江西省三新协同教研共同体2024-2025学年高一下学期5月联考数学试卷（含答案）

这是一份江西省三新协同教研共同体2024-2025学年高一下学期5月联考数学试卷（含答案），共8页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z满足z1+i=2−i，其中i为虚数单位，则z在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2.已知向量a=(2,−m)，b=(3m+2,2)，且a⊥b，则3a+b=( )
A. (2,1)B. (5,5)C. (−1,2)D. (6,3)
3.已知角α的终边过点(3,−4)，则sin2α=( )
A. 35B. −35C. −2425D. 2425
4.在△ABC中，AN=13NC，P是直线BN上的一点，若AP=mAB+25AC，则实数m的值为( )
A. −35B. 35C. 15D. −15
5.已知函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能是( )
A. f(x)=sin(sinx)B. f(x)=tan(sinx)
C. f(x)=cs(tanx)D. f(x)=tan(csx)
6.若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x+π)=f(x)，当x∈(0,π2)时，f(x)=3csx，则f(−13π3)+f(9π4)+f(2π)=( )
A. 3 2+12B. 1C. 3 2−32D. 0
7.方程x2−2x⋅csπx2+1=0的实数解的个数为( )
A. 0B. 1C. 2D. 3
8.设A，B，C是函数f(x)=sin(π2−ωx)(ω>0)与函数g(x)=cs(ωx−π3)(ω>0)的图象连续相邻的三个交点，若△ABC是锐角三角形，则ω的取值范围是( )
A. ( 3π3,+∞)B. ( 2π2,+∞)C. (0, 2π2)D. (0, 3π3)
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|b>c，证明：该三角形是直角三角形．
18.(本小题17分)
设函数f(x)=sin2x−2acsx+a+1(a∈R)．
(1)求f(x)在R上的最大值;
(2)若不等式f(x)>0在[0,π3]上恒成立，求a的取值范围;
(3)若方程f(x)=1−2acsx在(0,2π]上有4个不相等的实数根，求a的取值范围．
19.(本小题17分)
“算两次”原理(又称富比尼原理)是一种重要的数学思想，其核心是通过对同一量采用两种不同的计算方式，利用结果的等价性构建等式来解决问题.例如：如图甲，在△ABC中，D为BC的中点，则AD=AB+BD，AD=AC+CD，两式相加得2AD=AB+BD+AC+CD，因为D为BC的中点，所以BD+CD=0，于是2AD=AB+AC.请用“算两次”的方法解决下列问题．
(1)如图乙，在四边形ABCD中，E，F分别为AD，BC的中点，证明：2EF=AB+DC．
(2)如图丙，在四边形ABCD中，E，F分别在边AD，BC上，且AE=14AD，BF=14BC，AB=4，DC=3，AB与DC的夹角为60∘，求AB⋅EF．
(3)若在四边形ABCD中，E，F分别在边AD，BC上，且AE=1mAD，BF=1mBC，AB=p，DC=q，AB与DC的夹角为α，求AB⋅EF．
参考答案
1.D
2.B
3.C
4.A
5.D
6.C
7.A
8.A
9.ABD
10.BD
11.ABC
12. 35
13.4π
14.(2 33, 3]
15.(1)设z=x+yi(x,y∈R)，则z2=(x+yi)2=x2−y2+2xyi，
则x2+y2=2,2xy=−2,
解得x=1,y=−1或x=−1,y=1,
∴z=1−i或z=−1+i．
(2)∵z的实部为正数，∴z=1−i，∴z2=(1−i)2=−2i，2z+z2=2−4i，
则A(1,−1)，B(0,−2)，C(2,−4)，则AB=(−1,−1)，AC=(1,−3)，
∴cs∠BAC=AB⋅AC|AB||AC|=2 2× 10= 55．
16.解：(1)f(x)=2sin(−x)sin(π4−x2)cs(x2−π4)(csx2+sinx2)(sinx2−csx2)=−2sinx⋅12sin(π2−x)sin2x2−cs2x2
=−sinxcsx−csx=sinx(x≠π2+kπ,k∈Z)；
(2)因为角α为锐角，且sinα=4 37，所以csα= 1−sin2α=17．
因为α∈(0,π2)，β∈(0,π2)，所以α+β∈(0,π)，
又因为cs(α+β)=−1114，所以sin(α+β)= 1−cs2(α+β)=5 314，
所以f(β)=sinβ=sin[(α+β)−α]=sin(α+β)csα−cs(α+β)sinα
=5 314×17−(−1114)×4 37= 32．
17.解：(1)因为C=π3，所以C2=π6，所以sinC2=12．
由S△CAB=S△CAD+S△CBD，得12absinC=12CD⋅asinC2+12CD⋅bsinC2，
所以 32ab=12CD⋅(a+b)，
所以CD= 3aba+b= 3×4 3=4．
(2)由于sin2A+sin2B+sin2C=2(cs2A+cs2B+cs2C)，
因此1−cs2A+1−cs2B+1−cs2C=2(cs2A+cs2B+cs2C)，
所以3(cs2A+cs2B+cs2C)=3，所以cs2A+cs2B+cs2C=1；
则2(cs2A+cs2B+cs2C)=2，
所以cs2A+cs2B+2cs2C=0，
所以2cs(A+B)cs(A−B)+2cs2C=0，即−2csCcs(A−B)+2cs2C=0，
即csC[csC−cs(A−B)]=0，
故csC=0或csC=cs(A−B)．
由a>b>c，可得π>A>B>C>0，所以π>A−B>0，π>C>0，
所以C=π2或A−B=C．
由A>B>C，可得C1，即a1,a2+a+2,−1≤a≤1,−a+1,a0，则需f(x)min>0，当x∈[0,π3]时，t=csx∈[12,1]，
函数y=f(x)变为g(t)=−t2−2at+a+2，t∈[12,1]，所求问题变为g(t)min>0恒成立．
易知g(t)的图象是开口向下的抛物线的一部分，最小值一定在区间端点处取得，
所以有g(12)>0,g(1)>0,，解得a02−1,a