江苏省常州高级中学2024-2025学年高一下学期6月期末考试数学试题（Word版附解析）

这是一份江苏省常州高级中学2024-2025学年高一下学期6月期末考试数学试题（Word版附解析），共25页。试卷主要包含了 复平面内，复数， 已知复数，则， PM2等内容，欢迎下载使用。
数学试卷
命题人：蒋亚红 审卷人：缪峰美 2025.6
说明：
1．请将答案填写在答卷上，
2．本卷总分为150分，考试时间为120分钟．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复平面内，复数（i为虚数单位）对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
2. 在正方体中，异面直线与AC所成角为（ ）
A B. C. D.
3. 某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）
A. 56B. 60C. 120D. 140
4. 已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则角C的值为（ ）
A. B. C. 或D.
5. 设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A. 若，，，则B. 若，，，则
C. 若，，，则D. 若，，，则
6. 已知α∈,cs α=,则tan等于( )
A. 7B. C. -D. -7
7. 已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则边c的值为（ ）
A. B. C. D.
8. 设点P是单位圆内接正六边形的边上任一点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9. 已知复数，则（ ）
A. B.
C. D.
10. PM2.5是衡量空气质量的重要指标.下图是某地4月1日到10日的PM2.5日均值（单位：）的折线图，则下列说法正确的是（ ）
A. 这10天中PM2.5日均值的众数为33
B. 这10天中PM2.5日均值的第75百分位数是36
C. 这10天中PM2.5日均值的中位数大于平均数
D. 这10天中PM2.5日均值前4天的方差小于后4天的方差
11. 《九章算术》卷五《商功》中，记载了一种几何体“刍童”，这种几何体是上下底面为互相平行不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的六面体．如图，现有一高为的“刍童”，其中，，，，则（ ）
A. 该“刍童”的所有侧棱交于一点
B. 直线与直线异面
C. 该“刍童”的所有侧棱与下底面所成角的正弦值均为
D. 该“刍童”外接球的表面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知平面向量，，若，则实数值为______.
13. 过圆锥的轴作截面，如果截面为正三角形，则称该圆锥为等边圆锥，已知在一等边圆锥中，过顶点P的截面与底面交于CD，若（O为底面圆心），且，则这个等边圆锥的表面积为______．
14. 已知，，且，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面底面ABCD，且，若E、F分别为PC、BD的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．
16. 已知向量，，且．
（1）若，求x的值；
（2）若，求函数的最大值．
17. 如图，直四棱柱的底面是边长为2的菱形，，．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正切值．
18. 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求证：；
（2）若是锐角三角形，求的取值范围；
（3）若的角平分线交BC于D，且，求．
19. 如图，在矩形ABCD中，，，点M为线段BC上的动点（不含端点），将沿AM折起，点B翻折至位置，且使二面角的大小为60°．
（1）若N为棱的中点，且满足平面，求的值；
（2）若，求三棱锥的体积；
（3）求二面角的正切值的取值范围．
江苏省常州高级中学
2024～2025学年第二学期高一年级期末质量检查
数学试卷
命题人：蒋亚红 审卷人：缪峰美 2025.6
说明：
1．请将答案填写在答卷上，
2．本卷总分为150分，考试时间为120分钟．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 复平面内，复数（i为虚数单位）对应的点在（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】由复数的运算化简其为标准式，写出对应点的坐标，可得答案.
【详解】由，则该复数对应的点为，易知该点在第二象限.
故选：B.
2. 在正方体中，异面直线与AC所成角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据异面直线所成角的定义及正方体的性质即可求解.
【详解】
连接，.
由正方体性质可得：且；.
则四边形为平行四边形，.
所以，
则是异面直线与AC所成角或其补角.
所以异面直线与AC所成角为.
故选：C.
3. 某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直图，其中自习时间的范围是，样本数据分组为，，，，．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（ ）
A. 56B. 60C. 120D. 140
【答案】D
【解析】
【分析】根据频率分布直方图求得频率，由总数乘频率，可得答案.
【详解】由频率分布直方图中数据可得每周的自习时间不少于22.5小时的频率为
，
则200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是.
故选：D.
4. 已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则角C的值为（ ）
A. B. C. 或D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据正弦定理得出；再根据三角形中大边对大角及特殊角的三角函数值即可求解.
【详解】由正弦定理可得：.
因为，
所以.
又因为，
所以或.
故选：C.
5. 设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
A. 若，，，则B. 若，，，则
C. 若，，，则D. 若，，，则
【答案】D
【解析】
【分析】由空间中直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系逐一分析四个选项即可.
【详解】若，，，则直线与的位置关系可以平行、相交和异面，故A错误；
若，，，则直线与的位置关系可以平行和异面，故B错误；
若，，，则，可以平行也可以相交，故C错误；
若，，可得 ，又，所以，故D正确.
故选：D.
6. 已知α∈,cs α=,则tan等于( )
A 7B. C. -D. -7
【答案】B
【解析】
【分析】先根据同角三角函数关系求tan α，再根据两角差正切公式求结果.
【详解】由已知得tan α=,则tan.
选B
【点睛】本题考查同角三角函数关系、两角差正切公式，考查基本求解能力.
7. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，，则边c的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据面积公式求出，再根据余弦定理求解即可.
【详解】因为，所以，
又，
所以.
故选：D.
8. 设点P是单位圆的内接正六边形的边上任一点，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据对称性不妨取为x轴，求出各点坐标，则，利用平面向量的坐标运算求解.
【详解】不妨设点在上，则以为x轴，线段的中点为原点，
如图，建立平面直角坐标系，
则，
设，
则，
，
故，
，
，
可得，
∵，则，
∴.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9. 已知复数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据复数的模长公式、共轭复数的性质、复数的运算即可解答.
【详解】因为，
所以，
，
.
所以；
；
.
故选：ABD.
10. PM2.5是衡量空气质量的重要指标.下图是某地4月1日到10日的PM2.5日均值（单位：）的折线图，则下列说法正确的是（ ）
A. 这10天中PM2.5日均值众数为33
B. 这10天中PM2.5日均值的第75百分位数是36
C. 这10天中PM2.5日均值的中位数大于平均数
D. 这10天中PM2.5日均值前4天的方差小于后4天的方差
【答案】AB
【解析】
【分析】对折线图信息进行分析，逐一判断检验即可.
【详解】由折线图得，这10天中所有数据中出现次数最多的数为33，所以众数为33， A选项正确;
将数据从小到大排序得：17，23，26，30，31，33，33，36，42，128，
，第75百分位数是从小到大排序第个数36，B选项正确;
将数据从小到大排序得：17，23，26，30，31，33，33，36，42，128，
则中间两个数为31，33，所以中位数为，
平均数为，
所以平均数大于中位数，故C错误；
前4天的平均数为，
后4天的平均数为，
所以前4天的方差为
，
后4天的方差为
，
因为，所以前4天的方差大于后4天的方差，D选项错误;
故选：AB
11. 《九章算术》卷五《商功》中，记载了一种几何体“刍童”，这种几何体是上下底面为互相平行的不相似长方形，两底面的中心连线与底面垂直的六面体．如图，现有一高为的“刍童”，其中，，，，则（ ）
A. 该“刍童”的所有侧棱交于一点
B. 直线与直线异面
C. 该“刍童”的所有侧棱与下底面所成角的正弦值均为
D. 该“刍童”外接球表面积为
【答案】BCD
【解析】
【分析】判断“刍童”不是棱台，可判断A的真假；应用反证法可判断B选项；求出侧棱与底面所成角的正弦，判断C的真假；求“刍童”外接球半径，进而求外接球表面积，判断D的真假.
【详解】对于A选项，根据“刍童”的概念可知：“刍童”不是棱台，
所以“刍童”的所有侧棱的延长线不会交于一点，故A错误；
对于B选项，因为上下底面平行，故、无公共点，则、平行或异面，
由题中数据可得，
，所以，
若、平行，则四边形为梯形，则、延长后会相交，与A选项矛盾，
故、为异面直线，故B正确；
对于C选项，设在平面上的射影为、在直线上的射影为，如图：
易知，该“刍童”的所有侧棱与下底面所成角均相等.
则,，,
所以，
可得，
设，则，故C正确；
对于D选项，如图：
若该“刍童”的的外接球的球心在“刍童”外面，设其外接球半径为，，（）
则，
所以该“刍童”的的外接球的表面积为：.
若该“刍童”的的外接球的球心在“刍童”里面，设其外接球半径为，，（）
则，不合题意，故舍去.
所以该“刍童”的的外接球的表面积为：，故D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知平面向量，，若，则实数的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】先求出，根据向量平行得到方程，求出实数的值.
【详解】，，
，.
故答案为：
13. 过圆锥的轴作截面，如果截面为正三角形，则称该圆锥为等边圆锥，已知在一等边圆锥中，过顶点P的截面与底面交于CD，若（O为底面圆心），且，则这个等边圆锥的表面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】连接，设圆锥的母线长为，可得圆锥的底面圆的半径为，高为，进而结合题设可求得，再根据圆锥的表面积公式求解即可.
【详解】如图，连接，设圆锥的母线长为，
则圆锥的底面圆的半径为，高为.
由已知得，
所以为等腰三角形，设其底边上的高为，
则，
则，解得，
所以圆锥的表面积为.
故答案为：.

14. 已知，，且，则______．
【答案】3
【解析】
【分析】根据两角和与差的正弦公式结合题设可得，进而得到，结合分析可得均为第一象限角，进而根据三角函数的定义列方程求解即可.
【详解】由题意，，
，
则，
则，
由，则，所以，
所以均为第一象限角，
设，，令终边上一点为，
则，
则，解得或，
由于，则，即.
故答案为：3.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧面底面ABCD，且，若E、F分别为PC、BD的中点．
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）连接，可知为的中点，利用中位线的性质可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）由面面垂直的性质定理可得出平面，可得出，利用勾股定理可证得，即可得到平面，再利用面面垂直的判定定理可证得结论成立.
【小问1详解】
证明：连接，
因为四边形为正方形，且为的中点，所以为的中点，
又因为为的中点，则，
平面，平面，平面
【小问2详解】
证明：因为四边形为正方形，则，
因为平面平面，平面平面，平面，
平面，
平面，，
，所以，则，
，平面，
平面，又平面，
平面平面．
16. 已知向量，，且．
（1）若，求x的值；
（2）若，求函数的最大值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据平面向量的线性运算、模的坐标表示及三角恒等变换列方程可得，进而求解即可；
（2）根据平面向量的数量积的坐标表示可得，再根据三角恒等变换化简可得，进而结合正弦函数的性质求解即可.
【小问1详解】
由，，
则，
所以，
则，
则，即，
由，则，所以，即.
【小问2详解】
，
则
，
由，则，
则，则，
所以函数的最大值为.
17. 如图，直四棱柱的底面是边长为2的菱形，，．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正切值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接，设，连接，设，通过题设证明，，进而求证即可；
（2）设的中点为，连接，先证明平面，则为直线与平面所成角，进而求解即可.
【小问1详解】
连接，设，连接，设，
在菱形中，，
在直四棱柱中，平面，且平面，
所以，又平面，
所以平面，
因为平面，所以.
在菱形中，，则，
则，则，而，
因为，所以，则，
则，故，即，
因为平面，
所以平面.
【小问2详解】
设的中点为，连接，
由于，则，
因为平面，且平面，
所以，
又平面，
所以平面，
则为直线与平面所成角，
因为，
所以在中，，
则直线与平面所成角的正切值为．
18. 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求证：；
（2）若是锐角三角形，求的取值范围；
（3）若的角平分线交BC于D，且，求．
【答案】（1）证明见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据已知条件，利用正弦定理以及两角和差的正弦公式化简得到，再根据角的范围即可证明；
（2）根据三角形形状及交的关系确定角的范围，进而根据三角恒等变换化解可得，进而结合余弦函数的性质求解即可；
（3）由题设可得，，，进而结合正弦定理及三角恒等变换求解即可.
【小问1详解】
因为，由正弦定理有：，
所以，
则，
则，
则，
因为、，所以，
又因为，所以，所以，
所以有或，即或（舍去），
所以得证.
【小问2详解】
因为是锐角三角形，，所以，
所以，解得，
所以
，
由，则，则，
所以，则的取值范围为.
【小问3详解】
因为为的平分线，且，
所以，所以，
在中，，，
由正弦定理有：，即，
则，
则，
则，解得或，
又，则为锐角，即.
19. 如图，在矩形ABCD中，，，点M为线段BC上的动点（不含端点），将沿AM折起，点B翻折至位置，且使二面角的大小为60°．
（1）若N为棱的中点，且满足平面，求的值；
（2）若，求三棱锥的体积；
（3）求二面角的正切值的取值范围．
【答案】（1）1 （2）
（3）
【解析】
【分析】（1）在线段截取，可证明平面，结合平面可得平面面，进而得到平面，再结合N为棱的中点即可求解；
（2）过作面垂线，过作，连得二面角平面角，进而棱锥的体积公式求解即可；
（3）设，求出，，作，由相似得，进而得出二面角正切表达式，根据取值范围求解即可.
【小问1详解】
在线段上截取，由，
可得四边形为平行四边形，则，
又平面，平面，则平面，
因为平面，又，则平面平面，
因为平面，所以平面，
又N为棱的中点，所以为的中点，
则，即.
【小问2详解】
由，，则，
过作平面于点，过作于点，连接，
由平面，平面，则，
又，平面，则平面，
又平面，则为二面角的平面角，，
在中，，
由等面积法可知，，，
而，.
【小问3详解】
设，则，
在中，由等面积法可知，
，
在矩形中，，
过点作于，
易得，，
设二面角的大小为，则，
由于，则，
即二面角的正切值的取值范围为．