江苏省常州高级中学、江苏省溧阳中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题（Word版附解析）

这是一份江苏省常州高级中学、江苏省溧阳中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试题（Word版附解析），共15页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（ ）
A．1B．C．D．
2．若复数满足，则的虚部为（ ）
A．B．
C．D．
3．点P满足向量，则点P与AB的位置关系是（ ）
A．点P在线段AB上
B．点P在线段AB延长线上
C．点P在线段AB反向延长线上
D．点P在直线AB外
4．已知，，则( )
A．B．C．D．
5．互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，设，是平面内相交的两条数轴，，分别是与轴，轴正方向同向的单位向量，且，过点作两坐标轴的平行线，其在轴和轴上的截距，分别作为点的坐标和坐标，记，则该坐标系中和两点间的距离为（ ）
A．B．2C．D．
6．已知中，角，，所对的边分别为，，，若，则（ ）
A．B．C．D．
7．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
8．设是的外心，点为的中点，满足，，若，则面积的最大值为（ ）
A．2B．4C．D．8
二、多选题
9．下列结论正确的是（ ）．
A．模等于1个单位长度的向量是单位向量，所有单位向量均相等
B．已知平面内的一组基底，，则向量，也能作为一组基底
C．已知单位向量，满足，则在方向上的投影向量为
D．已知，i为虚数单位，若复数为纯虚数，则
10．把函数的图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于轴对称，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小正周期为
B．函数在区间上单调递增
C．当时，的值域为
D．若在区间上至少存在5个零点，则实数的取值范围为
11．中，，，，点在线段上，下列结论正确的是（ ）
A．若是中线，则
B．若是高，则
C．若是的角平分线，则
D．若，则是线段的一个三等分点
三、填空题
12．已知复数满足，则 ．
13．已知，则 .
14．如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是 .
四、解答题
15．已知复数，，其中为虚数单位，若.
(1)若为的共轭复数，求在复平面内对应的点的坐标；
(2)若复数是关于的方程的一个根，求实数，的值.
16．已知对任意平面向量，把绕其起点逆时针方向旋转角得到，叫做把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点．
(1)已知平面内点，点，若把点绕点沿顺时针方向旋转得到点，求点的坐标；
(2)已知，把点绕点沿逆时针方向旋转角得到点，，若，求的值．
17．如图，已知等腰梯形，，，，.点满足，点在上，满足交于，设，.
(1)用，表示，并求的模；
(2)求的长.
18．在中，内角，，的对边分别为，，，且．
(1)求；
(2)若的重心为，且，求．
19．在锐角中，记的内角，，的对边分别为，，，，点为的所在平面内一点，且满足．
(1)若，求的值；
(2)在（1）的条件下，求的取值范围；
(3)若，求的取值范围．
1．C
由两角差的余弦公式结合即可求解.
【详解】由两角差的余弦公式得.
故选：C.
2．B
根据复数模的运算和商的运算化简复数，然后根据虚部的概念求解即可.
【详解】因为，所以，
所以的虚部为.
故选：B
3．C
由题设条件得出，即可得出点P与AB的位置关系.
【详解】
∴点P在线段AB反向延长线上
故选：C.
4．C
利用诱导公式化简已知等式可得，进而根据同角三角函数基本关系式可求，再根据二倍角的正弦公式即可求解.
【详解】解：因为，又，
所以，
则.
故选：C
5．A
结合所给定义计算出后，结合数量积公式计算即可得．
【详解】由题可知，，
所以，所以，
故选：A．
6．B
由二倍角正弦公式结合正弦定理即可直接得到答案.
【详解】因为，即，
由正弦定理可得，
可得，
因为，则，，
所以，解得，
故选：B．
7．B
根据两角和差公式结合二倍角公式计算化简即可.
【详解】由题意得，
又因，
所以，整理得，
因为，所以，所以，即，解得．
故选:B．
8．B
首先由，，，结合余弦定理及可得，进而由三角形面积公式、同角三角函数关系恒等式得，由此即可得解.
【详解】
因为是的外心，点为的中点，所以，
由，，
则
所以，即，
由，得，所以，
所以的面积为
，
等号成立当且仅当，
综上所述，面积的最大值为4.
故选：B.
9．BC
结合单位向量、向量的基底、投影向量、虚数等知识对选项进行分析，从而确定正确选项.
【详解】对于A，虽然单位向量模长相等，但方向可以不同，故不是所有单位向量均相等，A错误；
对于B，∵，为一组基底，∴，不共线，
∴，也不共线，∴，也可以作为一组基底，B正确；
对于C选项，，两边平方得，，
所以在方向上的投影向量为，C选项正确；
对于D选项，复数为纯虚数，
则，解得，D选项错误，故选BC．
10．BC
由三角恒等变换得，根据图象向左平移个单位长度，得到的函数图象恰好关于轴对称，求得，根据正弦函数的性质逐一判断即可．
【详解】，
将图象向左平移个单位长度得，，
因为图象恰好关于轴对称，
所以，即，
又，所以，所以，
对于A，，故A错误；
对于B，当时，，
因为在上单调递增，
所以函数在区间上单调递增，故B正确；
对于C，当时，，
则，所以，故C正确；
对于D，令，解得，
当时，，
设，
若在区间上至少存在5个零点，则与在有五个交点，
所以，解得，故D错误；
故选：BC．
11．BD
先由余弦定理求出，对于A若是中线，则，利用向量即可判断，对于B若是高，则即可判断，对于C若是的角平分线，则，由
即可判断，对于D若是线段的一个三等分点，则或，利用向量求即可判断.
【详解】由余弦定理有，又，所以，
对于A：若是中线，则，所以
，所以，故A错误；
对于B：若是高，所以，所以，故B正确，
对于C：若是的角平分线，所以，
由有：，
所以，故C错误；
对于D：假设是线段的一个三等分点，则或，
当时，
，所以，
当时，
，所以，
故D正确，
故选：BD.
12．
设，则，根据求得，根据复数模的计算公式求解即可．
【详解】设，则，
所以，所以，
所以，
故答案为：．
13．
将题设条件“切化弦”，结合化简可得结果.
【详解】由得，即，
所以，
所以.
故答案为：.
14．.
由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值.
【详解】如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD.
，
得即故.
15．(1)
(2)，
【详解】（1），
又，所以，解得，所以，
，则在复平面内对应的点的坐标；
（2）是关于的方程的一个根，
，得，
所以，解得.
16．(1)
(2)
【详解】（1）由题意知，
，
又，
所以点P的坐标为．
（2）由题意得：．
因为，所以，
所以，
整理得：①，则，
又，②
因为，所以，
由①②解得：，，或，，
所以．
17．(1)，
(2)
【详解】（1）等腰梯形，，，，，，
，
为的中点，，
作，垂足为，因为，，
所以，又，所以，
，
；
（2），
又，
在中，
.
18．(1)
(2)
【详解】（1）因为，
所以，
化简得，，，
即，
由解得或（舍去），
，．
（2）记中边上的中线长为，由重心的性质得，
所以，
即，
等式两边平方可得，
所以，
又由余弦定理得，
所以，
整理得，解得，
由正弦定理得．
19．(1)1
(2)
(3)
【详解】（1）由和正弦定理，可得，
因为，所以，则，
又，所以，
由，可得，
即得，
则，即点为的外心，
由正弦定理得，，所以．
（2）因为，所以，且，
所以
，
因为为锐角三角形，所以，解得，
则，结合余弦函数的图象可得，
从而，
故的取值范围为．
（3）如图，取的中点，连接，则，
所以，
同理可得，
由平面向量数量积的定义可得，
由，可得，
即，也即①，
又，即，也即②，
联立①②可得，，
所以，，
由正弦定理，，
因为，所以，可得，
令，，
设函数，令，
，
当时，，则在上单调递减；
当时，，则在上单调递增；
所以，
即，故，
即的取值范围为．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
C
C
A
B
B
B
BC
BC
题号
11









答案
BD