北师大版（2024）七年级下册数学期末复习：解答题压轴题 尖子生提升练习题（含答案）

这是一份北师大版（2024）七年级下册数学期末复习：解答题压轴题 尖子生提升练习题（含答案），共29页。试卷主要包含了阅读材料，综合与探究，如图，直线相交于点，理由见解析等内容，欢迎下载使用。
1．在一个不透明的袋子中装了4个红球和6个白球．这些球除颜色外都相同．
(1)下列事件中：不可能事件是_________，必然事件是_________，随机事件是_________（填序号）．
①从袋子同时摸出2个球都是红球；
②从袋子摸出1球是黑球；
③从袋子同时摸出5个球至少有一个是白球．
(2)求从袋子摸出1个球是红球的概率；
(3)小宇从袋子中取出m个白球，同时又放入相同数目的同样红球，经过反复试验，发现摸出一个球是红球的概率为0.6，则m的值为多少？
2．阅读材料：
若，求m，n的值．
解：因为
，
所以，．
所以．
根据上述材料，探究下面的问题：
(1)若，则 ， ；
(2)已知，求的值；
(3)已知，，求的值．
3．综合与探究
如图，，点，分别在直线，上．
(1)如图1，是直线，之间一点，连接，．试说明．
(2)如图2，是直线，之间一点，连接，．若，，求的度数．
(3)如图3，平分，平分，试探究与之间的数量关系，并说明理由．
4．如图，已知，和是对应角，和是对应边，．
(1)判断与的位置关系，并说明理由．
(2)求的长．
5．如图，已知直线和射线，线段，请用尺规作图法完成下列作图∶(保留作图痕迹，不写作法，将（1）（2）作在同一幅图上)
(1)在射线上求作一点D，使；
(2)以点C为顶点，为一边，作，使得．
6．《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑．在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，利用几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中．
(1)我们在学习许多代数公式时，可以用几何图形来推理，观察下列图形，找出可以推出的代数公式，(下面各图形均满足推导各公式的条件，只需填写对应公式的序号)

公式①：
公式②：
公式③：
公式④：
图1对应公式 ，图2对应公式 ，图3对应公式 ，图4对应公式 ．
(2)《几何原本》中记载了一种利用几何图形证明平方差公式的方法，如图5，请写出证明过程．

7．如图，直线相交于点．
(1)写出的对顶角．
(2)若，试判断与的位置关系，并说明理由．
8．用几个小的长方形、正方形拼成一个大的正方形，然后利用两种不同的方法计算这个大的正方形的面积，可以得到一个等式例如：计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是；如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为，由此得到．
(1)如图2，由几个面积不等的小正方形和几个小长方形拼成一个边长为的正方形，从中你能发现什么结论？该结论用等式表示为______．
(2)利用（1）中的结论解决以下问题：已知，，求的值；
(3)如图3，正方形边长为，正方形边长为，点在同一直线上，连接，若，，求图3中阴影部分的面积．
9．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点均在小正方形的顶点上．
(1)在图中画出与关于直线成轴对称的；
(2)求的面积；
(3)在直线上找一点，使得的周长最小．
10．如图所示，已知等腰中，，，点D是AB上一点，且，于E，于F．
(1)试说明：；
(2)若，，求EF的长度．
11．如图，在中，，，，点D为的中点，点P在线段上以每秒6个单位的速度由点B向点C运动，同时点Q在线段上以每秒a个单位的速度由点C向点A运动，设运动时间为t（秒）．

(1)用含t的代数式表示线段的长；
(2)若点的运动速度相等，时，与是否相等？请说明理由；
(3)若点的运动速度不相等，与全等时，求a的值．
12．如图，已知在中，于点，，是上的一点，且，连接并延长交于点．
(1)求证:；
(2)猜想与的位置关系，并证明．
13．已知：，点分别在上，点为之间的一点，连接．

(1)如图1，若，求；
(2)如图2，分别为的平分线，求证：；
(3)在（2）的条件下，如图3，过点作的垂线交于点，点在上，，的延长线交的延长线于点，若，猜想与的倍数关系并证明．
14．某夏令营主办方暑假带领营员去旅游，甲旅行社说：“若领队买全票一张，则学生可享受半价优惠”，乙旅行社说：“包括领队在内都六折优惠”．若全票价是1200元，设学生人数为x，甲旅行社收费为、乙旅行社收费为．求：
(1)分别写出两家旅行社的收费与学生人数的关系式；
(2)当学生人数为8人时，哪家旅行社更优惠？
(3)当学生人数是多少时，两家旅行社的收费是一样的？
15．若（且，m、n是正整数），则．利用上面结论解决下面的问题：
(1)如果，求x的值；
(2)如果，求x的值；
(3)若，，用含x的代数式表示y．
16．在日历上，我们可以发现其中某些满足一定的规律，如图①是2024年9月份的日历，用如图所示的“”字型框架任意框住月历中的5个数（如图①中的阴影部分），如图②，将“”字型框位置、上的数相乘，位置、上的数相乘，再相减，例如：在图①中，，，不难发现，结果都等于15．
如图②，设日历中所示图形中位置的数字为．
(1)图②框中其余四个数用含的代数式可以表示为A：_________，B：________，D：________，E： ________．
(2)用含的式子表示发现的规律___________________．
(3)利用整式的运算对（2）中的规律加以证明．
(4)如图②，在某月历中，“”字型框框住部分（阴影部分）5个位置上的数，若最小的数和最大的数的乘积为57，则中间位置上的数为________．
17．已知：如图1，，，以A点为直角顶点、为腰在第三象限作等腰．

(1)求C点的坐标：
(2)如图2，，P为y轴负半轴上一个动点，若以P为直角顶点，为腰作等腰，过D作轴于E点，求的值：
(3)如图3，点F坐标为，点在y轴负半轴，点在x轴的正半轴上，且，求的值．
18．如图①，在△ABC中，，，、均是的外角．射线从射线出发．绕点A以每秒的速度逆时针旋转．交射线于点E．设射线的旋转时间为秒．
(1)______度(用含t的代数式表示)，当点E与点C重合时，______．
(2)当点E在点C右侧时，t的取值范围是_______．
(3)如图②，、的角平分线交于点P，请判断与的数量关系并说明理由．
(4)如图③、的角平分线交的反向延长线于点Q，当的三个内角中，有一个角等于另一个角的3倍时，直接写出t的值．
19．如图1，在桌上放置一副三角板（忽略厚度），有两个角的顶点重合于一点O，．

(1)如图2，绕着点O转动三角板（两个三角板有重叠），的大小是否发生变化？若不发生变化，求出它的值；若发生变化，说明理由．
(2)在转动三角板的过程中（两个三角板有重叠），若，求的度数．
20．【阅读理解】
对于平行线的拐角问题，经常通过做第三条平行线，以便利用平行线的性质来解决问题．
例如：如图①，已知，点E、F分别在直线、上，点P在直线、之间，求证：．
证明：如图②，过点P作，∴，
∵，，∴，∴，
∴，即．
可以运用以上结论解答下列问题：
【类比应用】
（1）如图③，已知，，，求的度数．
（2）如图④，已知，点E在直线上，点P在直线上方，连接、，则，，之间有何数量关系？请说明理由．
【拓展应用】
（3）如图⑤，已知，点E在直线上，点P在直线上方，连接、，的平分线与的平分线所在直线交于点Q，求的值．
参考答案
1．(1)②；③；①
(2)
(3)2
【分析】（1）根据不可能事件、必然事件、随机事件的概念进行判断即可；
（2）根据概率的求解方法求解即可；
（3）根据概率估计袋中的红球个数，即可得m的值；
【详解】（1）解：①从袋子同时摸出2个球都是红球；属于随机事件；
②从袋子摸出1球是黑球；属于不可能事件；
③从袋子同时摸出5个球至少有一个是白球；属于必然事件；
故答案为：②；③；①．
（2）∵袋子中装了4个红球和6个白球，
∴总共有10球，
∵袋子中有4个红球，
∴P（摸出1个球是红球）=
（3）∵小宇从袋子中取出m个白球，同时又放入相同数目的同样红球，
∴此时袋中仍有10个球，而红球有4+m个，白球有6-m个，
∴，
∴m=2．
【点睛】本题主要考查不可能事件、必然事件、随机事件的概念、简单概率的求解，掌握相关概念和求解方法是解题的关键．
2．(1)4，0
(2)
(3)
【分析】（1）将等式左边整理成两个整式的平方和，然后根据偶次方的非负性求解即可；
（2）将等式左边整理成两个整式的平方和，然后根据偶次方的非负性求出x，y的值，再代入计算即可；
（3）由可得，然后代入，再将等式左边整理成两个整式的平方和，然后根据偶次方的非负性求出b，c的值，然后可得a的值，再代入计算即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，，
∴，，
∴，
故答案为：4，0；
（2）解：∵
，
∴，，
∴，，
∴；
（3）解：∵，
∴，
把代入得：，
整理得：，
∵
，
∴，，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】此题考查了完全平方公式的运用，偶次方的非负性，对已知式子进行正确的变形，灵活运用完全平方公式是解题的关键．
3．(1)见解析
(2)
(3)，理由见解析
【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键；
（1）过点作，根据平行线的性质可得，，即可得出结论；
（2）由（1）可得，代入数据，即可求解．
（3）根据角平分线以及平角的定义可得，，由（1）可得，，进而得出结论．
【详解】（1）解：如图，过点作
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即；
（2）解：∵
∴
∵，
由（1）可得
（3）解：，理由如下：
∵平分，平分，
∴，
由（1）可得，
∴

即．
4．(1)，理由见解析
(2)5
【分析】此题考查了全等三角形的性质．
（1）根据全等三角形的性质得到，即可判定；
（2）根据全等三角形的对应边相等得到，进而得出，根据线段的和差求解即可．
【详解】（1）解：．理由如下：
∵，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∴，即，
∵，，
∴，
∴，
∴．
5．(1)见解析
(2)见解析
【分析】此题考查了尺规复杂作图，
（1）以点B为圆心，为半径画弧交射线于点E，然后以点E为圆心，为半径画弧交射线于点D，即为所求；
（2）利用尺规作一个角等于已知角的作图方法求解即可．
【详解】（1）如图所示，点D即为所求；
（2）如图所示，或即为所求；
6．(1)①，②，④，③；(2)见解析
【分析】根据多项式乘多项式与图形面积，完全平方公式在几何图形中的应用，平方差公式与几何图形．对几何图形的面积进行加减运算求解即可．
【详解】（1）解：观察图象可得：图1对应公式①，图2对应公式②，图3对应公式④，图4对应公式③；
故答案为：①，②，④，③；
(2)证明：如图：

由图可知，四边形、都是正方形，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式与图形面积，完全平方公式在几何图形中的应用，平方差公式与几何图形．解题的关键在于正确表示几何图形的面积．
7．(1)的对顶角分别是，．
(2)，理由见详解
【分析】本题考查了对顶角，几何图形中角度计算问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，据此进行作答即可．
（2）结合对顶角相等以及，则，然后算出，则，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，的对顶角为，的对顶角为，
（2）解：，理由如下：
∵，，
∴
∴，
则，
∴．
8．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查用面积表示代数恒等式，整式的混合运算，用两种不同方法表示同一个图形面积是求解本题的关键．
（1）用两种方法表示大正方形的面积即可得出答案；
（2）根据解析（1）中得出的公式进行计算即可；
（3）先表示阴影部分面积，再求值．
【详解】（1）解：图2中正方形的面积可以表示为：，
还可以表示为：，
∴，
故答案为：．
（2）解：由（1）结论变形知：
．
（3）解：
，
，
∴，
，
，
．
9．(1)见解析
(2)的面积为3.5
(3)见解析
【分析】本题考查了作图—轴对称变换，利用网格求三角形面积，熟练掌握轴对称的性质是解此题的关键．
（1）利用轴对称变换的性质分别作出的对应点，再顺次连接即可得出答案；
（2）利用割补法求三角形面积即可；
（3）连接交直线于点，连接，点即为所求．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：的面积；
（3）解：如图，点即为所求，
．
10．(1)证明见解析
(2)cm
【分析】（1）证出，根据AAS可证明；
（2）根据全等三角形的性质得出AE＝CF，CE＝BF，则可得出结论；
【详解】（1）证明：∵AE⊥CD于E，∠ACB＝90°，
∴∠AEC＝90°，
∴∠CAE＋∠ACE＝90°，∠BCF＋∠ACE＝90°，
∴∠CAE＝∠BCF，
在△ACE和△CBF中，∠CAE＝∠BCF，∠AEC＝∠CFB，AC＝CB，
∴△ACE≌△CBF（AAS）；
（2）∵△ACE≌△CBF（AAS），
∴AE＝CF，CE＝BF，
∴AE＝CF＝CE-EF=BF-EF ，
∵AE=2cm，BF=6cm，
∴EF=4cm．
【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
11．(1)
(2)相等，理由见解析
(3)
【分析】（1）先根据路程=速度×时间，得出，即可根据；
（2）根据题意得出，，根据中点的定义得出，即可求证，得出，根据平角和三角形内角和得出，，可得出结论；
（3）根据点的运动速度不相等，得出，则，列出方程求解即可．
【详解】（1）解：∵点P在线段上以每秒6个单位的速度由点B向点C运动，运动时间为t秒，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下：
当时，，，
∵，点D为的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴；
（3）解：∵点的运动速度不相等，
∴，
根据题意可得：，
∵与全等，，
∴，
∴，
解得：．
【点睛】本题主要考查了列代数式，全等三角形的判定和性质，解题的关键的掌握全等三角形的判定方法有，全等三角形对应角相等，对应边相等．
12．(1)见解析
(2)，证明见解析
【分析】（1）证明，根据全等三角形的性质即可得证；
（2）根据，得出，即可得出，从而得出．
【详解】（1）证明：，
，
在与中，
，
，
；
（2）解：∵
∴,
∵
∴，
∴，
即．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等角的余角相等，三角形的内角和定理，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．
13．(1)
(2)见解析
(3)，理由见解析
【分析】（1）过作，根据平行线的性质以及角的和差关系进行推导即可；
（2）利用分别为的平分线，推出，，再根据（1）中的结论进行计算即可；
（3）根据角之间的关系求出，，即可得出结论．
【详解】（1）证明：如图1，过作，
，
，
，
，
，
即；
（2）解：如图2，
，
分别为的角平分线，
∴，
,
同理可得：，
由（1）得：，，
；
（3）解：猜想：，
理由如下：
如图3，
，
由（1）可知：，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的性质等知识点，熟练掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等，以及角平分线的性质是解题的关键．
14．(1)，
(2)当学生人数为8人时，甲旅行社更优惠；
(3)当学生为是4人时，两家旅行社的收费是一样的．
【分析】（1）根据收费总额=学生人数×单价+领队的票价就可以分别求出两个旅行社的收费；
（2）学生人数为8人时，分别计算两个旅行社的收费，比较即可求解；
（3）利用时，得出，进而求出即可．
【详解】（1）解：设学生人数为x人，
则，
；
（2）解：当时，，
．
答：当学生人数为8人时，甲旅行社更优惠；
（3）解：当时，，
解得．
答：当学生为是4人时，两家旅行社的收费是一样的．
【点睛】本题主要考查用关系式表示变量之间的关系，代数式求值，一元一次方程的应用，理解并掌握选择方案中的临界值，即当时，两家旅行社的收费一样是解题的关键．
15．(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查幂的乘方，解一元一次方程，用含x的代数式表示y等．
（1）将式子变形得，再对应相等即可得到本题答案；
（2）将变形为，继而得到，后移项计算即可；
（3）根据题干可得，再代入可得，再展开整理即可．
【详解】（1）解：∵，即：，
∴，即：；
（2）解：变形为：，即：，
∴，即：，，解得：；
（3）解：∵，即：，
∵，即：，
∴．
16．(1)，，，；
(2)
(3)15
(4)11
【分析】（1）由日历可发现：位置的数字比位置的数字少7，位置的数字比位置的数字少8，位置的数字比位置的数字多7，位置的数字比位置的数字多8，据此即可解答；
（2）根据题意列出式子即可；
（3）运用平方差公式展开后，合并同类项即可得证；
（4）由题意可得方程，求解后根据的取值进行取舍即可解答．
本题考查列代数式，整数的混合运算，列代数式的应用，读懂题意是关键．
【详解】（1）解：依题意，位置的数字为，
结合日历的特征，位置的数字为，位置的数字为，位置的数字为，位置的数字为．
故答案为：，，，；
（2）解：结合日历的特征，规律为：；
故答案为：；
（3）解：
；
（4）解：最小的数和最大的数的乘积为57，
，
为正整数，为正整数，且，
则，
，
即中间位置上的数为11．
故答案为：11．
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）过C作轴于M点，证明，即可求出和的值，进而求得答案；
（2）过D作于Q点，根据四边形是矩形，得到，进而证明，从而得到的值，再根据得到，即可求得答案；
（3）先证明四边形是正方形，得到，进一步证明，从而得到，再根据坐标值求出的表达式，最后根据建立等式即可求得答案．
【详解】（1）解：如下图所示，过C作轴于M点，
∵，，
∴，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，．
∴，
∴点C的坐标为；
（2）解：如图2，过D作于Q点，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴．
（3）解：如图3，过点F分别作轴于点S，轴于点T，
∵，,
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∵，，点F坐标为，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查直角坐标系，直角三角形和等腰直角三角形的性质，全等三角形的判断与性质，解题的关键是添加正确的辅助线，构造出全等三角形．
18．(1)，6
(2)
(3)．理由见解析
(4)4.5或6或12
【分析】本题考查三角形的外角的性质，角平分线的定义，一元一次方程，灵活运用三角形外角的性质是解答此题的关键．
（1）根据运动可以得到的度数，然后利用方程求出值即可；
（2）根据动线的位置确定，且不超过时的。列不等式组解题即可；
（3）由角平分线的定义得到，，然后利用三角形外角的性质得到结论即可；
（4）先求出、、的度数，分为、、和四种情况分别解题即可．
【详解】（1）解：∵射线从射线出发．绕点A以每秒的速度逆时针旋转，
∴；
∵，，
∴，
当点E与点C重合时，
∴，解得；
故答案为：，；
（2）若要与射线相交，
则，
当点E在点C右侧时，
，解得，
故答案为：；
（3）解：，理由为：
∵是的外角，
∴，
∵、的角平分线交于点P，
∴，，
∴；
（4）解：∵，
∴，
又∵和时和的平分线，
∴，，
∴，
∴，
当时，则，解得；
当时，则，解得；
当时，则，解得(舍去)；
当时，则，解得；
综上所述，t的值为，或．
19．(1)大小不发生变化，它的值是；
(2)或．
【分析】本题考查余角与补角，解题的关键是掌握角的和差运算．
（1）根据，再代换即可；
（2）分两种情况讨论，①当在外时，②当在内时，讨论解得即可．
【详解】（1）∵，
∴的大小不变，，
（2）设，则，
①当在外时，
∴，
解得，
∴，
②当在内时，如图，

∴，
解得，
∴
∴或．
20．（1）；（2），理由见解析；（3）．
【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键．
（1）过点P作，由对顶角相等可得，由平行线的性质可得，，即可得解；
（2）过P点作，则，由平行线的性质可得，，从而得出，即可得解；
（3）过Q点作，则，由平行线的性质可得，，推出，，由角平分线的定义可得，，从而得出，由（2）知，，推出，即可得解．
【详解】解：（1）如图，过点P作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2），理由如下：
如图，过P点作，
∵，
∴，
∴，，
∴，即，
∴；
（3）由示例知，过Q点作，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
又∵，分别是与的角平分线，
∴，，
∴，
由（2）知，，
∴，
∴，即．