江苏省常州高级中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷（Word版附解析）

这是一份江苏省常州高级中学2024-2025学年高一下学期3月月考数学试卷（Word版附解析），共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．求值：（ ）
A．B．C．D．
2．已知，则（ ）
A．B．C．D．
3．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（ ）
A．B．
C．D．
4．已知向量，满足，，则在上的投影向量为（ ）
A．B．C．D．
5．设非零向量，，若，则（ ）
A．B．C．D．
6．边长为2的菱形中，为边的中点，若，则（ ）
A．1B．3C．D．
7．若，则（ ）
A．B．
C．D．
8．已知在中，，，若的最小值为3，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知向量，不共线，，，若A，B，C三点共线，则实数的可能的取值有（ ）
A．B．1C．D．2
10．已知，，则（ ）
A．B．
C．D．
11．已知函数，则（ ）
A．的最大值是B．的最小正周期是
C．的图象关于直线对称D．在区间上单调递增
三、填空题
12．在中，若，则 .
13．笛卡尔坐标系是直角坐标系与斜角坐标系的统称.如图，在平面斜角坐标系xOy中，两坐标轴的正半轴的夹角为，，分别是与x轴，y轴正方向同向的单位向量.若向量，则称有序实数对为在该斜角坐标系下的坐标.若向量，在该斜角坐标系下的坐标分别为，，且，则实数k的值为 .

14．在平面内，圆M的半径为1，过圆M外的动点P引圆M的两条切线PA，PB，其中A，B为切点，当取最小值时，与的夹角的余弦值为 .
四、解答题
15．如图，在中，，，，点D，E满足，，AC边上的中线BM与DE交于点O.设，.
(1)用向量，表示，；
(2)求.
16．已知函数（其中，）的最小正周期为.
(1)求的单调增区间；
(2)若关于x的方程在上有解，求实数a的取值范围.
17．已知向量，，其中.
(1)若，求实数的值；
(2)若，求.
18．在所在的平面内，已知两个单位向量，满足，，且.
(1)求C；
(2)若，求.
19．在锐角三角形ABC中，.
(1)求证：为定值；
(2)求下列各式的取值范围；
①；②.
参考答案
1．B
【详解】.
故选：B.
2．B
【详解】，
故选B.
3．D
【详解】对于：，
所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误；
对于：，
所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误；
对于：，
所以为共线向量，不符合基底的定义，故错误；
对于：设存在唯一的实数使，
则，此方程无解，故能作为平面向量的基底.故正确.
故选：.
4．A
【详解】在上的投影向量为：.
故选：A
5．D
【详解】因为，
所以，
所以，因为非零向量，
所以，所以，
所以，
故选：D
6．B
【详解】因为，，
所以.
故选：B.
7．D
【详解】由题意，，
等式左右两边同时乘以，
即，
则等式左边
，
所以，
得到，即，
所以，即
故有.
故选：D.
8．B
【详解】
令，
由题意的最小值为9，
当时，显然不符合；
所以，此时抛物线开口向上，对称轴为，
所以，
解得，
故选：B
9．BC
【详解】因为A，B，C三点共线，，所以.
所以：，即.
所以或.
故选：BC
10．ACD
【详解】因为，且.
所以，故A正确；
因为，故B错误；
因为，故C正确；
因为，故D正确.
故选：ACD
11．ABD
【详解】，
因，故的最大值为，最小正周期为，故A，B正确；
当时，，故C不正确；
由得，又在区间上单调递增，故D正确.
故选：ABD.
12．
【详解】首先因为，所以.
这是因为：若，则，
又因为为三角形内角，所以互补，这是不能成立的.
所以.
因为，所以.
又，
所以.
所以.
故答案为：
13．14
【详解】由题意得，，，
故
，
解得.
故答案为：14
14．
【详解】设，.
因为是圆的切线，所以，.
在中，.
根据向量数量积公式可得：
由勾股定理可得，同理.
根据二倍角公式可得.
所以.
根据均值不等式有，当且仅当，即时等号成立.
所以，即的最小值为.
当取最小值时，，此时.
根据二倍角公式可得.
所以与夹角的余弦值为.
故答案为：.
15．(1),
(2)
【详解】（1）因为为边上的中线，
，
因为，，
所以，，
所以.
（2）由，得，，
又，所以向量与得夹角为，
由图形可知的大小等于向量与的夹角，
，
，
，
所以，
又因为，所以.
16．(1)
(2)
【详解】（1），
由于，
然后利用降幂公式化简后面一项得，
所以，
所以，得，
令，
所以求的单调增区间为.
（2）由题得，
因为，所以，
所以，
当时取最小值-1，
当时取最大值，
所以，
所以a的范围为.
17．(1)；
(2)
【详解】（1）由题意得，即，
则，即，，
因为，所以，
故，，
；
（2），
，
，
故
，
故，所以，，
又，，故，
，
则
.
18．(1)
(2)
【详解】（1）因为，是单位向量，所以，，
因为，所以，
所以，所以，
因为，所以，所以，
所以向量为与向量方向相同的单位向量，
因为，所以，所以，
所以向量为与向量方向相同的单位向量，
所以.
（2）因为，,
所以
,
所以，
因为，所以，所以，
所以，
所以
.
19．(1)证明见解析；
(2)；.
【详解】（1）因，
则
得，
则或（排除），则；
（2）①由（1），.
又，结合三角形ABC为锐角三角形，
则，因在上单调递减，
则.令，则，
则.
因函数在上单调递增，则.
即.
②由，
则.
注意到，，
则,
由①，，又在上单调递增，则.
又在上单调递增，则在上单调递减.
故.