河北省张家口市2025届高三下学期第三次模拟考试数学试卷（解析版）

这是一份河北省张家口市2025届高三下学期第三次模拟考试数学试卷（解析版），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．若集合A={x∈Z∣-20，函数fx在-∞,0和1,+∞上单调递增，
所以极大值f0=12>0，极小值f1=-120的焦点，过C上一点P作C的准线y=-12的垂线，垂足为M，若∠MFP=π6，则PF= .
【答案】23
【解析】由题意F为抛物线C:x2=2pyp>0的焦点，过C上一点P作C的准线y=-12的垂线，垂足为M，且∠MFP=π6，
所以p2=12，所以p=1，所以C:x2=2y，
设准线y=-12与纵轴交于E点，根据抛物线定义可知|PF|=|PM|，
所以∠MFP=π6=∠PMF=∠EFM，
因为EF=1，所以FM=1csπ6=23，
在△PMF中，csπ6⋅|PF|=12|FM|，所以|PF|=23．
故答案为：23
四、解答题
15．为大力弘扬中华民族尊老、敬老、爱老的传统美德，某医院从A，B两个科室的志愿者中随机抽调4人为某社区养老院的老人进行“免费健康体检”活动，已知A，B两个科室中的志愿者分布如下：
（1）求抽到的4人中，恰好有2名医生，且这2名医生恰好来自同一科室的概率；
（2）设X为选出的4人中医生的人数，求随机变量X的分布列和数学期望.
解：（1）由已知，恰好有2名医生的情况包含这2名医生都来自A科室和都来自B科室，
有C22C62+C32C62种情况，从11人中抽4人有C114种情况，
所以所求的概率为C22C62+C32C62C114=60330=211.
（2）随机变量X的所有可能取值为0、1、2、3、4，
PX=0=C50C64C114=122，PX=1=C51C63C114=1033，
PX=2=C52C62C114=511，PX=3=C53C61C114=211，PX=4=C54C60C114=166，
所以随机变量X的分布列为
所以EX=0×122+1×1033+2×511+3×211+4×166=2011.
16．已知双曲线Γ:x2a2-y2b2=1a>0,b>0的一条渐近线方程为x-2y=0，F6,0为Γ个焦点.
（1）求双曲线Γ的标准方程；
（2）若倾斜角为θ的直线l经过F与Γ的右支交于不同的两点A，B，△AOB的面积为S（O为坐标原点），AB=4，求Scs2θ的值.
解：（1）由x-2y=0可得y=12x，即ba=12，
又F6,0，即c=6，且c2=a2+b2，
联立可得a2=4,b2=2，
所以双曲线Γ的标准方程为x24-y22=1.
（2）由题意可得当θ=π2时，AB=2，显然不合题意，所以θ≠12π，
设直线方程为y=tanθx-6，Ax1,y1,Bx2,y2，
联立y=tanθx-6x24-y22=1，消去y可得1-2tan2θx2+46tan2θx-12tan2θ+4=0，
因为直线l经过F与Γ的右支交于不同的两点A，B，
所以1-2tan2θ≠0Δ=46tan2θ2+41-2tan2θ12tan2θ+4>0，
x1+x2=-46tan2θ1-2tan2θ>0,x1x2=-12tan2θ+41-2tan2θ>0，
AB=1+tan2θx1+x22-4x1x2=4，
即1+tan2θ-46tan2θ1-2tan2θ2+4×12tan2θ+41-2tan2θ=4
两边取平方后化简可得1+tan2θ96tan4θ+48tan2θ+16-96tan4θ-32tan2θ1-2tan2θ2=16，
进一步化简可得1-2tan2θ2=1+tan2θ2，
因为直线l经过F与Γ的右支交于不同的两点，所以1-2tan2θ=-1+tan2θ，
解得tan2θ=2，
又tanθ=sinθcsθ⇒tan2θ=1-cs2θcs2θ⇒cs2θ=13，
原点到直线的距离d=6tanθ1+tan2θ=2，
所以Scs2θ=12ABd13=12×4×213=12.
17．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2-sinAsinC=sin2A+C+cs2A+B+cs2B+C.
（1）求B；
（2）若△ABC的外接圆面积为π，且a+2=c，aAD=cCD，求BD的长.
解：（1）因为2-sinAsinC=sin2A+C+cs2A+B+cs2B+C，
所以2-sinAsinC=sin2B+cs2C+cs2A，所以1-cs2C+1-cs2A-sinAsinC=sin2B，
所以sin2B=sin2A+sin2C-sinAsinC，
由正弦定理可知b2=a2+c2-ac，即a2+c2-b2=ac，
又由余弦定理可知csB=a2+c2-b22ac=12，
又B∈0,π，则B=π3；
（2）由△ABC的外接圆面积为π，得外接圆半径为1，由正弦定理得b=2sinB=3，
由余弦定理及a+2=c得，3=2+a2+a2-a2+a，
化简得a2+2a-1=0，解得a=6-22（负根舍去），从而c=6+22，
因为aAD=cCD，所以AD=caCD=cc+aAC，
BD=BA+AD=BA+cc+aAC=BA+cc+aBC-BA=ac+aBA+cc+aBC
=3-123BA+3+123BC，所以|BD|=(3-123BA+3+123BC)2=1233-12BA2+3+12BC2+2⋅3-13+1⋅BA⋅BC
=1234-236+222+4+236-222+2⋅2⋅6+22⋅6-22⋅12=22，
故BD的长是22.
18．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=4，AA1=6，且D，E满足B1D=DC1，A1E=3EC1，过A，D，E三点的平面α与棱BB1交于点F，若B1F=λB1B.
（1）求λ的值；
（2）求异面直线AF与CE所成角的余弦值；
（3）求平面α与平面BCC1B1夹角的正切值.
解：（1）取BC中点为O，连接OA,OD，因为△ABC为正三角形，所以OA⊥BC，
又因为正三棱柱ABC-A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，
平面ABC∩平面BCC1B1=BC，AO⊂平面ABC，所以AO⊥平面BCC1B1，
以O为坐标原点，OC,OA,OD所在直线为x,y,z轴，建立如图所示空间直角坐标系，
由AB=4，可得OA=23,OC=2,AA1=6，
所以A0,23,0,B-2,0,0,C2,0,0,B1-2,0,6,C12,0,6,A10,23,6，
因为B1D=DC1，所以D为B1C1中点，则D0,0,6，
又A1E=3EC1，设Ex,y,z，则x,y-23,z-6=32-x,x-y,6-z，
即x=32-xy-22=-3yz-6=36-z，解得x=32y=32z=6，所以E32,32,6，
设F-2,0,z0，则AF=-2,-23,z0,AD=0,-23,6,AE=32,-332,6，
因为A,D,E,F四点共面，所以存在实数m,n，使得AF=mAD+nAE，
即-2,-23,z0=m0,-23,6+n32,-332,6，
即-2=32n-23=-23m-332nz0=6m+6n，解得m=2n=-43z0=4，则B1F=0,0,-2,B1B=0,0,-6，
所以B1F=13B1B，即λ=13.
（2）由（1）可知，AF=-2,-23,4,CE=-12,32,6，
设异面直线AF与CE所成角为θ，则csθ=AF⋅CEAF⋅CE=-2×-12+-23×32+4×6122+322+42×-122+322+62
=2242×37=1174148.
（3）平面BCC1B1的一个法向量为AO=0,-23,0，
设平面α的法向量为n=x,y,z，
因为AD=0,-23,6,AE=32,-322,6，
则n⋅AD=-23y+6z=032x-332y+6z=0，令y=3，则z=1,x=-1，所以n=-1,3,1，
设平面α与平面BCC1B1的夹角为α，
则csα=n⋅AOn⋅AO=-23×3-12+32+12×23=155，
且sinα=1-cs2α=1-1552=105，
所以tanα=sinαcsα=105155=63.
19．已知函数fx=lnx,x∈0,+∞.
（1）求证：fxn2n2-n.
（1）证明：令gx=lnx-12x2+xex，定义域为0,+∞，
则g'x=1x-x+ex-xexe2x=1x-x+1-xex=1-x2x+1-xex=1-x1x+1+1ex，
因为x>0，所以1x+1+1ex>0，
当x∈0,1时，g'x>0恒成立，gx在0,1上单调递增，
当x∈1,+∞时，g'x0恒成立，hx在0,a2-a上单调递增，
当x∈a2-a,+∞时，h'x