高一升高二数学暑假预习课16讲第14讲 双曲线与9考点精讲（解析版）

这是一份高一升高二数学暑假预习课16讲第14讲 双曲线与9考点精讲（解析版），共33页。
\l "_Tc6122" 一、 双曲线的标准方程 PAGEREF _Tc6122 \h 2
\l "_Tc27491" 基础知识 PAGEREF _Tc27491 \h 2
\l "_Tc31270" 考点1 双曲线定义 PAGEREF _Tc31270 \h 3
\l "_Tc455" 考点2 曲线方程与双曲线 PAGEREF _Tc455 \h 5
\l "_Tc8411" 考点3 求双曲线的标准方程 PAGEREF _Tc8411 \h 6
\l "_Tc27821" 考点4 求双曲线的轨迹方程 PAGEREF _Tc27821 \h 8
\l "_Tc27964" 二、 双曲线的简单几何性质 PAGEREF _Tc27964 \h 11
\l "_Tc25069" 基础知识 PAGEREF _Tc25069 \h 11
\l "_Tc31088" 考点5 由双曲线的几何性质求标准方程 PAGEREF _Tc31088 \h 12
\l "_Tc2072" 考点6 双曲线的渐近线方程 PAGEREF _Tc2072 \h 13
\l "_Tc31418" 考点7 双曲线的离心率 PAGEREF _Tc31418 \h 15
\l "_Tc11381" 考点8 双曲线中的最值 PAGEREF _Tc11381 \h 18
\l "_Tc2579" 考点9 双曲线的实际应用 PAGEREF _Tc2579 \h 20
\l "_Tc10682" 三、课后作业 PAGEREF _Tc10682 \h 24
\l "_Tc11889" 单选题 PAGEREF _Tc11889 \h 24
\l "_Tc3514" 多选题 PAGEREF _Tc3514 \h 27
\l "_Tc7748" 填空题 PAGEREF _Tc7748 \h 29
\l "_Tc15716" 解答题 PAGEREF _Tc15716 \h 30
一、 双曲线的标准方程
基础知识
1．双曲线的定义
双曲线的定义：平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于非零常数(小于)的点的轨迹叫
作双曲线.这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作双曲线的焦距.
2．双曲线的标准方程
双曲线的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系：
3．双曲线方程的求解
(1)用定义法求双曲线的标准方程
根据双曲线的定义，确定的值，结合焦点位置可写出双曲线的标准方程.
(2)用待定系数法求双曲线的标准方程
用待定系数法求双曲线的标准方程时，先确定焦点在x轴还是y轴上，设出标准方程，再由条件确定
a2，b2的值，即“先定型，再定量”，如果焦点的位置不好确定，可将双曲线的方程设为或，再根据条件求解.
考点1 双曲线定义
【例1.1】（23-24高二上·新疆喀什·期末）设双曲线y216−x264=1的焦点为F1,F2，点P为C上一点，PF1=6，则PF2为（ ）
A．22B．14C．10D．2
【解题思路】根据双曲线上的点到两焦点距离差的绝对值为定值2a，即可求解.
【解答过程】由题可知a2=16⇒a=4，又点P为C上一点，
所以PF1−PF2=2a=8，又PF1=6，所以PF2=14或−2（舍去），
故PF2=14，
故选：B.
【例1.2】（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）双曲线C：x2a2−y212=1a>0的两个焦点分别是F1与F2，焦距为8，M是双曲线上的一点，且MF1=5，则MF2等于（ ）
A．9B．9或1C．1D．6
【解题思路】根据焦距，可得c值，根据a,b,c的关系，可得a值，根据双曲线定义，分类讨论，即可求得答案.
【解答过程】因为2c=8，所以c=4，
所以a2=c2−b2=16−12=4，解得a=2，
根据双曲线定义可得||MF1|−|MF2||=2a=4，
所以5−|MF2|=4，解得|MF2|=1或|MF2|=9，
当|MF2|=1时，|MF1|+|MF2|=68，满足题意，
综上，|MF2|=9.
故选：A.
【变式1.1】（23-24高二上·江苏扬州·阶段练习）已知双曲线x29−y24=1，F1,F2是它的两个焦点，O为坐标原点，P是双曲线右支上一点，cs∠F1PF2=−35，则PO=（ ）
A．10B．15C．25D．33
【解题思路】
先由题意得出a，b，c，PF1−PF2，利用余弦定理计算出PF1PF2；再利用三角形面积公式可计算出yp；最后根据点P在双曲线上及两点间距离公式即可得出结果.
【解答过程】
设点P坐标为xp,yp,xp>0，
由题意可知a2=9，b2=4，c2=a2+b2，
则a=3，b=2，c=13，PF1−PF2=2a=6.
在△F1PF2中，由余弦定理可得：cs∠F1PF2=PF12+PF22−F1F222PF1PF2=PF1−PF22+2PF1PF2−F1F222PF1PF2，
即−35=62+2PF1PF2−21322PF1PF2，解得PF1PF2=5．
因为cs∠F1PF2=−35，则sin∠F1PF2=45．
因为S△F1PF2=12PF1PF2sin∠F1PF2=12F1F2yp，
所以12×5×45=12×213×yp，解得yp=213．
又因为点P在双曲线x29−y24=1，所以xp2=91+yp24，
则PO=xp−02+yp−02=xp2+yp2=91+yp24+yp2=9+13yp24=10.
故选：A.
【变式1.2】（23-24高二上·重庆·期末）如果双曲线x24−y212=1上一点P到它的右焦点的距离是8，那么点P到它的左焦点的距离是（ ）
A．4B．12C．4或12D．不确定
【解题思路】
根据双曲线的定义即可求得答案.
【解答过程】设双曲线x24−y212=1的左、右焦点为F1,F2，则a=2,c=4+12=4；
则|PF2|=8，
由双曲线定义可得||PF1|−|PF2||=2a=4，即||PF1|−8|=4，
所以|PF1|=4或|PF1|=12，由于c−a=2，
故点P到它的左焦点的距离是4或12，
故选：C.
考点2 曲线方程与双曲线
【例2.1】（23-24高三上·广东佛山·阶段练习）对于常数a，b，“ab0,n>0，
因为所求双曲线的顶点为椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的焦点，则m=a2−b2，
而双曲线的焦点在x轴上，且双曲线的焦点为椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0的顶点，
则m2+n2=a，可得n=a2−m2=a2−a2−b2=b，
因此，所求双曲线的标准方程为x2a2−b2−y2b2=1.
故选：C.
考点4 求双曲线的轨迹方程
【例4.1】（23-24高三·四川·对口高考）已知y轴上两点F10,−5，F20,5，则平面内到这两点距离之差的绝对值为8的动点的轨迹方程为（ ）
A．x29−y216=1B．y216−x29=1
C．x29+y216=1D．x216+y29=1
【解题思路】
根据给定条件，利用双曲线的定义求出轨迹方程作答.
【解答过程】点F10,−5，F20,5，令P为轨迹上任意点，则有||PF1|−|PF2||=80).
故选：A.
【变式4.2】（23-24高二上·天津北辰·阶段练习）已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是(−2,0)、(2,0)，且AC，BC所在直线的斜率之积等于2，则顶点C的轨迹方程是（ ）
A．x24−y28=1（x≠±2）B．x2−y22=1
C．x24−y28=1D．x22−y2=1（x≠±2）
【解题思路】首先设点Cx,y,x≠±2，根据条件列式，再化简求解.
【解答过程】设Cx,y,x≠±2，kAC⋅kBC=2，
所以yx+2⋅yx−2=2，整理为：x24−y28=1，x≠±2，
故选：A.
二、 双曲线的简单几何性质
基础知识
1．双曲线的简单几何性质
双曲线的一些几何性质：
2．双曲线的离心率
(1)定义：双曲线的焦距与实轴长的比，叫作双曲线的离心率.
(2)双曲线离心率的范围：e>1.
(3)离心率的意义：离心率的大小决定了渐近线斜率的大小，从而决定了双曲线的开口大小.
因为=，所以e越大，越大，则双曲线的开口越大.
(4)等轴双曲线的两渐近线互相垂直，离心率e=.
3．双曲线中的最值问题
求解此类问题一般有以下两种思路：
(1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决，这就是几何法.解题的关键是能够准确分析出最值问题所隐含的几何意义，并能借助相应曲线的定义求解.
(2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可建立目标函数，将目标变量表示为一个(或多个)变量的函数关系式，然后根据函数关系式的特征选用配方法、判别式法，应用基本不等式以及三角函数的最值求法求出最大值、最小值或范围，但要注意自变量的取值范围对最值的影响.
考点5 由双曲线的几何性质求标准方程
【例1.1】（23-24高三上·山东临沂·开学考试）已知双曲线C:y2a2−x2b2=1的一条渐近线斜率为−2，实轴长为4，则C的标准方程为（ ）
A．y2−x24=1B．y24−x216=1C．y24−x2=1D．y216−x24=1
【解题思路】根据双曲线的基本量关系，结合渐近线方程求解即可.
【解答过程】由题意双曲线C:y2a2−x2b2=1的焦点在y轴上，则2a=4，a=2，
又−ab=−2，则b=1，故C的标准方程为y24−x2=1.
故选：C.
【例1.2】（23-24高三上·广东东莞·阶段练习）已知双曲线中心在原点，一顶点坐标为0,4，且渐近线方程为x=±2y，则其标准方程为（ ）
A．y216−x264=1B．y216−x2=1
C．x2−y216=1D．x264−y216=1
【解题思路】由顶点位置可假设双曲线方程y2a2−x2b2=1a>0,b>0，结合顶点坐标和渐近线方程可求得a,b，由此可得结果.
【解答过程】∵双曲线顶点在y轴上，∴可设其方程为y2a2−x2b2=1a>0,b>0，
∵顶点坐标为0,4，渐近线方程为x=±2y，即y=±12x，
∴a=4ab=12，解得：a=4b=8，∴双曲线方程为：y216−x264=1.
故选：A.
【变式1.1】（2024高二上·全国·专题练习）以椭圆x28+y24=1的长轴端点为焦点、以椭圆焦点为顶点的双曲线方程为（ ）
A．x24−y24=1B．x28−y24=1C．x24−y2=1D．x28−y2=1
【解题思路】
确定双曲线的焦点和顶点，进而可得双曲线方程.
【解答过程】椭圆x28+y24=1的长轴端点为−22,0,22,0，
椭圆焦点为−2,0,2,0，
即双曲线的焦点为−22,0,22,0，顶点为−2,0,2,0，
所以双曲线方程为x24−y24=1.
故选：A.
【变式1.2】（2024高二·全国·专题练习）双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的2倍，且一个顶点的坐标为(0，2)，则双曲线的标准方程为（ ）
A．x24−y24=1B．y24−x24=1
C．y24−x28=1D．x28−y24=1
【解题思路】根据题意可以得a及焦点的位置，再根据实轴长与虚轴长之和为焦距的2倍建立方程组，进而求得答案.
【解答过程】由方程组a=22a+2b=2⋅2ca2+b2=c2，得a=2，b=2.
∵双曲线的焦点在y轴上，∴双曲线的标准方程为y24−x24=1.
故选：B.
考点6 双曲线的渐近线方程
【例2.1】（23-24高三上·江苏连云港·阶段练习）已知双曲线C:x2−y2b2=1(b>0)的一个焦点为(−5,0)，则双曲线C的一条渐近线方程为（ ）
A．2x+y=0B．x+2y=0C．2x+y−1=0D．x+2y−1=0
【解题思路】利用双曲线的性质计算即可.
【解答过程】由题意可知1+b2=−52⇒b=2，即双曲线方程为x2−y24=1，
所以其渐近线为y=±2x.显然A正确.
故选：A.
【例2.2】（23-24高三上·海南·阶段练习）已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的实轴长为22，其左焦点到双曲线的一条渐近线的距离为3，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A．y=±3xB．y=±62x
C．y=±2xD．y=±102x
【解题思路】根据双曲线的性质并利用点到直线距离公式可得a=2，b=3，可得渐近线方程.
【解答过程】依题意可得2a=22，即a=2；
不妨取左焦点F−c,0到渐近线y=bax的距离为3，即d=−bac1+ba2=b=3，
所以渐近线方程为y=±62x.
故选：B.
【变式2.1】（23-24高二上·安徽合肥·期末）已知平行于x轴的直线l与双曲线C:y2a2−x2b2=1a>0,b>0的两条渐近线分别交于P,Q两点，O为坐标原点，若△OPQ为等边三角形，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．y=±33xB．y=±3xC．y=±32xD．y=±x
【解题思路】由△OPQ为等边三角形可得渐近线的倾斜角，进而即可求得渐近线方程.
【解答过程】因为△OPQ为等边三角形，所以渐近线的倾斜角为π3，
所以ab=3，
所以渐近线方程为y=±3x,
故选：B.
【变式2.2】（23-24高三上·陕西·阶段练习）已知双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的离心率为e，一条渐近线的斜率为k，若e2+k2=3，则双曲线C的渐近线方程为（ ）
A．x±y=0B．x±2y=0C．x±3y=0D．x±2y=0
【解题思路】利用双曲线离心率与渐近线的斜率得到关于a,b,c的关系式，从而得解.
【解答过程】因为双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0，
所以e2+k2=c2a2+b2a2=3，则c2+b2=3a2，
又a2+b2=c2，所以a2=b2，则渐近线方程为x±y=0．
故选：A.
考点7 双曲线的离心率
【例3.1】（23-24高二上·黑龙江哈尔滨·期中）已知双曲线C:x2−y2b2=1(b>0)的一条渐近线过点b,4，则C的离心率为（ ）
A．52B．32C．5D．3
【解题思路】求出双曲线的渐近线方程，代入求出b，进而求出离心率.
【解答过程】双曲线C:x2−y2b2=1的渐近线方程为y=±bx，依题意，4=b2，解得b=2，
所以双曲线的离心率e=a2+b2a=1+4=5.
故选：C.
【例3.2】（23-24高二上·浙江杭州·期中）双曲线C:x2a2−y2b2=1a>0,b>0的左，右焦点分别为F1,F2，O为坐标原点，过F1作C的一条渐近线的垂线，垂足为D，且DF2=7OD，则C的离心率为（ ）
A．2B．2C．5D．3
【解题思路】利用点到直线的距离公式求出DF1，利用勾股定理求出OD，由锐角三角函数得出cs∠DOF1=ac，在△DOF2利用余弦定理可得出a、b、c的齐次方程，可解出双曲线C离心率e的值．
【解答过程】如下图所示，双曲线C的左焦点F1−c,0，渐近线l1的方程为bx−ay=0，

由点到直线的距离公式可得DF1=bcb2+−a2=bcc=b，
由勾股定理得OD=OF12−DF12=c2−b2=a，
在Rt△DOF1中，∠ODF1=π2，可知cs∠DOF1=ODOF1=ac，
在△DOF2中，则OD=a，DF2=7a，OF2=c，
可得cs∠DOF2=csπ−∠DOF1=−cs∠DOF1=−ac，
由余弦定理得cs∠DOF2=OD2+OF22−DF222OD⋅OF2=a2+c2−7a22ac=−ac，
整理得c2=4a2，即c=2a，
所以双曲线C的离心率为e=ca=2.
故选：B．
【变式3.1】（23-24高二上·江苏镇江·期末）双曲线C：x2a2−y23=1（a>0）的左，右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与双曲线的右支相交于A，B两点，△AF1F2的内切圆圆心的横坐标为1，则双曲线C的离心率为 （ ）
A．2B．3C．2D．3
【解题思路】设△AF1F2的外接圆与AF1,AF2及x轴分别切于点D,F,E，结合双曲线的定义和圆的性质，求得2a=2，再由离心率的定义，即可求解.
【解答过程】如图所示，设△AF1F2的外接圆与AF1,AF2及x轴分别切于点D,F,E，
则AD=AF,DF1=DE,F2E=F1F
因为△AF1F2的内切圆圆心的横坐标为1，即E(1,0)，
由双曲线的定义，可得AF1−AF2=2a，可得AD+DF1−AF−FF2=2a，
所以DF1−FF2=2a，又由DF1−FF2=F1E−EF2=(1+c)−(c−1)=2，
所以2a=2，解得a=1，则c=a2+3=2，
所以双曲线的离心率为e=ca=2.
故选：C.
【变式3.2】（23-24高二上·湖北鄂州·阶段练习）已知双曲线x2a2−y2b2=1a>0,b>0的焦距为2c，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1−d2≤c，则双曲线的离心率的取值范围为（ ）
A．1,233B．233,+∞C．1,2D．2,+∞
【解题思路】
任取双曲线的一条渐近线为直线bx+ay=0，由点到直线的距离公式，构造d1=bc+b2a2+b2=bc+b2c，d2=bc−b2a2+b2=bc−b2c，结合题目已知条件列不等式即可求出双曲线离心率ca的范围.
【解答过程】
由题意可知，直线AB经过双曲线的右焦点，且垂直于x轴，不妨设Ac,y0，
代入椭圆方程c2a2−y02b2=1，又c2=a2+b2，所以y0=b2a，
所以Ac,b2a，Bc,−b2a，任取双曲线的一条渐近线为直线bx+ay=0，
由点到直线的距离公式可得点A到渐近线的距离d1=bc+b2a2+b2=bc+b2c，
点B到渐近线的距离d2=bc−b2a2+b2=bc−b2c，
所以d1−d2=bc+b2c−bc−b2c=2b2c=2b2c，因为d1−d2≤c，
所以2b2c≤c，因c>0，所以2b2≤c2，即2c2−a2≤c2，
所以c2≤2a2，所以c2a2≤2，
因为双曲线离心率ca>1，所以10，
因为双曲线的离心率为10=1+ba2，所以b2=9a2.
又喉部（中间最细处）的直径为8cm，所以2a=8,a=4，所以双曲线的方程为x216−y2144=1.
由题意可知xA=32,xB=922，代入双曲线方程，得yA=32,yB=−2122，
所以该塔筒的高为yA−yB=2722.
故选:C.
三、课后作业
单选题
1．（23-24高二上·山东烟台·期末）已知双曲线的方程为x25−y24=1，则该双曲线的焦距为（ ）
A．2B．4C．25D．6
【解题思路】利用双曲线方程求出a，b，然后求出c 即可得到结果.
【解答过程】双曲线的方程为：x25−y24=1，
可得a=5，b=2，所以c=a2+b2=3，
所以双曲线的焦距长为：2c=6.
故选：D.
2．（23-24高二上·四川成都·期末）相距1400m的A，B两个哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s，已知声速是340m/s，炮弹爆炸点一定在曲线（ ）的方程上.
A．x2260100−y2229900=1 x≤−510B．x2260100−y2229900=1 x≥510
C．y=0(x≤−700或x≥700)D．x2260100−y2229900=1
【解题思路】
根据双曲线的定义进行求解即可.
【解答过程】设炮弹爆炸点为P，
由题意可知：PA−PB=3×340=10200,b>0)的一部分绕其虚轴所在直线旋转所形成的曲面.若该花瓶横截面圆的最小直径为40cm，最大直径为60cm，双曲线的离心率为6，则该花瓶的高为（ ）

A．90cmB．100cmC．110cmD．120cm
【解题思路】由a,b,c关系以及离心率、a=20可得双曲线方程，进一步代入x=30即可求解.
【解答过程】由该花瓶横截面圆的最小直径为40cm，有a=20，
又由双曲线的离心率为6，有c=206,b=205，
可得双曲线的方程为x2400−y22000=1，代入x=30，可得y=±50，故该花瓶的高为100cm.
故选：B.
4．（23-24高二上·全国·单元测试）已知等轴双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左焦点为F1，焦距为4，点A的坐标为(2,1)，P为双曲线右支上一动点，则PF1−PA的最大值为（ ）
A．22B．17C．22+1D．22+5
【解题思路】由双曲线的定义和三点共线取得最值的性质，可得最大值．
【解答过程】由题意可设双曲线的方程为x2−y2=a2,a>0，
则2a2=c2=4，即a2=2，得到a=2，所以F1(−2,0),F2(2,0)，
由双曲线的定义可得PF1−PF2=2a=22，
则PF1−PA=22+PF2−PA≤22+AF2=22+1，
当F2,A,P三点共线时，取得等号，则PF1−PA的最大值为22+1，
故选：C．
5．（23-24高二上·湖北恩施·阶段练习）已知焦点在x轴上的双曲线的焦距为23，实半轴为1，则双曲线的方程为（ ）
A．x22−y2=1B．x2−y22=1
C．y2−x22=1D．y22−x2=1
【解题思路】先确定a，b的值，再根据焦点所在位置直接写出双曲线的标准方程.
【解答过程】由已知：c=3，a=1，故b2=c2−a2=3−1=2，由双曲线的焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为：x2−y22=1.
故选：B.
6．（23-24高二上·上海·期末）方程x2λ2−4+y23−λ=1表示焦距为25的双曲线，则实数λ的值为（ ）
A．1B．−4或1C．−2或−4D．−2或1
【解题思路】分类讨论焦点的位置结合双曲线的定义计算即可.
【解答过程】由已知得双曲线的焦距2c=25⇒c2=5，
①当双曲线的焦点在x轴上时，
由题意可得λ2−4>03−λ0）的左、右焦点分别为F1，F2，M为双曲线右支上的一点，若M在以F1F2为直径的圆上，且∠MF2F1∈π3,5π12，则该双曲线离心率的取值范围为（ ）
A．1,2B．2,+∞C．1,3+1D．2,3+1
【解题思路】由题意可得，设∠MF2F1=θ，则|MF1|=2csinθ，|MF2|=2ccsθ，则|MF1|−|MF2|=2a，进而可得ca，即可得出答案．
【解答过程】由于M在以F1F2为直径的圆上，故F1M⊥F2M，
设∠MF2F1=θ，则|MF1|=2csinθ，|MF2|=2ccsθ，
根据双曲线的定义|MF1|−|MF2|=2a，
所以2csinθ−2ccsθ=2a，
所以ca=1sinθ−csθ=12sin(θ−π4)，θ∈π3,5π12，
所以θ−π4∈π12,π6， 故y=sinθ−csθ在θ∈π3,5π12单调递增，
当θ=π3时，y=sinθ−csθ=3−12，
当θ=5π12时，y=2sinθ−π4=2sinπ6=22，
所以y=2sinθ−π4∈3−12,22，所以ca∈2,3+1，
故选：D．
多选题
9．（23-24高二上·安徽合肥·阶段练习）已知曲线C:x2m−2+y24−m=1（m∈R且m≠2,m≠4），则下列说法正确的是（ ）
A．若m=3，则C为圆
B．若20，由AB⋅AF=AF2，
即AB⋅AF=AF⋅AF，所以AF⋅AF−AB=0,AF⋅BF=0，
所以AF⊥BF，所以以AB为直径的圆过F点，
所以圆的直径AB=GF=2c，所以圆的方程为：x2+y2=c2，
设AF=m,BF=n，连接GB,AG，则四边形AGBF为矩形，则m−n=2a，
则△ABF的面积为：S△ABF=12mn=32a2，且m2+n2=4c2，
联立m−n=2amn=3a2m2+n2=4c2，解得m=3an=a,4c2=10a2,c2=52a2，
再由c2=a2+b2,b2=32a2，
所以离心率e=ca=102，故A错误，B正确；
对于C，双曲线的渐近线方程为：y=±bax=±62x，故选项C正确；
对于D，不妨设点B在第一象限，由对称性可知S△ABF=cyB=32a2，
yB=3a22c=35c，代入x2+y2=c2中，得xB=45c，
所以k=yB−0xB−0=34，由对称性知：当k0，b>0)的两个焦点为F1−3,0,F23,0， 且过点M3,2
(1)求双曲线C的虚半轴长;
(2)求与求双曲线C有相同的渐近线， 且过点P−2,4的双曲线的标准方程．
【解题思路】
（1）根据双曲线的定义求解a=1，即可根据虚轴长求解，
（2）根据共渐近线的双曲线方程，利用待定系数法即可求解.
【解答过程】
（1）由题意易知MF2=2，F1F2=23， 且MF2⊥F1F2
在Rt△MF2F1中，MF1=MF22+F1F22=4．
由双曲线的定义可知， MF1−MF2=2a，∴2a=2， 即a=1．
∵双曲线C的两个焦点分别为F1−3，0，F23，0，
∴半焦距c=3．
又 ∵a2+b2=c2，∴b=2．
故双曲线 C的虚半轴长为2
（2）由（1）知双曲线 C的方程为x2−y22=1．
设与双曲线 C有相同浙近线的双曲线的方程为x2−y22=λλ≠0．
将点 P−2,4的坐标代入上述方程4−422=λ， 得λ=−4．
故所求双曲线的标准方程为 y28−x24=1．
16．（23-24高二上·甘肃白银·期末）已知双曲线C:x22−y2=1,P是C上的任意一点.
(1)设点A的坐标为4,0，求PA的最小值；
(2)若F1,F2分别为双曲线的左､右焦点，∠F1PF2=60∘，求△PF1F2的面积.
【解题思路】
（1）设出点P的坐标为x0,y0，表示出PA，利用点P再双曲线上，借助二次函数知识计算即可;
（2）由双曲线的定义及余弦定理表示出PF1PF2=4，结合面积公式计算即可.
【解答过程】
（1）

设点P的坐标为x0,y0，
则|PA|2=x0−42+y02=x0−42+x022−1=32x02−8x0+15=32x0−832+133，
因为x0≥2，所以当x0=83时，PA取得最小值393.
（2）由双曲线的定义知PF1−PF2=22①,
由余弦定理得(23)2=PF12+PF22−2PF1PF2cs60∘②,
根据①②可得PF1PF2=4，所以S△PF1F2=12⋅PF1PF2sin60∘=12×4×32=3.
双曲线在坐标系中的位置
标准方程
焦点坐标
F1(-c,0),F2 (c,0)
F1(0,-c),F2 (0,c)
a,b,c的关系
图形
标准方程
范围
x≥a或x≤-a,y∈R
y≥a或y≤-a,x∈R
对称性
关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称
顶点
A1(-a,0),A2 (a,0)
A1(0,-a),A2 (0,a)
半轴长
实半轴长为a,虚半轴长为b
离心率
渐近线方程