人教版（2024）七年级下册数学期末复习：解答题压轴题 专项练习题汇编（含答案解析）

这是一份人教版（2024）七年级下册数学期末复习：解答题压轴题 专项练习题汇编（含答案解析），共28页。试卷主要包含了如图，，，平分，，睡眠状况对青少年的成长影响很大，列方程解应用题，请把下列证明过程及理由补充完整，小亮同学通过学习知道等内容，欢迎下载使用。
1．如图，直线交于点，直线交于点，分别平分和，且．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
2．如图，，，平分，．
(1)吗？请说明理由；
(2)若，求的度数．
3．如图，在平面直角坐标系中，A、B、C三点的坐标分别为．
(1)在平面直角坐标系中画出，并求出面积；
(2)如图，是由经过平移得到的，若点为内的一点，则点P在内的对应点的坐标（__________，_________）．
4．已知直线，点分别为直线上的点，点F是与之间任意一点，连接．直线，直线l分别交于两点．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，已知，求的度数；
(3)如图3，平分平分，过点F作的垂线交于点H，连接，，求的度数．
5．睡眠状况对青少年的成长影响很大．为此，某校在随机选取的部分学生中开展了一次问卷调查活动，并制成以下尚不完整的统计图：
(1)求参加问卷调查的人数和m的值；
(2)补全条形统计图；
(3)若该校有名学生，估计该校每天睡眠时长少于的学生约为多少人？
6．列方程（组）解应用题．
用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11吨．某物流公司现有27吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物．根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆A型车和1辆车B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
(2)求该公司的租车方案．
7．请把下列证明过程及理由补充完整（填在横线上）：
已知：如图，，是直线，，，．求证：．
证明：（已知），
（ ）．
（已知），
．
，
．
即 ．
．（ ）．
（ ）．
8．电子支付越来越普及，但有时也需要把微信账户里的钱转到银行卡里，这叫作提现．个人用户微信提现手续费的收取规则如下：每位用户享有累计1000元的免费提现额度，超过1000元免费额度时，超过部分将按0.1%的费率收取手续费．例如，首次提现500元（未超过免费额度）不收取手续费，再提现800元（累计超过免费额度300元），将收取0.3元手续费．
(1)小明妈妈以前从未提现过，现需要把微信中的5000元提现，需支付手续费_______元．
(2)小亮妈妈从使用至今共提现过2次，求a，b的值．
9．小亮同学通过学习知道：用一块面积大的纸片不一定能裁出一块面积小的纸片．他有一块面积为，且长与宽之比为的长方形，想裁出一个面积为的圆形，他的想法可行吗？
思考：小亮想，可以这样做：方法①通过将长方形的宽和圆的直径大小对比……；
也可以这样做：方法②直接用长方形的宽作直径裁圆，和所要的圆面积相比……（取3.14）
(1)上面两种方法中正确的方法为_______（填序号）；
(2)选择你认为正确的一种或从你认为正确的两种方法中选择一种进行计算，说明小亮的想法是否可行．
10．五四运动是一次伟大的反帝反封建的爱国运动，爱国是五四精神的主旋律，五四运动中积极倡导民主和科学的精神，进而推动了全社会的思想大解放．某校举办纪念·五四运动的演讲活动．同学们用青春的声音和故事，弘扬五四精神，彰显青春风采，展现拼搏风貌，深情地演绎了对党和祖国的热爱之情．为表彰在此次演讲活动中表现优秀的同学，该校需要购买一些书包和文具盒．若购买3个书包和2个文具盒，共需275元；若购买2个书包和4个文具盒，共需250元．
(1)求每个书包和每个文具盒的价格分别是多少元?
(2)该校决定购买书包和文具盒共10个，总费用不超过500元，那么最多可以购买多少个书包？
11．在学习完《相交线与平行线》后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动，探究平行线的“等角转化”功能．
(1)【问题初探】如图1，，，求证：．
(2)【拓展探究】在（1）的条件下，试问与之间满足怎样的数量关系？并说明理由．
(3)【迁移应用】
① 路灯维护工程车的工作示意图如图2，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则 ；
② 一种路灯的示意图如图3所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求与所成锐角的度数．
12．在现代化的智能工厂中，机械臂的精准操作依赖于精确的方向控制．如图所示，有两条平行的机械轨道与，即，将机械臂与轨道的接触点记为，机械臂与轨道的接触点记为，为了实现复杂的操作任务，通过关节和关节来调节三个机械臂、和的位置，在实际运行过程中，为确保稳定，三个机械臂、和不共线．
(1)如图1所示，当机械臂时，证明．
(2)如图2所示，当，，时，______（用含的式子表示）
(3)当，时，直接写出与的数量关系．（用含的式子表示）
13．下面是小华同学解一元一次不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务：
解不等式：
解：去分母，得： 第一步
去括号，得 第二步
移项，得 第三步
合并同类项， 第四步
两边同时除以，得 第五步
任务：
(1)上述过程中，从第______步出现错误，具体错误是______；
(2)请写出该不等式正确的求解过程；
(3)请你根据平时的学习经验，就解一元一次不等式的过程写出一条注意事项．
14．已知：，一块三角板中，，，将三角板如图所示放置，使顶点落在边上，经过点作直线交边于点，且点在点的左侧．
(1)如图，若，，则 ；
(2)若的平分线交边于点．
①如图，当，且时，试说明：；
②如图，当保持不变时，试求出与之间的数量关系．
15．某水果商收购了120吨水果打算运往外省售卖，现有甲、乙、丙三种车型供选择，且要求每辆车均满载，每辆车的运载量和运费如下表所示：
(1)若全部水果都用甲、乙两种车型车辆来运送，所需运费为6400元，则需甲、乙两种车型车辆各多少辆？
(2)该水果商决定从甲、乙、丙三种车型中至少选择两种车型车辆来运送，已知它们的总辆数为18辆，请通过列方程的方法求出符合题意的运送方案．
16．已知，直线，点为平面上一点，连接与．
(1)如图1，点P在直线，之间，当，时，求的度数．
(2)如图2，点P落在直线外侧，写出与，之间的数量关系，并说明理由．
(3)如图3，在（2）的条件下，与的平分线相交于点K，写出与之间的数量关系，并利用（3）的结论说明理由．
17．【问题情境】
如图1，，，，求的度数．小明的思路是：过点P作，通过平行线性质来求的度数．
（1）按小明的思路，求出的度数；
【问题迁移】
（2）如图2，，点P在射线上运动，记，，当点P在B、D两点之间运动时，问与α、β之间有何数量关系？请说明理由；
（3）在（2）的条件下，如果点P在B、D两点外侧运动时（点P与点O、B、D三点不重合），请直接写出与α、β之间的数量关系．
18．综合与实践
筷子，古称“箸”，是华夏饮食文化的标志之一，也是我们日常生活中的常用餐具，现代人用筷子的方式方法都不相同，但正确的抓握方法能让筷子更加灵活地操作，也符合餐桌礼仪的要求．某校数学兴趣小组开展了以“筷子的抓法”为主题的数学实践活动．
(1)图1为“五指凌乱式”的抓法及示意图，交于点O，，垂足为点O，．则 的度数为 ．
(2)图2为“传统的筷子”抓法及其示意图，，F为上一点，射线与交于点I，射线交于点E．
① ；
②若，与所在的直线存在什么位置关系？请说明理由．
(3)图3为“丁字型”抓法及示意图，，射线交于点M，交于点E，与 交于点G，射线交于点H．（温馨提示：小学就知道三角形内角和是180）
①若，则 ；
②若，当，垂足为点G时，请直接写出x，y，z的数量关系．
小亮妈妈：
我第一次提现元，支付手续费2.4元．
第二次提现元，支付手续费2.8元．
车型
甲
乙
丙
运载量/（吨/辆）
5
8
10
运费/（元/辆）
300
400
500
参考答案
1．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的判定和性质，角的和差计算，掌握平行线的判定和性质是关键．
（1）根据角平分线的定义，等量代换得到，根据内错角相等，两直线平行即可求解；
（2）根据题意得到，则，，由角平分线的定义得到，则，即可求解．
【详解】（1）证明：∵平分，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴的度数为．
2．(1)，理由见解析
(2)
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，角度的和差，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
（1）利用，得出，结合，得出，即可得证；
（2）利用，，得出，利用，，得出，利用平分，即可求出，最后利用求解．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴．
3．(1)图见解析，
(2)
【分析】本题考查了由平移方式确定点的坐标、坐标与图形综合，推出平移规律是解题关键．
（1）根据坐标即可作图，利用“割补法”即可求解；
（2）由图可知：点的坐标为，推出向右平移四个单位长度，向下平移三个单位长度即可得到；据此即可求解；
【详解】（1）解：如图所示：
；
（2）解：由图可知：点的坐标为，
∴向右平移四个单位长度，向下平移三个单位长度即可得到；
∴点P在内的对应点的坐标为；
故答案为：
4．(1)详见解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用平行线的性质，等量代换证明即可；
（2）过F作，利用平行线的性质，等量代换证明即可；
（3）设，过F作，过R作，利用平行线的性质解答即可．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）如图，过F作，
∵，
∴，
∴，
由（1）知，
∴，
∴；
（3）解：如图，∵平分，平分，
∴设，
过F作，过R作，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，角的平分线，一元一次方程的应用，角的和差倍分计算，熟练掌握性质是解题的关键．
5．(1)人数为人，
(2)见详解
(3)人
【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图以及样本估计总体，读懂条形统计图、扇形统计图是解题的关键．
（1）先根据C组的人数和占比求出总人数，再根据B组的人数除以总人数进而可求出m的值；
（2）补全条形统计图即可；
（3）用样本估计总体即可．
【详解】（1）解：参加问卷调查的人数为（人），
B组的人数为：（人），
，
则；
（2）解：补全条形图如下：

（3）解：（人）
该校每天睡眠时长少于的学生约为人．
6．(1)1辆型车和1辆型车都装满货物一次可分别运货3吨，4吨
(2)共有2种租车方案：①租用型车5辆，型车3辆；②租用型车1辆，型车6辆
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：
（1）设1辆型车和1辆型车都装满货物一次可分别运货吨，吨，根据“用2辆型车和1辆型车装满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货11吨”，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）由（1）的结论结合某物流公司现有27吨货物，即可得出，即，由、均为正数即可得出各租车方案．
【详解】（1）解：设1辆型车和1辆型车都装满货物一次可分别运货吨，吨，
根据题意得：，
解得：，
答：1辆型车和1辆型车都装满货物一次可分别运货3吨，4吨．
（2）解：由题意可得：，整理得：，
∵、均为正整数，
∴或，
∴共有2种租车方案：①租用型车5辆，型车3辆；②租用型车1辆，型车6辆．
7．；两直线平行，内错角相等；；；等量代换；同位角相等，两直线平行
【分析】本题考查了平行线的性质及判定，要注意：平行线的判定是由角的数量关系判定两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由平行线的性质得，从而得，由得，从而求得，即可判定．
【详解】证明：（已知），
（两直线平行，内错角相等）．
（已知），
．
，
．
即．
（等量代换）．
（同位角相等，两直线平行）．
8．(1)4
(2)
【分析】本题考查了跨平台提现手续费问题．熟练掌握手续费与手续费起缴点和费率的关系，列式、列方程组，是解题的关键．
（1）累计超过1000元免费额度时，超过部分将按0.1%的费率收取手续费，微信中的5000元提现，列式计算：
（2）第一次提现元，支付手续费2.4元．第二次提现元，支付手续费2.8元．列方程组计算．
【详解】（1）解：（元），
故答案为：4
（2）解：由题意得：，
解得．
9．(1)①②
(2)见解析
【分析】本题考查了平方根、算术平方根的应用，实数的大小比较等知识点，正确理解题意是解题的关键．
（1）根据题意分析即可求解；
（2）设长方形的长为，则它的宽为，根据题意得，解得（舍负），那么长方形的宽为，分别计算方法①和方法②即可．
【详解】（1）解：由题意得，两种方法均正确，
故答案为：①②；
（2）解：选择①，他的想法可行，理由如下：
设长方形的长为，则它的宽为，根据题意得．
，
解得（舍负）．
所以长方形的宽为．
设圆的半径为，根据题意得，，
解得，
所以该圆的直径．
因为，，
所以他的想法可行．
或选择②：他的想法可行，理由为：
设长方形的长为，则它的宽为，根据题意得．
．
解得（舍负），
所以长方形的宽为．
以为直径的圆的面积为．
因为，所以他的想法可行．
10．(1)每个书包的价格为75元，每个文具盒的价格为25元
(2)最多可以购买5个书包
【分析】（1）通过设书包和文具盒的单价为未知数，根据两种不同购买组合的花费列出方程组，求解得到单价．
（2） 设购买书包的数量，根据总费用的限制条件列出不等式，求解得出书包数量的最大值．
本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式的应用 ，熟练掌握根据实际问题中的数量关系列出方程组和不等式是解题的关键．
【详解】（1）解：设每个书包的价格为元，每个文具盒的价格为元，
由题意得，
解得．
答：每个书包的价格为75元，每个文具盒的价格为25元．
（2）解：设购买书包个，则购买的文具盒的个数为个，
由题意得，
解得．
答：最多可以购买5个书包．
11．(1)见解析
(2)，理由见解析
(3)①；②与所成锐角的度数为
【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行线的应用，掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键．
（1）根据平行线的判定定理可得，再根据平行线的性质定理可得，结合可得，即可证明；
（2）过点F作交于点G，则，根据平行线的性质即可证明；
（3）①参照（2）中方法，构造平行线，利用平行线的性质求解；②过点E作，根据平行线的判定定理和性质定理求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：，
证明：过点F作交于点G，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴；
（3）解：①如图，作，则，
，，
，
故答案为：；
② 过点E作，
由题意可知：，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
即：与所成锐角的度数为．
12．(1)见解析
(2)
(3)或或或
【分析】（1）延长交于E，利用平行线的性质即可求证；
（2）分别过点P、Q作，即可得出，再利用平行线的性质即可求解；
（3）分不同的图形进行讨论，并分别过点P、Q作，即可得出，再利用平行线的性质即可求解．
【详解】（1）证明：如图，延长交于E，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
（2）解：；
理由：如图，分别过点P、Q作，
∵，
∴，
∴，
当，，时，
；
（3）解：或或或；
理由如下：如图2-1，分别过点P、Q作，
∵，
∴，
∴，
当，时，
，
∴；
如图2-2，分别过点P、Q作，
∵，
∴，
∴，
当，时，
∴；
如图2-3，分别过点P、Q作，
∵，
∴，
∴，
当，时，
∴；
如图2-4，分别过点P、Q作，
∵，
∴，
∴，
当，时，
∴；
综上可得：或或或．
【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，涉及到了两直线平行，同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，平行线的传递性等知识，解题关键是分类讨论，作出辅助线求解，本题的难点是画出图形，考查了学生的想象能力与逻辑思维能力．
13．(1)第一步，去分母时，漏乘常数项
(2)见解析
(3)去分母时，一定要注意不要漏乘了常数项
【分析】（1）去分母，注意不要漏乘常数项；
（2）按照解不等式的基本步骤解答即可．
（3）注意不要漏乘常数项．
本题考查了解不等式，熟练掌握解题的基本步骤是解题的关键．
【详解】（1）解：根据解不等式的基本步骤，发现第一步开始出现了错误，错因是去分母时漏乘了常数项，
故答案为：第一步，去分母时，漏乘常数项．
（2）解：，
去分母，得：
去括号，得
移项，得
合并同类项，
两边同时除以，得．
（3）解：建议去分母时，一定要注意不要漏乘了常数项．
14．(1)50
(2)①见解析；②
【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键．
（1）过点作，利用平行线的性质求出，结合，可推出，最后由得出即可；
（2）①根据，可得，再根据角平分线性质得出，利用内错角相等证明平行即可；②根据平行线的性质得出，再根据角平分线的性质和平行线的性质得出，即可求出与之间的数量关系．
【详解】（1）解：过点作，如图所示，
，
，
，
，
，
，
，
，
则，
故答案为：50．
（2）解：①，
，
，
，
平分，
，
在直角三角形中，，，
，
，
，
，
；
②，
，
由①可知，，
，
，
，，
平分，
，
，
．
15．(1)需甲车型车辆8辆，乙车型车辆10辆
(2)共有3种运送方案：
方案1：使用甲车型车辆12辆，丙车型车辆6辆；
方案2：使用甲车型车辆10辆，乙车型车辆5辆，丙车型车辆3辆；
方案3：使用甲车型车辆8辆，乙车型车辆10辆
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．熟练掌握单价与单价和数量的关系，总吨数与每辆车载重和车辆数的关系，是解题的关键．二元一次方程的解有无数组，但在限定条件下，往往可以求出其整数解；求二元一次方程的整数解，在问题不是特别复杂的条件下，可以采用枚举法，即将其中一个未知数在可以取值的范围内的数一一列出来，求出对应的另一个未知数的值，并找出符合题意的整数解．
（1）设需甲车型x辆，乙车型y辆，根据120吨水果和6400元运费列方程组求解；
（2）设需甲车型m辆，乙车型n辆，丙车型辆，根据水果120吨，18辆车列二元一次方程，结合未知数的实际意义求解.
【详解】（1）解：（1）设需甲车型车辆x辆，乙车型车辆y辆．
根据题意，得
解得
答：需甲车型车辆8辆，乙车型车辆10辆．
（2）解：设使用甲车型车辆m辆，乙车型车辆n辆，则使用丙车型车辆辆．
根据题意，得，
．
均为非负整数，
或或
∴共有3种运送方案：
方案1：使用甲车型车辆12辆，丙车型车辆6辆；
方案2：使用甲车型车辆10辆，乙车型车辆5辆，丙车型车辆3辆；
方案3：使用甲车型车辆8辆，乙车型车辆10辆
16．(1)
(2)；理由见解析
(3)；理由见解析
【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线定义，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质．
（1）过点P作，根据平行线的性质求出，，即可得出答案；
（2）过点P作，根据平行线的性质得出，，然后得出答案即可；
（3）由（2）可知，．根据角平分线定义得出，，再得出答案即可．
【详解】（1）解：如图，过点P作，则有．
∵，，
∴．
∴，
∴．
（2）解：关系：．
理由：如图，过点P作，则有．
∵，，
∴，
∴，
∴．
（3）解：关系：
理由：由（2）可知，．
∵平分，平分，
∴，，
∴．
17．（1）；（2），见解析；（3）当点P在的延长线上时，；当点P在线段上时，
【分析】（1）利用平行线的性质，同旁内角互补，求出，度数，利用，进行求解即可；
（2）过点作，得，得到，，进而得到；
（3）分点在的延长线上，和在线段上，两种情况进行讨论即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，，
∴；
（2），
理由如下：过点作，
∵，
∴，
∴，，
∴；
（3）如图所示，当在的延长线时，由（2）可知，，
，
如图所示，当在线段上时，由（2）可知，，
．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力，题目是一道比较典型的题目，解题时注意分类思想的运用．
18．(1)
(2)①；②，见解析
(3)①；②
【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解题关键是熟练运用平行线的性质与判定和三角形内角和进行计算与证明；
（1）根据邻补角的性质得出，再根据垂直的定义得出即可；
（2）①根据两直线平行，同旁内角互补证明即可；②根据内错角相等，两直线平行证明即可；
（3）①根据两直线平行，同旁内角互补和三角形内角和定理求解即可；②根据平行线的性质和三角形内角和定理证明即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：①∵，
∴，
∴，
即，
故答案为：；
②；
证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
（3）解：①∵，
∴
∵
∴
∵，
∴，
故答案为：；
②∵，
由①可知，
，
∵，
∴，即，
∵，
∴
∴．