江苏省常州市溧阳中学、常州高级中学2024-2025学年高二（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份江苏省常州市溧阳中学、常州高级中学2024-2025学年高二（下）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设m是实数，已知a=(2,2m−1,1)，b=(4,3m−5,2)，若a//b，则m的值为( )
A. −6B. −3C. 3D. 6
2.曲线y=x2+1x在点(1,2)处的切线方程为( )
A. y=x+1B. y=3x−1C. y=x+3D. y=3x−5
3.在三棱柱ABC−A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1=∠CAA1=60°，则异面直线AB1与BC1所成角的正弦值为( )
A. 26B. 36C. 66D. 306
4.盒中有5个红球，3个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并放入同色球2个，再从盒中任取一球，则第二次取出的是黑球的概率是( )
A. 310B. 37C. 38D. 12
5.在空间直角坐标系Oxyz中，定义：经过点P(x0,y0,z0)且一个方向向量为m=(a,b,c)(abc≠0)的直线l的方程为x−x0a=y−y0b=z−z0c，经过点P(x0,y0,z0)且法向量为n=(λ,μ,ω)的平面的方程为λ(x−x0)+μ(y−y0)+ω(z−z0)=0.已知在空间直角坐标系Oxyz中，经过点P(1,0,2)的直线l的方程为1−x=y3=z2−1，经过点P的平面α的方程为3x+y+2z−7=0，则直线l与平面α所成角的正弦值为( )
A. 27B. 3 57C. 147D. 357
6.若2a+ln22=3b+ln33=5c+ln55，则( )
A. aln2>bln3>cln5B. cln5>bln3>aln2
C. aln2>cln5>bln3D. cln5>aln2>bln3
7.已知动点P是棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1的对角线BD1上一点，记BPBD1=λ，当∠APC为钝角时，λ的取值范围为( )
A. (0,13)B. (13,1)C. (0,23)D. (23,1)
8.对于任意正实数x，y，都有(2x−ye)(lny−lnx)−2ax≤0，则实数a的取值范围为( )
A. (0,12]B. [12,+∞)C. (−∞,12]D. [12,1]
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下面四个结论正确的是( )
A. 任意向量a,b,c满足(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)
B. 若对空间中任意一点O，有OP=16OA+13OB+12OC，则P，A，B，C四点共面
C. 已知{a,b,c}是空间的一组基底，若m=a+c，则{a,b,m}也是空间的一组基底
D. 已知n为平面α的一个法向量，l为一条直线，m为直线l的方向向量，则“m⊥n”是“l/​/α”的充要条件
10.对于随机事件A，B，若P(A)=25，P(B)=35，P(B|A)=14，则( )
A. P(AB)=320B. P(A|B)=16C. P(A+B)=910D. P(A−B)=12
11.已知函数f(x)=ax3−3x2−1，则下列命题正确的是( )
A. −1是f(x)的极大值
B. 当−12时，f(x)有且仅有一个零点x0，且x0>2
D. 若f(x)存在极小值点x1，且f(x1)=f(x2)，其中x1≠x2，则x1+2x2=0
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量X服从两点分布，且P(X=1)=0.3，设Y=2X−1，那么P(Y=−1)= ______．
13.在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，PA⊥平面ABCD，PA= 3，则平面PBD与平面ABCD的夹角的正切值为______．
14.若对任意的实数t，函数f(x)=(x−t)3+(x−et)3−ax在R上是增函数，则实数a的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知空间四点A(0,2,3)，B(2,−2,−1)，C(1,4,3)，D(−1,3,λ)．
(1)求以AB，AC为邻边的平行四边形面积；
(2)若A、B、C、D四点共面，求λ的值．
16.(本小题15分)
盒子里放着三张卡片，一张卡片两面都是红色，一张卡片两面都是黑色，剩下的一张卡片一面是红色一面是黑色．
(1)随机抽出一张卡片并随机展示它一面的颜色，假设展示的这一面的颜色是红色，那么剩下一面的颜色也是红色的概率是多少？
(2)随机抽出一张卡片并随机展示它一面的颜色，放回后，再随机抽出一张卡片并随机展示它一面的颜色.两次展示的颜色中，黑色的次数记为X，求随机变量X的分布和数学期望．
17.(本小题15分)
已知函数f(x)=lnx+ax2+bx(其中a，b为常数)在x=1处取得极值．
(1)当a=1时，求f(x)的极值；
(2)若f(x)在[1,e]上的最大值为2，求a的值．
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，AB⊥平面PAD，AD//BC，CD=AP，AD=2，PD=AB=BC=4.点E在棱PA上且与P，A不重合，平面BCE交棱PD于点F．
(1)求证：AD/​/EF；
(2)若E为棱PA的中点，求二面角A−BE−C的正弦值；
(3)记点A，P到平面BCE的距离分别为d1，d2，求d12+d22的最小值．
19.(本小题17分)
已知函数f(x)=aex−x−a，a∈R，其中e是自然对数的底数．
(1)当a=−1时，求φ(x)=f(x)+sin2x在[0,π]上的值域；
(2)当0xlnx−sinx．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：m是实数，a=(2,2m−1,1)，b=(4,3m−5,2)，a//b，
则24=2m−13m−5=12，
解得m=−3．
故选：B．
利用向量平行的性质直接求解．
本题考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】A
【解析】解：因为y=f(x)=x2+1x，所以f′(x)=2x−1x2，
所以f′(1)=1，
所以所求切线方程为y−2=1×(x−1)=x−1，即y=x+1．
故选：A．
求导，根据导数的几何意义得出切线斜率，然后根据点斜式写出切线方程．
本题考查函数的切线的求解，属基础题．
3.【答案】D
【解析】解：如图，设AB=a，AC=b，AA1=c，三棱柱ABC−A1B1C1的棱长均为1，
则a⋅b=12，b⋅c=12，a⋅c=12，
而AB1=AB+AA1=a+c，BC1=AC1−AB=AC+AA1−AB=b+c−a，
所以AB1⋅BC1=(a+c)⋅(b−a+c)=a⋅b−|a|2+c⋅b+|c|2=12−1+12+1=1，
|AB1|= (a+c)2= 1+1+1= 3，|BC1|= (b−a+c)2= 2，
所以cs=AB1⋅BC1|AB1|⋅|BC1|=1 3× 2= 66，
所以异面直线AB1与BC1所成角的正弦值为 1−( 66)2= 306．
故选：D．
设AB=a，AC=b，AA1=c，借助空间向量数量积与模长的关系及向量夹角公式，求解即可．
本题考查异面直线所成角的求法，熟练掌握空间向量的线性运算和数量积的运算法则是解题的关键，考查空间立体感，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
4.【答案】C
【解析】解：若第一次取到红球，第二次取到黑球的概率为：58×310=316，
若第一次取到黑球，第二次取到黑球的概率为：38×510=316，
故第二次取出的是黑球的概率是316+316=38．
故选：C．
结合全概率公式，即可求解．
本题主要考查全概率公式的应用，是基础题．
5.【答案】A
【解析】解：因为经过点P(1,0,2)的直线l的方程为1−x=y3=z2−1，
即x−1−1=y3=z−22，
由题意得直线l的法向量为m=(−1,3,2)，
又因为经过点P的平面α的方程为3x+y+2z−7=0，
即3(x−1)+y+2(z−2)=0，
由题意得平面α的法向量为n=(3,1,2)，
所以直线l与平面α所成角的正弦值为|cs|=|m⋅n||m||n|=4 1+9+4× 9+1+4=27．
故选：A．
由题意分别求出直线l的方向向量，以及平面α的法向量，利用向量法求解即可．
本题考查向量法的应用，属于中档题．
6.【答案】D
【解析】解：设函数f(x)=lnxx，f′(x)=1−lnxx，
当x∈(0,e)时，f′(x)>0，x∈(e,+∞)，f′(x)