2025年中考数学考前冲刺复习：动点问题的函数图象难点突破 刷题练习题（含答案解析）

这是一份2025年中考数学考前冲刺复习：动点问题的函数图象难点突破 刷题练习题（含答案解析），共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
1.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为斜边AB的中点，动点P从B点出发，沿B→C→A运动，如图1所示，设S△DPB=y，点P运动的路程为x，若y与x之间的函数图象如图2所示，则y的最大值为( )
A. 3B. 4C. 5D. 6
2.在学习两点间的距离，直线外一点到这条直线的距离的过程中，同学们积累了一定的研究经验，如果定义：平面内，一点与一个图形上所有点的最短距离叫做这个点到该图形的距离．如图1，正方形ABCD的边长为2，中心为点O，在该正方形外有一点P，PO // AB，且PO=2.当点P绕着点O顺时针旋转时，设旋转角的度数为x，点P到正方形的距离为y，如图2是点P在旋转过程中，y随x的变化而变化的函数图象，则a+b的值为( )
A. 1B. 2C. 3− 2D. 2
3.如图1，动点P从菱形ABCD的点A出发，沿边AB→BC匀速运动，运动到点C时停止．设点P的运动路程为x，OP的长为y，y与x的函数图像如图2所示，当点P运动到BC中点时，OP的长为 ( )
A. 2B. 3C. 5D. 2 2
4.如题图1，点P从等边△ABC的顶点A出发，沿直线运动到三角形内部一点再从该点沿直线运动到顶点B.设点P运动的路程为x，PBPC=y.图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则等边△ABC的边长为( )
A. 3B. 6C. 4 3D. 2 3
5.如图1，矩形ABCD中，BD为其对角线，一动点P从D出发，沿着D→B→C的路径行进，过点P作PQ⊥CD，垂足为Q.设点P的运动路程为x，PQ−DQ为y，y与x的函数图象如图2，则AD的长为( )
A. 4 23B. 83C. 7 34D. 114
6.如图1，四边形ABCD为菱形，动点P，Q同时从A点出发，点P以每秒1个单位长度沿线段AD向终点D运动；点Q沿线段A−B−C−D向终点D运动，当点P运动至终点时，另一点Q也恰好到达终点．设运动时间为x秒，△APQ的面积为y个平方单位，图2为y关于x的函数关系图象．下面四个结论中：①点Q的运动速度为每秒3个单位长度；②菱形ABCD的边长为6；③当x=1时，y=2.5；④曲线FG段的函数解析式为y=−54x2+152x，结论正确的是( )
A. ①②③④B. ①②③C. ①②④D. ①④
7.如图1，点E在正方形ABCD的边BC上，且BE=13BC,点P沿BD从点 B运动到点D，设B，P两点间的距离为x，PE+PC=y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，若图象的最低点M的纵坐标为 10,则最高点N的纵坐标a的值为( )
A. 6B. 3+ 10C. 3+ 13D. 3 22+ 102
8.如图1，在Rt▵ABC中，∠ABC=90 ∘，BC=4，动点D从点A开始沿AB边以每秒0.5个单位长度的速度运动，同时，动点E从点B开始沿BC边以相同速度运动，当其中一点停止运动时，另一点同时停止运动，连接DE，F为DE中点，连接AF，CF，设时间为ts，DE2为y，y关于t的函数图象如图2所示，则下列说法正确的是( )
①当t=1时，DE=2.5；②AB=2；③DE有最小值，最小值为2；④AF+CF有最小值，最小值为 26．
A. ①②③B. ①③④C. ②③D. ②④
二、填空题
9.图1是一个轨道的示意图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD交于点O，AB=AO=BO=1m，此矩形的四条边及对角线上均装有轨道，同时在点A处安装了一台观测仪.小升操作机器人以1m/min的速度沿轨道匀速运动，机器人从点A出发，分别经过O，B，C三点各一次并最终到达点D.记机器人运动的时间为x min，机器人到观测仪的距离为y m，机器人在轨道中转弯所用的时间忽略不计.观测仪中所记录的y与x的函数关系的部分图象如图2所示：

根据上述信息回答：
(1)机器人的运动路线是：A→ ______→ ______→ ______→D(填“O”“B”或“C”)；
(2)x=2时，y= ______．
10.如图1，在矩形ABCD中，动点P从点B出发，沿B→C→D→A的路径匀速运动到点A处停止．设点P运动的路程为x，△PAB的面积为y，表示y与x函数关系的图象如图2所示，则下列结论：
①a=4；②b=20；③当x=9时，点P运动到点D处；④当y=9时，点P在线段BC或DA上．其中所有正确结论的序号是 ．
11.如图1，在菱形ABCD中，BD=6 cm，过点B且垂直于BD的直线l沿射线BA的方向以1 cm/s的速度平移，在平移过程中，直线l被菱形ABCD的边所截得的线段长为y cm，平移时间为t s，y与t的函数关系图象如图2所示，则图2中a的值为________．
12.如图(1)，在△ABC中，∠ACB=90°，点P从点A出发沿A→B→C以1cm/s的速度匀速运动至点C，图(2)是点P运动时，△ACP的面积y(cm2)随时间x(s)变化的函数图象，则△ABC的面积为______cm2，周长为______cm．
13.已知动点P以每秒1cm的速度沿图甲的边框按从B⇒C⇒D⇒E⇒F⇒A的路径移动，相应的△ABP的面积S与时间t之间的关系如图乙中的图象表示.若AB=3cm，①图甲中BC长是4cm，②图乙中a是6cm2，③图甲中图形面积是15cm2，④图乙中的b是17秒；正确说法的序号是______．
14.如图1，在菱形ABCD中，∠B=60°，P是菱形内部一点，动点M从顶点B出发，沿线段BP运动到点P，再沿线段PA运动到顶点A，停止运动．设点M运动的路程为x，MAMC=y，表示y与x的函数关系的图象如图2所示，则菱形ABCD的边长是________．
15.如图(1)，在正方形ABCD中，点E是对角线BD上一动点，点F是BC上的点，且CF=2BF.设DE=x，CE+EF=y，已知y与x之间的函数关系图象如图(2)所示，点M(m, 10)是图象的最低点，那么m的值为______．
三、解答题
16.如图矩形ABCD中，AB=4，BC=6，点F为BC边上的三等分点(CFAE(三角形两边之和大于第三边)．
当点P运动到P′时，ymin=AE= 10.
∵BE=13BC=13AB，
∴AE= AB2+BE2= AB2+(13AB)2= 103AB= 10.
解得AB=3，
∴AD=AB=CD=BC=3,EC=BC−BE=23BC=2．
连接DE，则DE= EC2+CD2= 22+32= 13．
在图1中，当P运动到D点时，对应图2中最高点N，此时y取最大值a，a=AD+DE=3+ 13，
故选：C．
8.【答案】D
【解析】设AB=a，列出y关于t的函数式，结合图2，列方程求出a的值，即可判断②；继而代值检验①；利用二次函数的图象性质，即可得到DE的最小值，即可判断③；最后通过建系，将AF+CF转化为14 t+42+t2+ t−42+t−162，利用距离的几何意义，借助于点的对称即可求得其最小值．
【详解】解：设AB=a，则AD=0.5t，BD=a−0.5t，BE=0.5t，
所以y=DE2=a−0.5t2+0.5t2=0.5t2−at+a2，
由图2知，函数y=0.5t2−at+a2经过点1,2.5，
整理得a2−a−2=0，
解得：a=2或a=−1(舍去)，
∴AB=2，故②正确；
由②知，y=0.5t2−2t+4，
当t=1时，y=0.5−2+4=2.5，即DE2=2.5，故①错误；
对于③，由题意易得：0≤t≤4，
由y=0.5t2−2t+4=0.5t−22+2可得，当t=2时，ymin=2，
即DE有最小值，最小值为 2，故③错误；
对于D，如图，以点B为原点，OA、OC所在直线分别为x、y轴建立直角坐标系，
则A2,0，C0,4，D2−0.5t,0，E0,0.5t，
∵F为DE中点，
∴F1−14t,14t，
∴AF+CF= 1+14t2+14t2+ 1−14t2+4−14t2=14 t+42+t2+ t−42+t−162，结合此式特点，设Pt,t，M−4,0，N4,16，
则AF+CF=14PM+PN，作出图形如下：
作出点M−4,0关于直线y=x的对称点M10,−4，
连接M1N交直线y=x于点P，
则点P即为使PM+PN取得最小值的点，
此时PM+PNmin=M1N= 42+16+42=4 26，
即AF+CF的最小值为 26，故④正确；
故选：D．
9.【答案】B；C；O； 2．
【解析】解：(1)∵四边形ABCD是矩形，AB=AO=BO=1m，
∴AC=2m，CD=AB=1m，AD=BC= AC2−AB2= 3m，
由图象可知，第一段路程用时1min，第二段用时大于1min，第三段路程用时1min，
而OA=OB=OC=CD=1m，BC= 3m，
则第二段路程只能为BC段，
∴机器人从点A出发，经过1min到达点B，再经过 3min到达点C，又经过1min到达点O，最终到达点D，
即机器人的运动路线是：A→B→C→O→D，
故答案为：B；C；O；
(2)当x=2时，机器人的运动距离为2m，此时机器人在BC上，且与点B的距离为2−1=1m，
∴y= 12+12= 2，
故答案为： 2．
(1)根据矩形和勾股定理得到AD= 3m，进而根据图象判断出第二段路程只能为BC段，即可得到运动路线；
(2)利用勾股定理求解即可．
本题考查了矩形的性质，勾股定理，从函数图象获取信息，利用数形结合的思想解决问题是关键．
10.【答案】①③④
【解析】略
11.【答案】10
【解析】解：过点D作DE⊥BD交BA的延长线于点E，连接AC交BD于点F，如图1所示，

图1 图2
由题意知，当t=as时，直线l平移的路程即为BE的长，
由图2可知，
当直线l经过A，C两点时，y=8cm，即AC= 8cm，
∵四边形ABCD为菱形，BD=6cm，AC⊥BD，
∴BF=3cm，AF=4cm，DC/​/AB，
∴AB=CD=5cm，
由平移的性质可知，AC/​/ED，
∴四边形AEDC为平行四边形，
∴AE=CD=5cm，
∴BE= AB+AE=10(cm)，
∴t=10cm1cm/s=10(s)，即a=10．
12.【答案】2 33 (11+ 33)
【解析】解：由题意得，当x=7时，△ACP面积最大，此时AP=AB=7×1=7(cm)；当x=11时，△ACP面积为0，此时可得BC=4×1=4(cm)．
又∵∠ACB=90°，
∴AC= AB2−BC2= 72−42= 33(cm)．
∴△ABC的面积为：12AC⋅BC=12×4× 33=2 33(cm2)，周长为7+4+ 33=(11+ 33)(cm)．
故答案为：2 33；(11+ 33).
依据题意，由x=7时和x=11，分别求出AB、BC，再由∠ACB=90°，可得AC= 33cm，进而可以计算得解．
本题主要考查了动点问题的函数图象，解题时要熟练掌握并能读懂题意列出关系式是关键．
13.【答案】①②③④
【解析】解：∵当P点在BC上运动时，S△ABP逐渐增大，由图乙可知，P在BC段运动时对应时间为0−4秒，
∴BC=1×4=4(cm)，
即图甲中BC的长为4cm，故①说法正确；
当点P运动到C点时，△ABP为直角三角形，
∵AB=3cm，BC=4cm，
∴S△ABP=12AB⋅BC=12×3×4=6(cm2)，
即图乙中a是6cm2，故②说法正确；
由图可知：CD=1×2=2(cm)，DE=1×3=3(cm)，又∵AB=CD+EF，AF=BC+DE，
∴FE=3−2=1(cm)，AF=4+3=7(cm)，则图甲的面积S=AB×AF−CD×DE=3×7−2×3=15(cm2)，故③说法正确；
图乙中b代表点P从B→C→D→E→F→A所需的全部时间，
∵BC+CD+DE+EF+FA=4+2+3+1+7=17，
∴即图乙中的b是17秒，故④说法正确；
∴正确说法的序号是①②③④．
故答案为：①②③④．
①动点P在BC段运动时对应时间为0−4秒，根据点P的移动速度即可算出BC的长，
②当点P运动到C点时，△ABP为直角三角形，计算出其面积即为a的值，
③观察题意，图图甲的面积S=AB×AF−CD×DE，求出相应长度代入求值即可，
④图乙中b的值即为点P走完全程所需的时间，求出整个路程长，根据移动速度即可求出时间．
本题考查三角形综合知识以及动点问题，学会结合图象具体分析仍是解决该类问题的关键，本题中要重点理解动点P的不同位置导致△ABP面积的变化特点．
14.【答案】2 3
【解析】解：如图所示，
由图象可得，
当x从0到4时，MAMC=y=1，
∴MA=MC，
∵四边形ABCD是菱形，
∴点P在对角线BD上，
∴由图象可得，BP=4，BP+AP=6，
∴AP=2．
∵在菱形ABCD中，∠B=60∘，
∴∠ABD=30∘，AC⊥BD，
∴设AO=x，则AB=2AO=2x，
BO= AB2−AO2= 3x，
∴PO=BP−BO=4− 3x，
∴在Rt▵APO中，AP2=AO2+PO2，
∴22=x2+4− 3x2，
解得x= 3，负值舍去，
∴AB=2x=2 3，
∴菱形ABCD的边长是2 3．
15.【答案】9 24
【解析】解：由正方形的性质可知点A，C关于直线BD对称，连接AE，AF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，∠ADE=∠CDE，
又∵DE=DE，
∴△ADE≌△CDE(SAS)，
∴AE=CE，
∴CE+EF=AE+EF，
∴当点E在线段AF上时，AE+EF=AF的值最小，此时y的值最小，
∵点M(m, 10)，
∴AF= 10，
∵CF=2BF，
∴设BF=n，则CF=2n，AB=BC=3n，
在Rt△ABF中，由勾股定理可得：AB2+BF2=AF2，
即(3n)2+n2=( 10)2，
解得：n=1(负值已舍去)，
∴BF=1，AB=AD=3，
∴BD= AD2+AB2= 32+32=3 2，
∵AD/​/BC，点E在线段AF上，
∴△BEF∽△DEA，
∴BEDE=BFAD=13，
∴DE=34BD=34×3 2=9 24，
∴m的值为9 24，
故答案为：9 24．
连接AE，AF，则△ADE≌△CDE，得到AE=CE，推出CE+EF=AE+EF，即当点E在AF上时，AE+EF=AF的值最小，此时y的值最小，根据M(m, 10)可得AF= 10，由CF=2BF，可设BF=n，则CF=2n，AB=BC=3n，在Rt△ABF中，由勾股定理求出n，得到BF=1，AB=AD=3，BD=3 2，然后证明△BEF∽△DEA，根据相似三角形的性质解题即可．
本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握利用轴对称得到最短距离是解题的关键．
16.【答案】解：(1)y1=4x,(0