河北省张家口市2025届高三下学期第三次模拟考试 数学试题（含解析）

这是一份河北省张家口市2025届高三下学期第三次模拟考试 数学试题（含解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数，则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
3．某同学记录了自己升入高三以来8次的数学考试成绩，分别为125，117，129，132，115，119，126，130，则该同学这8次的数学考试成绩的第40百分位数为（ ）
A．119B．122C．125D．132
4．在中，，，则（ ）
A．2B．C．D．
5．若的展开式中的系数为240，则（ ）
A．4B．5C．6D．8
6．已知直线为圆在处的切线，若直线经过椭圆的两个顶点，则该椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
7．已知，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数 ，，且，都有，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知，，且，若，则（ ）
A．B．的最小值为
C．的最小值为D．的取值范围为
10．在三棱锥中，，，为等边三角形，侧面底面，为棱的中点，，，三棱锥的体积为，则（ ）
A．若，则
B．若，则三棱锥的外接球的表面积为
C．若平面，则四棱锥的体积为
D．若，与平面所成角相等，则
11．已知函数，，则（ ）
A．当时，函数有三个零点
B．当时，，
C．若，则
D．若函数在处取得极值，且，使，则
三、填空题
12．已知曲线在处的切线与轴垂直，则实数的值为 .
13．已知等比数列的前项和为，若，，则 .
14．已知为抛物线的焦点，过上一点作的准线的垂线，垂足为，若，则 .
四、解答题
15．为大力弘扬中华民族尊老、敬老、爱老的传统美德，某医院从，两个科室的志愿者中随机抽调4人为某社区养老院的老人进行“免费健康体检”活动，已知，两个科室中的志愿者分布如下：
（1）求抽到的4人中，恰好有2名医生，且这2名医生恰好来自同一科室的概率；
（2）设为选出的4人中医生的人数，求随机变量的分布列和数学期望.
16．已知双曲线的一条渐近线方程为，为个焦点.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若倾斜角为的直线经过与的右支交于不同的两点，，的面积为（为坐标原点），，求的值.
17．在中，内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）求；
（2）若的外接圆面积为，且，，求的长.
18．如图，在正三棱柱中，，，且，满足，，过，，三点的平面与棱交于点，若.
（1）求的值；
（2）求异面直线与所成角的余弦值；
（3）求平面与平面夹角的正切值.
19．已知函数.
（1）求证：.
（2）若，，为的最大值，
（i）求的极小值；
（ii）设，，求证：.
参考答案
1．【答案】A
【详解】，
，
所以，
故选A
2．【答案】D
【详解】，在复平面内对应的点的坐标为，
它位于第四象限.
故选D.
3．【答案】C
【详解】从小到大排序：115,117,119,125,126,129,130,132，
，
所以第40百分位数为第四个数，即125.
故选C
4．【答案】C
【详解】依题意，.
故选C.
5．【答案】C
【详解】的展开式通项为.
令得展开式中的系数为，即，
对于A，时，，不满足方程；
对于B，时，，不满足方程；
对于C，时，，满足方程；
对于B，时，，不满足方程.
故选C
6．【答案】A
【详解】设切线斜率为，由圆的性质可知：，
解得：，
可得切线方程：，
由可得：，令，可得，
由题意可知：，
所以，
所以，
故选A
7．【答案】D
【详解】因为，
则
.
故选D
8．【答案】B
【详解】，，且，都有即，
记，
则由单调性的定义知，函数在上单调递增，
则需满足：在上单调递增①，
在上单调递增②，
且 ③，
对于①，要使在上单调递增，
则在上恒成立，即在上恒成立，
所以，因为，所以，解得；
对于②，因为在上单调递增，
所以在上单调递增时，；
对于③，，所以；
所以，解得，所以实数的取值范围是.
故选B
9．【答案】BCD
【详解】A.由条件可知，，，则，故A错误；
B.由题意可知，，则，当时等号成立，
则的最小值为，故B正确；
C. ，当，即时等号成立，
则的最小值为，故C正确；
D.，
当，均单调递增，且时，，
则在区间上单调递增，
∴当时取得最大值5，且时，，
所以的取值范围为，故D正确.
故选BCD.
10．【答案】AC
【详解】设，由可得，
取的中点，连接，
由为等边三角形可得，
又侧面底面，侧面底面，面，
所以由面面垂直的性质定理可得面，
由，
所以三棱锥体积.
对于A，若，即，即，故A正确；
对于B，若，由A可得，则，
设三棱锥外接球的球心为，半径为，，
则，解得，所以，
所以三棱锥的外接球的表面积为，故B错误；
对于C，若平面，平面平面，平面，
所以，
又为棱的中点，所以为的中点，
则，
由三角形相似可得，且到平面的距离不变，
所以，所以四棱锥的体积为，故C正确；
对于D，以为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
设，由题意得为与平面所成的角，
且，
，
所以，由，，可得，
所以，
平面的法向量为，
因为，与平面所成角相等，
所以，
化简可得，解得无解，故D错误.
故选AC
11．【答案】AC
【详解】对于A，当时，，，
易得当时，，函数在上单调递减；
当或时，，函数在和上单调递增，
所以极大值，极小值，
又，，
所以函数在，，各有一个零点，
所以函数有三个零点，故A正确；
对于B，当时， ，，
易得当时，，函数在上单调递减；
又，，
所以，故B错误；
对于C，若，则的图象关于成中心对称，
又的定义域为，所以，
即，即，
整理可得，故C正确；
对于D，因为，所以，
由题有，即，
由，得，
令，则，又，
所以，
得到，
整理得到，
又，代入化简得到，
又，，
所以，得到，
即，即，故D错误.
故选AC.
12．【答案】/0.5
【详解】对函数求导得，，
因为曲线在处的切线与轴垂直，
所以，解得.
13．【答案】
【详解】由可得，
若，则与矛盾，
所以，
则.
14．【答案】
【详解】由题意为抛物线的焦点，过上一点作的准线的垂线，垂足为，且，
所以，所以，所以，
设准线与纵轴交于点，根据抛物线定义可知，
所以，
因为，所以，
在中，，所以．
15．【答案】（1）
（2）分布列见解析，
【详解】（1）由已知，恰好有2名医生的情况包含这2名医生都来自A科室和都来自B科室，
有种情况，从11人中抽4人有种情况，
所以所求的概率为.
（2）随机变量的所有可能取值为、、、、，
，，
，，，
所以随机变量的分布列为
所以.
16．【答案】（1）
（2）12
【详解】（1）由可得，即，
又，即，且，
联立可得，
所以双曲线的标准方程为.
（2）由题意可得当时，，显然不合题意，所以，
设直线方程为，，
联立，消去可得，
因为直线经过与的右支交于不同的两点，，
所以，
，
，
即
两边取平方后化简可得，
进一步化简可得，
因为直线经过与的右支交于不同的两点，所以，
解得，
又，
原点到直线的距离，
所以.
17．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为，
所以，所以，
所以，
由正弦定理可知，即，
又由余弦定理可知，
又，则；
（2）由的外接圆面积为，得外接圆半径为1，由正弦定理得，
由余弦定理及得，，
化简得，解得（负根舍去），从而，
因为，所以，
，所以
，
故的长是.
18．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）
取中点为，连接，因为为正三角形，所以，
又因为正三棱柱中，平面平面，
平面平面，平面，所以平面，
以为坐标原点，所在直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
由，可得，
所以，
因为，所以为中点，则，
又，设，则，
即，解得，所以，
设，则，
因为四点共面，所以存在实数，使得，
即，
即，解得，则，
所以，即.
（2）由（1）可知，，
设异面直线与所成角为，则
.
（3）平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
因为，
则，令，则，所以，
设平面与平面的夹角为，
则，
且，
所以.
19．【答案】（1）证明见解析；
（2）（i）0；（ii）证明见解析.
【详解】（1）令，定义域为，
则，
因为，所以，
当时，恒成立，在上单调递增，
当时，恒成立，在上单调递减，
故的最大值为，
所以，所以.
（2）（i），定义域为，
，
因为，
所以当时，恒成立，在上单调递增，
当时，恒成立，在上单调递减，
故的最大值为，
所以，
因为函数在上单调递增，所以函数在上单调递增，
因为，
所以当时，恒成立，在上单调递减，
当时，恒成立，在上单调递增，
故的极小值为.
（ii）因为，
所以.
证明等价于证明.
当时，，
假设当时，，
则当时，，
所以当，时，，
所以.
类别科室
志愿者
医生
护士
A科室
2
3
B科室
3
3