北师大版（2024）七年级下册数学期末复习：解答题压轴题 刷题练习题（含答案）

这是一份北师大版（2024）七年级下册数学期末复习：解答题压轴题 刷题练习题（含答案），共23页。试卷主要包含了完全平方公式等内容，欢迎下载使用。
1．如图所示，AB∥CD，点E，F分别在直线CD，AB上，∠BEC＝2∠BEF，过点A作AG⊥BE的延长线交于点G，交CD于点N，AK平分∠BAG，交EF于点H，交BE于点M．
（1）直接写出∠AHE，∠FAH，∠KEH之间的关系： ．
（2）若∠BEF=12∠BAK，求∠AHE．
（3）在（2）的条件下，将△KHE绕着点E以每秒3°的速度逆时针旋转，旋转时间为t，当KE边与射线ED重合时停止，则在旋转过程中，当△KHE的其中一边与△ENG的某一边平行时，求此时t的值．
2．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2适当的变形，可以解决很多的数学问题．例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值．
解：∵a+b＝3，
∴（a+b）2＝9，即：a2+2ab+b2＝9，
又∵ab＝1
∴a2+b2＝7
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（1）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；
（2）若（6﹣x）（7﹣x）＝8，求（6﹣x）2+（7﹣x）2．
（3）如图，点C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝6，两正方形的面积和S1+S2＝18，求图中阴影部分面积．
3．如图1，在长方形ABCD中，AB＝8，动点P从点A出发，以每秒m个单位的速度沿A→D→C→B的路线匀速运动，直至运动到点B停止．图2是点P出发t秒后，△ABP的面积S随时间t（s）变化的图象．根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）a＝ s，b＝ ．
（2）当动点P从点A出发并在AD边上运动时，另一动点Q同时从点D出发以每秒n个单位的速度沿边DC匀速运动，直至C点停止，则当n为何值时，△ABP与△DPQ可以全等．
（3）当动点P从点A出发时，另一动点H同时从点D出发以每秒5个单位的速度沿边DA匀速运动，直至A点停止，则在动点P的整个运动过程中，当t为何值时，△CPH的面积为20．
4．如图1，在△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D．
（1）求证：∠ABD＝∠ACB；
（2）如图2，点E在AB上，连接CE交BD于点F，若BE＝BF，求证：CE平分∠ACB；
（3）如图3，在（2）的条件下，过A作AH⊥CE，交CE的延长线于点G，交CB的延长线于点H．若△AHC的面积为40，且AC+AB＝18，求AC﹣AB的值．
5．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点E，点F分别是AB，AC上（不与B，C重合的动点．点O是BC的中点，连接AO．
（1）如图1，当∠EOF＝90°时，请问△AEO与△CFO全等吗？如果全等请证明，如果不全等请说明理由；
（2）如图2，在（1）的条件下，过点O作OH⊥AC，垂足为H，若AE＝4，AF＝10，请求HF的长；
（3）如图3，当∠EOF＝45°时，连接EF，若AO＝7，AE：AF：EF＝3：4：5，请求△AOF的面积．
6．如图1，有边长分别为m，n的两个正方形和两个长宽分别为n，m的长方形，将它们拼成如图2所示的大正方形ABCD．四边形AHOE，HDGO，OGCF，EOFB的面积分别为S1，S2，S3，S4．
（1）用两种方法表示图2的面积，可以得到一个关于m，n的等式为 ；
（2）在图2中，若S1＝3，S2＝9，则m+n＝ ；若m+n＝12，S1＝35，则S2+S4＝ ；
（3）如图3，连接AF交EO于点N，连接GF．若△FGN与△AEN的面积之差为18，求m的值．
7．规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b）：如果ac＝b，那么（a，b）＝c．例如：因为23＝8，所以（2，8）＝3．
（1）根据上述规定，填空：（5，125）＝ ，（﹣2，﹣32）＝ ；
（2）若（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，试探究a，b，c之间存在的数量关系；
（3）若（m，8）+（m，3）＝（m，t），求t的值．
8．如图1，O为直线AB上一点，过点O作射线OC，∠AOC＝30°，将一直角三角板（∠M＝30°）的直角顶点放在点O处，一边ON在射线OA上，另一边OM与OC都在直线AB的上方，将图1中的三角板绕点O以每秒3°的速度沿顺时针方向旋转一周．
（1）请填空： 秒后ON与OC重合；
（2）如图2，请问经过 秒后，MN∥AB；
（3）若三角板在转动的同时，射线OC也绕O点以每秒6°的速度沿顺时针方向旋转一周，那么经过多长时间OC与OM重合？
（4）在（3）的条件下，当射线OC，射线OM，射线OB三条中的一条是另外两条组成的夹角的角平分线时，请直接写出t的值．
9．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：（用含a、b的代数式表示出来）；
图1表示： ；
图2表示： ；
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（2）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；
（3）请直接写出下列问题答案：
①若2m+3n＝5，mn＝1，则2m﹣3n＝ ；
②若（4﹣m）（5﹣m）＝6，则（4﹣m）2+（5﹣m）2＝ ．
（4）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝7，两正方形的面积和S1+S2＝16，求图中阴影部分面积．
10．已知a∥b，点A，B在直线a上，点C，D在直线b上，且AD⊥BC于E．
（1）如图1，求证：∠ABC+∠ADC＝90°；
（2）如图2，BF平分∠ABC交AD于点F，DG平分∠ADC交BC于点G，求∠AFB+∠CDG的度数；
（3）如图3，P为线段AB上一点，I为线段BC上一点，连接PI，N为∠IPB的角平分线上一点，且∠NCD=12∠BCN，则∠CIP，∠IPN，∠CNP之间的数量关系是 ．
11．问题呈现：借助几何图形探究数量关系，是一种重要的解题策略，图1，图2是用边长分别为a，b的两个正方形和边长为a，b的两个长方形拼成的一个大正方形．利用图形可以推导出的乘法公式分别是图1：（a+b）2＝a2+2ab+b2，图2：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2：
数学思考：利用图形推导的数学公式解决问题．
（1）已知a+b＝8，a+b＝8，ab＝12，求a2+b2的值；
（2）已知（2024﹣x）（2026﹣x）＝2023，求（2024﹣x）2+（x﹣2026）2的值．
（3）拓展运用：如图3，点C是线段AB上一点，以AC，BC为边向两边作正方形ACDE和正方形CBGF，面积分别是S1和S2．若AB＝m，AB＝m，S＝S1+S2，则直接写出Rt△ACF的面积．（用S，m表示）．
12．在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠C＝30°，BD为△ABC的角平分线，点E，F分别在边AB，BC上，∠EDF＝120°．
（1）如图1，求证：DE＝DF；
（2）如图2，∠CDF＝45°，连接EF，EF与BD交于点G．猜想AE与DG之间的数量关系，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若EGGF=mn，求证：BGDG=mn−m．
13．甲、乙两个长方形，它们的边长如图1所示，面积分别S1，S2（m为正整数）．
（1）写出S1与S2的大小关系：S1 S2．（填“＞”“＜”或“＝”）；
（2）若|S1﹣S2|≤2025，求满足这个不等式的m的最大值；
（3）设有4块长方形甲，3块长方形乙，以及两块面积分别为S3，S4的矩形恰好拼成一个矩形图案，如图2所示．问：是否存在m，使得2S3＝S4，若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．
14．如图，直线AB∥CD，EF∥GH，∠AEF的角平分线交CD于点P．
（1）∠EPF与∠PEF相等吗？请说明理由．
（2）若∠FHG＝3∠EPF，求∠EFD的度数．
（3）点Q为射线GH上一点，连结EQ，FQ．若∠QFH＝∠FQH，且∠PEQ﹣∠EQF＝50°，求∠EQF的度数．
15．现有长与宽分别为a、b的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图1的图形，用四个相同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题：
（1）根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于a、b的关系式：（用含a、b的代数式表示出来）；
图1表示： ；
图2表示： ；
根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：
（2）若x+y＝8，x2+y2＝40，求xy的值；
（3）请直接写出下列问题答案：
①若2m+3n＝5，mn＝1，则2m﹣3n＝ ；
②若（4﹣m）（5﹣m）＝6，则（4﹣m）2+（5﹣m）2＝ ．
（4）如图3，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形，设AB＝7，两正方形的面积和S1+S2＝16，求图中阴影部分面积．
参考答案
1．【解答】解：（1）∵AB∥CD，
∴∠KEH＝∠AFH，
∵∠AHE是△AHF的外角，
∴∠AHE＝∠AFH+∠FAH，
∴∠AHE＝∠FAH+∠KEH，
故答案为：∠AHE＝∠FAH+∠KEH；
（2）∵AB∥CD，
∴∠BAK＝∠MKE，∠ABE＝∠BEC，
∵∠BEF=12∠BAK，
∴∠BAK＝2∠BEF，
∵∠BEC＝2∠BEF，
∴∠BAK＝∠BEC，
∴∠BAK＝∠ABE，
∵AK平分∠BAG，
∴∠BAK＝∠ABE＝∠GAK，
∵AG⊥BE，
∴∠AGB＝90°，
∴3∠BAK＝90°，
∴∠BAK＝∠ABE＝∠GAK＝30°，
∴∠BEF=12∠ABE=15°，
∴∠CEF＝45°，
∴∠CEF＝∠AFE＝45°，
∴∠AHE＝∠AFE+∠BAK＝45°+30°＝75°；
（3）①当KH∥NG时，延长KE交GN边于P，如图，
∵∠EKH＝∠EPG＝30°，
∴∠PEG＝90°﹣∠EPG＝60°，
∵∠GEN＝90°﹣∠ENG＝30°，
∴∠PEN＝∠PEG﹣∠GEN＝30°，
∴∠CEK＝∠PEN＝30°，
当△KHE绕E点旋转30°时，EK∥GN，
t=30°3°=10（秒）；
②当KH∥EG时，如图，
∴∠EKH＝∠KEG＝30°，∠NEK＝∠NEG+∠KEG＝60°，
∴∠CEK＝120°，
当△KHE绕点E旋转120°时，KH∥EG，
∴t=120°3°=40（秒）；
③当KH∥EN时，即EK与EG在同一直线上时，
∴∠CEK＝150°，
当△KHE绕点E旋转150°时，KH∥EN，
∴t=150°3°=50（秒）；
④当KE∥NG时，
∵∠GEK＝30°，
∴∠CEK＝90°﹣∠GEK＝60°，
当△KHE旋转60°时，KE∥NG，
∴t=60°3°=20（秒）
⑤当HE∥NG时，
∵∠GEK＝30°，∠KEH＝45°，
∴∠CEK＝∠CEH+∠HEK＝90°﹣∠GEK+∠HEK＝105°，
∴当△KHE旋转105°时，HE∥NG，
∴t=105°3°=35（秒），
综上所述，当△KHE的其中一边与△ENG的某一边平行时，t的值为10，40，50，20，35．
2．【解答】解：（1）∵x+y＝8，
∴（x+y）2＝64，即x2+2xy+y2＝64，
又∵x2+y2＝40，
∴2xy＝24，
∴xy＝12；
（2）∵（6﹣x）（7﹣x）＝8，
∴（6﹣x）2+（7﹣x）2
＝[（6﹣x）﹣（7﹣x）]2+2（6﹣x）（7﹣x）
＝（6﹣x﹣7+x）2+2×8
＝（﹣1）2+16
＝1+16
＝17，
故答案为：17；
（3）设AC＝m，CB＝n，
∵AB＝6，
∴m+n＝6，
又∵S1+S2＝18，
∴m2+n2＝18，
由完全平方公式可得，（m+n）2＝m2+2mn+n2，
∴62＝18+2mn，
∴mn＝9，
∴S阴影部分面积=12mn=12×9=92，
故答案为：92．
3.【解答】解：（1）∵AD＝BC，
∴点P在AD、BC上运动的时间相同，
∴8﹣a＝3﹣0，
∴a＝5s，
∴点P在CD上运动的时间为5﹣3＝2s，
∴点P的运动速度为8÷2＝4个单位每秒，
∴AD＝4×3＝12个单位，
∴b=12×8×12=48，
故答案为：5，48；
（2）解：①当△ABP≌△DPQ时，有AB＝DP，
12﹣4t＝8，解得t＝1，
∴n＝4；
②当△ABP≌△DQP时，有 AP＝DP，
12﹣4t＝6，
解得t=32，
∴n=163，
综上，n的值为4或163；
（3）当H到A之前，
∵S△CPH=12×8PH=20，
∴PH＝5，
①P、H相遇前12﹣4t﹣5t＝5，
t=79，
②P、H相遇后，
4t+5t﹣12＝5，
t=179，
当H到A之后，
①P在CD上，
12×12(20−4t)=20，
t=256，
②P在CB上，
12×8(4t−20)=20，
t=254，
综上，t=79，179，256，254．
4．【解答】（1）证明：∵∠ABC＝90°，
∴∠ABD+∠CBD＝90°，
∵BD⊥AC，
∴∠ACB+∠CBD＝90°，
∴∠ABD＝∠ACB；
（2）证明：同（1）的方法可得：∠A＝∠CBD，
∵BE＝BF，
∴∠BEF＝∠BFE，
∵∠BEF＝∠A+∠ACE，∠BFE＝∠CBD+∠BCE，
∴∠ACE＝∠BCE，
∴CE平分∠ACB；
（3）解：在△ACG和△HCG中，
∠ACG=∠HCGCG=CG∠AGC=∠HGC，
∴△ACG≌△HCG（ASA），
∴AC＝CH，
∵△AHC的面积为40，
∴12AB•HC＝40，
∴2AB•HC＝160，
∴2AB•AC＝160，
∵AC+AB＝18，
∴（AC+AB）2＝324，
∴AC2+2AB•AC+AB2＝324，
∴AC2﹣2AB•AC+AB2＝4，
∴（AC﹣AB）2＝4，
∴AC﹣AB＝2．
5．【解答】解：（1）△AEO≌△CFO，
理由：∵点O是BC的中点，
∴OB＝OC，
∵AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠AOB＝∠AOD＝90°，
∴∠AOF+∠COF＝90°，
∵∠EOF＝90°，
∴∠AOE+∠AOF＝90°，
∴∠AOE＝∠COF，
在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AD⊥BC，
∴OC＝OA，∠C＝∠B＝45°，∠OAB=12∠BAC=45°，
∴∠OAC＝∠C，
在△AEO和△CFO中，
∠AOE=∠COFOA=OC∠OAE=∠C=45°
∴△AEO≌△CFO（ASA）；
（2）由（1）知，∠AOC＝90°，OA＝OC，
∵OH⊥AC，
∴CH=12AC，
由（1）知，△AOE≌△COF，
∴CF＝AE，
∵AE＝4，
∴CF＝4，
∵AF＝10，
∴AC＝AF+CF＝14，
∴HF=CH−CF=12AC−CF=12×14−4＝3；
（3）∵AE：AF：EF＝3：4：5，设AE＝3x，AF＝4x，EF＝5x，如图，过点O作OG⊥OE交AC于G，过点O作OM⊥AC于点M，
∴∠EOG＝90°，
∵∠EOF＝45°，
∴∠FOG＝∠EOG﹣∠EOF＝45°＝∠EOF，
同（1）的方法得，△AOE≌△COG（ASA），
∴AE＝CG＝3x，OE＝OG，
∵OF＝OF，
∴△EOF≌△GOF（SAS），
∴EF＝FG＝5x，
同（1）的方法得，∠AOC＝90°，OA＝OC，
∴AC=2OA=72，
∴AC＝AF+FG+CG＝4x+5x+3x＝12x=72，
∴AF=4x=723，
过点O作OM⊥AC于M，则OM=12AC=722，
∴S△AOF=12AF⋅OM=12×723×722=496．
6．【解答】解：（1）∵S1＝S3＝mn，S2＝n2，S4＝m2，AD＝AB＝m+n，
∴（m+n）2＝mn+n2+mn+m2＝m2+2mn+n2，
故答案为：（m+n）2＝m2+2mn+n2；
（2）若S1＝3，S2＝9，则mn＝3，n2＝9，
∴n＝3，m＝1，
∴m+n＝1+3＝4；
若m+n＝12，S1＝35，
∴m+n＝12，mn＝35，
∴m＝5，n＝7，
∴S2＝72＝49，S4＝52＝25，
∴S2+S4＝49+25＝74；
故答案为：4；74；
（3）∵△FGN与△AEN的面积之差为18，
∴S△FGN﹣S△AEN＝18，
∴（S△FGN+S梯形BENF）﹣（S△AEN+S梯形BENF）＝18，
即S梯形BEGF﹣S△ABF＝18，
∴12m（2m+n）−12m（m+n）＝18，
∴12m[（2m+n）﹣（m+n）]＝18，
∴m2＝36，
∴m＝6或m＝﹣6（负值舍去），
故m的值为6．
7．【解答】解：（1）∵53＝125，（﹣2）5＝﹣32，
∴（5，125）＝3，（﹣2，﹣32）＝5，
故答案为：3，5；
（2）a+b＝c，理由如下：
∵（4，5）＝a，（4，6）＝b，（4，30）＝c，
∴4a＝5，4b＝6，4c＝30，
∵5×6＝30，
∴4a×4b＝4c，即4a+b＝4c，
∴a+b＝c；
（3）设（m，8）＝x，（m，3）＝y，（m，t）＝z，则mx＝8，my＝3，mz＝t，
由（m，8）+（m，3）＝（m，t）可得x+y＝z，
∴t＝mz＝mx+y＝mx×my＝8×3＝24．，
8．【解答】解：（1）∵30÷3＝10，
∴10秒后ON与OC重合．
故答案为：10．
（2）分两种情况：
MN在AB上方时，如图2.1，
∵MN∥AB，
∴∠BOM＝∠M＝30°，
∵∠AON+∠BOM＝90°，
∴∠AON＝60°，
∴t＝60÷3＝20（秒），
∴经过t秒后，MN∥AB，t＝20秒；
MN在AB下方时，如图2.2，
∵MN∥AB，∠M＝30°，
∴∠BON＝60°，
∴∠AON＝60°+180°＝240°，
∴t＝240÷3＝80，
∴经过20秒或80秒后，MN∥AB．
故答案为：20秒或80秒．
（3）如图3所示：
∵∠AON+∠BOM＝90°，∠BOC＝∠BOM，
∵三角板绕点O以每秒3°的速度，射线OC也绕O点以每秒6°的速度旋转，
设∠AON＝3t，则∠AOC＝30°+6t，
∵OC与OM重合，
∵∠AOC+∠BOC＝180°，
可得：（30°+6t）+（90°﹣3t）＝180°，
解得：t＝20（秒）；
即经过20秒时间OC与OM重合；
（4）分三种情况：
①OM平分∠BOC时，此时OC、OM在AB上方，如图4所示：
∴∠BOM＝90°﹣3t，∠BOC＝180°﹣30°﹣6t＝150°﹣6t，
∴150°﹣6t＝2（90﹣3t），无解；
②OC平分∠MOB，此时OC、OM在AB上方，如图5所示：
∴∠BOM＝90°﹣3t，∠BOC＝150°﹣6t，
∴90﹣3t＝2（150﹣6t），
解得：t=703（秒）；
③当OB平分∠COM时，如图6，
∴∠BOM＝90°﹣3t，∠BOC＝6t﹣150°，
∴90﹣3t＝6t﹣150，
解得：t=803（秒）；
④当OM平分∠BOC时，如图7，
∴∠BOM＝3t﹣90°，∠BOC＝6t﹣150°，
∴6t﹣150°＝2（3t﹣90°），无解；
故t的值为703秒或803秒．
9．【解答】解：（1）图1中，由图可知S大正方形＝（a+b）2，
S组成大正方形的四部分的面积之和＝a2+b2+2ab，
由题意得，S大正方形＝S组成大正方形的四部分的面积之和，
即（a+b）2＝a2+b2+2ab，
故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab．
图2中，由图可知S大正方形＝（a+b）2，S小正方形＝（a﹣b）2，S四个长方形＝4ab，
由题图可知，S大正方形＝S小正方形+S四个长方形，
即（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．
（2）∵（x+y）2＝x2+y2+2xy，
∴xy＝[（x+y）2﹣（x2+y2）]
∵x+y＝8，x2+y2＝40，
∴xy＝（64﹣40）
＝12．
（3）①由图2可得（2m﹣3n）2＝（2m+3n）2﹣24mn，
∵2m+3n＝5，mn＝1，
∴（2m﹣3n）2＝52﹣24＝1，
∴2m﹣3n＝±1．
故答案为：±1．
②由图1可得[（4﹣m）﹣（5﹣m）]2＝（4﹣m）2+（5﹣m）2﹣2（4﹣m）（5﹣m），
∴（4﹣m）2+（5﹣m）2＝[（4﹣m）﹣（5﹣m）]2+2（4﹣m）（5﹣m），
∵（4﹣m）（5﹣m）＝6，
∴原式＝1+2×6＝13．
故答案为：13．
（4）由题意得AB＝AC+CB，
∵AB＝7，
∴AC+CB＝7，
∵S1+S2＝16，
∴AC2+CB2＝16，
∵（AC+BC）2＝AC2+CB2+2AC•CB，
∴AC•CB＝[（AC+CB）2﹣（AC2+CB2）]
＝（49﹣16）
＝，
∴S阴影＝CD•CB＝AC•CB＝．
即图中阴影部分的面积为．
10．【解答】（1）证明：如图1中，过E作EF∥a，
∵a∥b，
∴a∥b∥EF，
∵AD⊥BC，
∴∠BED＝90°，
∵EF∥a，
∴∠ABE＝∠BEF，
∵EF∥b，
∴∠ADC＝∠DEF，
∴∠ABC+∠ADC＝∠BED＝90°；
（2）解：如图2中，作FM∥a，GN∥b，
设∠ABF＝∠EBF＝x，∠ADG＝∠CDG＝y，
由（1）知，2x+2y＝90°，x+y＝45°，
∵FM∥a∥b，
∴∠BFD＝2y+x，
∴∠AFB＝180°﹣（2y+x），
同理：∠CGD＝180°﹣（2x+y），
∴∠AFB+∠CGD＝360°﹣（3x+3y）
＝360°﹣3×45°
＝225°；
（3）解：如图，设PN交CD于E，
当点N在∠DCB内部时，
∵∠CIP＝∠PBC+∠IPB，
∴∠CIP+∠IPN＝∠PBC+∠BPN+2∠IPE，
∵PN平分∠IPB，
∴∠EPB＝∠EPI，
∵AB∥CD，
∴∠NPB＝∠CEN，∠ABC＝∠BCE，
∵∠NCE=12∠BCN，
∴∠CIP+∠IPN＝3∠PEC+3∠NCE＝3（∠NCE+∠NEC）＝3∠CNP，
当点N′在直线CD的下方时，
∵∠CIP＝∠PBC+∠IPB，
∴∠CIP+∠IPN＝∠PBC+∠BPN'+2∠IPE，
∵PN'平分∠IPB，
∴∠EPB＝∠EPI，
∵AB∥CD，
∴∠NPB＝∠CEP，∠ABC＝∠BCE，
∵∠N′CE=12∠BCN′，
∴∠CIP+∠CNP＝3∠IPN，
综上所述：3∠CNP＝∠CIP+∠IPN或3∠IPN＝∠CIP+∠CNP．
11．【解答】解：（1）∵a+b＝8，ab＝12，
∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab
＝64﹣2×12
＝64﹣24
＝40，
∴a2+b2的值为40；
（2）设2024﹣x＝a，2026﹣x＝b，
∴a﹣b＝2024﹣x﹣（2026﹣x）＝﹣2，
∵（2024﹣x）（2026﹣x）＝2023，
∴ab＝2023，
∴（2024﹣x）2+（x﹣2026）2＝a2+b2
＝（a﹣b）2+2ab
＝（﹣2）2+2×2023
＝4+4046
＝4050，
∴（2024﹣x）2+（x﹣2026）2的值为4050；
（3）Rt△ACF的面积=m2−S4，
理由：设AC＝a，BC＝b，
∵AB＝m，
∴a+b＝m，
∵S＝S1+S2，
∴S＝a2+b2，
∴Rt△ACF的面积=12AC⋅CF
=12ab
=12×12[(a+b)2−(a2+b2)]
=m2−S4．
12．【解答】（1）证明：过D作DM⊥BC．
∵BD为△ABC的角平分线，
∴DM＝DA．
∵∠C＝30°，
∴∠MDF+∠FDC＝60°，
∵∠EDF＝120°，
∴∠ADE+∠FDC＝60°，
∴∠ADE＝∠MDF．
在△AED和△MDF中，
∠A=∠DMF∠ADE=∠MDFDA=DM，
∴△AED≌△MDF（AAS），
∴DE＝DF．
（2）过F作FQ⊥GD，过D作DM⊥BC．
由（1）知△AED≌△MDF，
∴MF＝AE，∠MDF＝∠ADE，
∵∠EDF＝∠EDM+∠MDF＝120°，
∴∠EDM+∠ADE＝120°，
∠ADM＝120°，
∵∠A＝∠DMB＝90°，∠ABD＝∠DBM，
∴∠ADB＝∠BDM，
∵∠ADB+∠BDM＝∠ADM＝120°，
∴∠ADB＝∠BDM＝60°，
∵∠FDC＝45°，∠EDF＝120°，
∴∠ADE＝15°，
∴∠EDG＝60°﹣15°＝45°．
∴∠GDF＝120°﹣45°＝75°．
∵∠EDF＝120°，DE＝DF，
∴∠DEG＝∠DFG＝30°，
∴∠FGD＝75°，
∴∠FDG＝∠FGD，
∴FG＝FD，
∴GD＝2QD．
在△FQD和△DMF中，
∠FQD=∠DMF=90°∠DFQ=∠MDF=15°DF=DF，
∴△FQD≌△DMF（AAS），
∴QD＝MF，
∴DG＝2AE．
（3）过E作EN⊥BDD，过F作FH⊥BD，过D作DM⊥BC，DR⊥EF．
由（2）∠AED＝90°﹣∠ADE＝75°，
∴∠BEG＝180°﹣∠AED﹣∠DEG＝75°，
又∠EGB＝∠DGF＝75°，
∴∠BEG＝∠BGE，
∴BE＝BG，
同理：FG＝FD．
∴EGGF=12×DR×EG12×DR×GF=S△DEGS△DFG=12DG×EN12DG×FH=ENFH=12BD×EN12BD×FH=S△EBDS△FBD=12×BE×AD12×BF×DM=BEBF=mn．
设BE＝mx，BF＝nx，
∵∠BEG＝∠BGE＝75°，
∴BG＝BE＝mx，
同理：BD＝BF＝nx，
∴GD＝BD﹣BG＝nx﹣mx＝（n﹣m）x，
∴BGDG=mx(n−m)x=mn−m．
13．【解答】解：（1）S1＝（m+7）（m+1）
＝m2+m+7m+7
＝m2+8m+7；
S2＝（m+4）（m+2）
＝m2+2m+4m+8
＝m2+6m+8；
S1−S2=m2+8m+7−m2−6m−8=2m−1，
因为m为正整数，
所以2m﹣1＞0，
所以S1＞S2．
故答案为：＞．
（2）因为S1﹣S2＝2m﹣1，|S1﹣S2|≤2025，
即|2m﹣1|≤2025，
2m﹣1≤2025，
2m≤2026，
m≤1013．
所以m得最大值是1013．
（3）S3＝[（m+4）×3+2m﹣9﹣（m+1）×4]×（m+7）
＝（3m+12+2m﹣9﹣4m﹣4）×（m+7）
＝（m﹣1）（m+7）
＝m2+7m﹣m﹣7
＝m2+6m﹣7；
S4＝（2m﹣9）（m+2）
＝2m2+4m﹣9m﹣18
＝2m2﹣5m﹣18；
因为2S3＝S4，
所以2×（m2+6m﹣7）＝2m2﹣5m﹣18，
即2m2+12m﹣14＝2m2﹣5m﹣18，
17m＝﹣4，
m=−417，
因为m为正整数，
所以m 不存在．
14．【解答】解：（1）∠EPF与∠PEF相等，理由如下：
∵EP是∠AEF的平分线，
∴∠PEA＝∠PEF，
∵AB∥CD，
∴∠PEA＝∠EPF，
∴∠EPF＝∠PEF；
（2）设∠EPF＝α，
∴∠FHG＝3∠EPF＝3α，
由（1）可知：∠EPF＝∠PEF＝∠PEA＝α，
∴∠AEF＝2α，
∵AB∥CD，
∴∠EFD＝∠AEF＝2α，
∵EF∥GH，
∴∠EFH+∠FHG＝180°，
即2α+3α＝180°，
解得：α＝36°，
∴∠EFD＝2α＝72°；
（3）设∠EQF＝β，
∵∠PEQ﹣∠EQF＝50°，
∴∠PEQ＝50°+β，
∵点Q为射线GH上一点，
∴有以下两种情况：
①当点Q在线段GH上时，如图1所示：
∵EF∥GH，
∴∠1＝∠FQH，
∵∠QFH＝∠FQH，
∴∠1＝∠QFH，
∴∠1＝∠EFD，
∵EP是∠AEF的平分线，
∴∠2＝∠AEF，
∵AB∥CD，
∴∠AEF＝∠EFD，
∴∠1＝∠2，
∴PE∥FQ，
∴∠PEQ+∠EQF＝180°，
即50°+β+β＝180°，
解得：β＝65°，
即∠EQF＝β＝65°；
②当点Q在线段GH的延长线上时，
过点Q作QR∥CD交EF的延长线于R，如图2所示：
∵EF∥GH，
∴∠1＝∠FQH，∠3＝∠QFH，
∵∠QFH＝∠FQH，
∴∠1＝∠QFH＝∠3，
∴∠RFH＝2∠1＝2∠3，
∵∠RFH＝∠PFE，
∴∠PFE＝2∠3，
∵EP是∠AEF的平分线，
∴∠AEF＝2∠2，
∵AB∥CD，
∴∠AEF+∠CFE＝180°，
∴2∠3+2∠2＝180°，
∴∠3+∠2＝90°，
∵AB∥CD，QR∥CD，
∴AB∥QR，
∴∠AEQ+∠EQR＝180°，
即∠2+50°+β+∠3+β＝180°，
解得：β＝20°，
∴∠EQF＝β＝20°，
综上所述：∠EQF的度数为65°或20°．
15．【解答】解：（1）图1中，由图可知S大正方形＝（a+b）2，
S组成大正方形的四部分的面积之和＝a2+b2+2ab，
由题意得，S大正方形＝S组成大正方形的四部分的面积之和，
即（a+b）2＝a2+b2+2ab，
故答案为：（a+b）2＝a2+b2+2ab．
图2中，由图可知S大正方形＝（a+b）2，S小正方形＝（a﹣b）2，S四个长方形＝4ab，
由题图可知，S大正方形＝S小正方形+S四个长方形，
即（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，
故答案为：（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab．
（2）∵（x+y）2＝x2+y2+2xy，
∴xy＝[（x+y）2﹣（x2+y2）]
∵x+y＝8，x2+y2＝40，
∴xy＝（64﹣40）
＝12．
（3）①由图2可得（2m﹣3n）2＝（2m+3n）2﹣24mn，
∵2m+3n＝5，mn＝1，
∴（2m﹣3n）2＝52﹣24＝1，
∴2m﹣3n＝±1．
故答案为：±1．
②由图1可得[（4﹣m）﹣（5﹣m）]2＝（4﹣m）2+（5﹣m）2﹣2（4﹣m）（5﹣m），
∴（4﹣m）2+（5﹣m）2＝[（4﹣m）﹣（5﹣m）]2+2（4﹣m）（5﹣m），
∵（4﹣m）（5﹣m）＝6，
∴原式＝1+2×6＝13．
故答案为：13．
（4）由题意得AB＝AC+CB，
∵AB＝7，
∴AC+CB＝7，
∵S1+S2＝16，
∴AC2+CB2＝16，
∵（AC+BC）2＝AC2+CB2+2AC•CB，
∴AC•CB＝[（AC+CB）2﹣（AC2+CB2）]
＝（49﹣16）
＝，
∴S阴影＝CD•CB＝AC•CB＝．
即图中阴影部分的面积为．