4-2m=0,解得m=-1,
所以a=(2,1),b=(-1,2),
所以3a+b=(6,3)+(-1,2)=(5,5).
故选 B.
3. C
根据三角函数的定义求出 sinα，csα，结合二倍角的正弦公式计算即可求解.
由题意知， sinα=−432+−42=−45,csα=33+−42=35,
所以 sin2α=2sinαcsα=2×−45×35=−2425.
故选 C.
4. A
根据给定条件，利用共线向量定理的推论列式计算即得.
【详解】由 AN=13NC,得 AC=4AN,则 AP=mAB+25AC=mAB+85AN,而B，P，N三点共线，则 m+85=1,
所以 m=−35.
故选 A.
【高一数学·参考答案 第1页(共9页)】题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
C
A
D
C
A
A
ABD
BD
题号
11









答案
ABC









5. D
利用函数的奇偶性、定义域，结合三角函数的性质判定即可.
【详解】观察图象可知函数为偶函数.
对于A,f(-x)= sin(sin(-x))= sin(-sinx)=-sin(sinx)=-f(x),为奇函数,排除;
对于B,f(-x)= tan(sin(-x))= tan(-sinx)=-tan(sinx)=--f(x),为奇函数，排除；
同理，C，D选项为偶函数，而对于C项，其定义域为 −π2+kππ2+kπk∈Z,不是R，舍去，故D正确.
故选D.
6. C
由题意可得f(x)的最小正周期为π，由奇函数的定义和周期性，结合特殊角的三角函数值，计算可得所求和.
【详解】f(x)是定义在R上的奇函数,则f(x)=-f(-x),
又满足f(x+π)=f(x),可得f(x)的最小正周期为π,
所以f(x+π)=--f(-x),则f(x)的图象关于点( π20)对称，即. fπ2=0,
又当 x∈0π2时,f(x)=3csx,
所以 f−13π3+f9π4+f2π=f−4π−π3+f2π+π4+f0
=f−π3+fπ4+f0=−fπ3+fπ4+f0
=−3csπ3+3csπ4+0=32−32.
故选C.
7. A
根据 1=sin2πx2+cs2πx2,解方程得到k的值.
【详解】原方程化为 x−csπx22+sin2πx2=0,
J 由 sinπx2=0,得x=2k(k∈Z),代入 x=csπx2,得 2k=cskπ,无整数解.
故选 A.
8. A
先化简变换得到 fx=csωx,gx=csωx−π3,在同一坐标系中作出两个函数的图象，设D 为AC 的中点，由 csωx=csωx−π3,csωx=±32,然后根据 △ABC为
【高一数学·参考答案 第2页(共9页)】锐角三角形，只须 π40,则7θ=2kπ,k∈Z,
故 r=2,z=2cs2kπ7+isin2kπ7,k∈Z,
故B,D正确,A,C错误.
故选 BD.
11. ABC
根据题意，建系，写出相关点的坐标，设OA=a，利用余弦定理求得 a2=16+82.对于A，代入点的坐标计算即可判断；对于B，根据投影向量的定义计算即可判断；对于C，取CD 的中点M，推得 PC+PD2=4PM2,PC−PD2=4MC2,继而得到 PC⋅PD=PM2-4，结合图形，判断当点 P 与点G 或点 H 重合时， PM2取最大值，利用两点间距离公式计算即得；对于D，将相关向量的坐标代入所求函数，整理后，根据二次函数的性质即可求得f(x)的最小值.
【详解】如图，以GC 所在直线为x轴，以AE 所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.
设OA=a,在△OAB 中,由余弦定理得 a2+a2−2a2cs45∘=42,解得 a2=16+82.
A(0,-a),B( 22 a,- 2 a),C(a,0),D([2,, 24 ),
E(0,a ),F−22a22a,G−a0,H−22a−22a
对于A OB+OD=22a−22a+22a22a=2a0,故 OB+OD=2OC,即 A正确；
对于B BD=02a,BC=2−22a22a,则 BD在 BC方向上的投影向量为 BD⋅BC∣BC∣2. BC=a22−2a2BC=1+22BC,即B正确；
对于C，取CD的中点M，则 PC+PD=2PM,PC−PD=DC=2MC,则 PC+PD2=4PM2,PC−PD2=4MC2,
两式相减，可得 4PC⋅PD=4PM2−MC2,从而 PC⋅PD=PM2−4,由正八边形的对称性，可知当点 P 与点G 或点 H 重合时， PM2取最大值，此时不妨取 P−a0,M2+24a24a,
则 PM2=2+24+12a2+242a2=10+324a2=10+324×16+82=52+322故 PC⋅PD的最大值为 52+322−4=48+322,故C正确；
对于D，因为 BE=0a−22a−22a=−22a2+22a,BC=2−22a22a,
则[f(x)]²=(BE-xBC)²=BE²-2xBE,BC+x²BC²
=(2+ 2 )a²-2a²x+(2- 2 )a²x²=[(2- 2 )x²-2x+2+ 2 ]a²,
则当 x=−−222−2=2+22时， fxmin2=2+2−a2=2+22×(16+ 82)=42+22,
故f(x)的最小值 fxmin=22+2=4+22,故D错误.
故选 ABC.
12.35
根据数量积的运算性质和模的性质证明 ∣a−b∣2+∣a+b∣2=2∣a∣2+∣b∣2,代入已知条件可得结论.
【详解】因为 a−b∣2=a−b2=a2−2a⋅b+b2,
∣a+b∣2=a+b2=a2+2a⋅b+b2,
所以| a−b∣2+∣a+b∣2=2a2+b2=2∣a∣2+∣b∣2
又|a|=4,|b|=2,|a-b|= 5
所以 5+∣a+b∣2=216+4=40,
所以 ∣a+b∣2=35,故 ∣a+b∣=35.
故答案为 35.
13.4π
结合复数的几何意义求解即可.
【详解】因为复数z在复平面内对应的点为Z，则|z-a|≤2表示点Z 到点(a，0)的距离小于或等于2，
所以复数z对应的点Z的集合所形成的图形是以(a，0)为圆心，2为半径的圆面，所以圆的面积为 π×22=4π.
故答案为4π.
14.2333
由题中式子知 sinC=32,知一边和对角，用正弦定理边化角，得面积范围.
【详解】由 acsB+bcsA=3sinC,得 2RsinA+B=2RsinC=3sinC,得 sinC=32,又三角形ABC 为锐角三角形，所以 ∠C=π3,且 ∠A∈π6π2,2R=csinC=433,则 S△ABC=
【高一数学·参考答案 第5页(共9页)】 12absinC=34⋅2R2sinA⋅sinB=433⋅12csA−B−csA+B= 233[cs2A−2π3+12∈2333.
故答案为 2333.
15.(1)z=1-i或 z=−1+i;255.
【详解】(1)设z=x+ yi(x,y∈R),则 z2=x+yi2=x2−y2+2xyi,
则 {x2+y2=2,2xy=−2, …………… 2分
解得 {x=1,y=−1或 {x=−1,y=1, … 5分
∴z=1-i或z=-1+i.………………………………………………………………………………… 6分
(2)∵z的实部为正数，
∴z=1-i, ………………………… … ……………………………………………………… 7分
∴z2=1−i2=−2i,2z+z2=2−4i,
则.A(1,--1),B(0,-2),C(2,-4),
则 AB=−1−1,AC=1−3,. … 10分
∴cs∠BAC=AB⋅AC∣AB∣∣AC∣=22×10=55.… 13分
16.1fx=sinx;232.
(1)应用诱导公式、二倍角公式化简即可；
(2)根据同角三角函数的基本关系，结合角的范围求出 csα，sin(α+β)，最后根据sinβ=sin[(α+β)-α]及两角差的正弦公式计算可得.
【详解】 1fx=2sin−xsinπ4−x2csx2−π4csx2+sinx2sinx2−csx2=−2sinx⋅⋅12sinπ2−xsin2x2−x2= −sinxcsx−csx=sinxx≠π2+kπk∈Z.…………………………………………………… 7 分
(2)因为角α为锐角，且 sinα=437,所以 csα=1−sin2α=17.……………………… 8分因为 α∈0π2,β∈0π2,所以α+β∈(0,π),
又因为 csα+β=−1114,所以 sinα+β=1−cs2α+β=5314,………………… 10分所以 fβ=sinβ=sinα+β−α=sinα+βcsα−csα+βsinα
【高一数学·参考答案 第6页(共9页)】 =5314×17−−1114×437=32.… 15分
17.(1)4;(2)见解析.
(1)由等面积法和三角形面积公式得出 32ab=12CD⋅a+b,结合 a+b=34ab即可求解.
(2)利用三角恒等变换及和差化积公式即可证明.
【详解】(1)因为( C=π3,所以 C2=π6,所以 sinC2=12.… 1分
由 S△CAB=S△CAD+S△CBD,得 12absinC=12CD⋅asinC2+12CD⋅bsinC2,… 3分
所以 32ab=12CD⋅a+b,… 5分
所以 CD=3aba+b=3×43=4.… 7分
(2)由于s sin2A+sin2B+sin2C=2cs2A+cs2B+cs2C
因此1 −cs2A+1−cs2B+1−cs2C=2(cs2A+cs2B+cs2C),
所以 3cs2A+cs2B+cs2C=3,, … 9分
则 2cs2A+cs2B+cs2C=2,
所以c s2A+cs2B+2cs²C=0,…………………………………………………………… 10分
所以2cs(A+B) cs(A-B)+2cs²C=0,
即---2csCcs(A-B)+2cs²C=0,
即cs C[cs C-cs(A-B)]=0,
故csC=0或csC= cs(A-B). ………………………………………………………… 12分
由a>b>c,可得π>A>B>C>0,所以π>A-B>0,π>C>0,
所以 C=π2或A-B=C.……………………………………………………… 13分
由A>B>C,可得( C0在 121上恒成立求解即可；
(3)参考详解.
【详解】 1)fx=1−cs2x−2acsx+a+1=−cs2x−2acsx+a+22,令t=csx∈
【高一数学·参考答案 第7页(共9页)】[-1,1],得 gt=−t2−2at+a+2.……… 1分
①当-a1时,f(x) max=g(-1)=3a+1.
②当-1≤-a≤1,即-1≤a≤1时, fxmax=g−a=a2+a+2.
③当-a>1,即a0,则需 f(x) min>0,
当 x∈0π3时， t=csx∈121,
函数y=f(x)变为 gt=−t2−2at+a+2,t∈121,
所求问题变为g(t) min>0恒成立. ………………………………………………………………… 8分
易知g(t)的图象是开口向下的抛物线的一部分，
最小值一定在区间端点处取得，所以有 ……………………………………… 10分解得a02−1,a