2025年小升初数学举一反三重难点培优练专题13《圆柱和圆锥的认识》(学生版+解析)

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知识点一：圆柱和圆锥的认识
知识点二：圆柱的表面积和体积
圆柱的侧面积：圆柱的侧面积=底面周长×高 S侧=πdh/2πrh
圆柱的表面积：圆柱的表面积=底面周长×高+底面积×2 S柱表=2πrh+2πr²
圆柱的体积：圆柱的体积=底面积×高 V柱=πr²h
知识点三：圆锥的体积
1.圆锥的体积=13×底面积×高 V锥=13πr²h
高频考点01：圆柱的特征和展开图
【典例精讲01】 把圆柱的侧面沿着高剪开，可以得到一个 ，这个长方形的长等于圆柱的 ，宽等于圆柱的 。
【思路点拨】把圆柱的侧面沿着高剪开，可以得到一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高。
【标准答案】长方形；底面周长；高
【考点评析】圆柱的展开图
【举一反三01】以长方形的长为轴旋转一周，就可以得到一个 ；以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周，就可以得到一个 。
【思路点拨】以长方形的长为轴旋转一周，就可以得到一个圆柱体；以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周，就可以得到一个圆锥体。
【标准答案】圆柱体；圆锥体
【考点评析】圆柱的特征；圆锥的特征
【举一反三02】（2024六下·江干期末）如下图，一张长方形卡纸(单位：cm)，如果把它卷成一个圆柱，则这个圆柱的底面半径最大是 cm。
【思路点拨】如果把它卷成一个圆柱，则这个圆柱的底面周长最大是6π，
6π÷π÷2=3（厘米）
【标准答案】3
【考点评析】圆的周长；圆柱的展开图
【举一反三03】下图是一个蛋糕盒，盒上扎了一条漂亮的丝带，已知蛋糕盒底面周长是94.2cm，高是16cm，接头处用去20cm，这条丝带长 m。
【思路点拨】94.2÷3.14=30（cm）
30×8+16×8+20
=240+128+20
=388（cm）
388cm=3.88m
【标准答案】3.88
【考点评析】圆的周长；圆柱的特征
高频考点02：圆柱的表面积
【典例精讲02】一个圆柱的侧面积是37.68 cm2，高是2 cm，它的底面周长是 cm，表面积是 cm2。
【思路点拨】37.68÷2=18.84（cm）；
18.84÷3.14÷2=3（cm），
32×3.14×2+37.68
=56.52+37.68
=94.2（cm2）。
【标准答案】18.84；94.2
【考点评析】圆柱的侧面积、表面积
【举一反三04】一个圆柱的底面直径是8cm，它的侧面展开图正好是一个正方形，这个圆柱的高是 cm。
【思路点拨】3.14×8=25.12（厘米）。
【标准答案】25.12
【考点评析】圆柱的侧面积、表面积
【举一反三05】 压路机的滚筒呈圆柱形，长是2m，滚筒的半径是0.5m，如果滚筒每分钟转动20周，每分钟可压路面 m2。
【思路点拨】2×3.14×0.5×2=6.28（m2），6.28×20=125.6（m2）；
【标准答案】125.6
【考点评析】圆柱的侧面积、表面积
【举一反三06】（2024·襄城）如图所示是对同一个圆柱（底面半径为3cm，高为5cm）的两种不同切法（都是平均切成相同的两块）。甲种切法，表面积的和比原来增加 cm2；乙种切法，表面积的和比原来增加 。
【思路点拨】甲：3.14×32×2=3.14×18=56.52（cm2）；
乙：3×2×5×2=60（cm2）。
【标准答案】56.52；60cm2
【考点评析】圆柱的侧面积、表面积；立方体的切拼
高频考点03：圆柱的体积
【典例精讲03】一根圆柱形木料，底面积是75cm2，长是90cm，它的体积是 cm3，如果把它平均锯成3段，需要锯 次，它的表面积就会增加 cm2。
【思路点拨】75×90=6750（cm3）
3-1=2（次）
75×4=300（cm2）
【标准答案】6750；2；300
【考点评析】圆柱的侧面积、表面积；圆柱的体积（容积）；立方体的切拼
【举一反三07】如图，把圆柱切开拼成一个长方体，已知长方体的长是6.28 m，高是3 m。这个圆柱体的底面半径是 m，体积是 m3。
【思路点拨】6.28×2÷2÷3.14
=6.28÷3.14
=2（米）
3.14×22×3
=12.56×3
=37.68（立方米）。
【标准答案】2；37.68
【考点评析】圆柱的体积（容积）；立方体的切拼
【举一反三08】一个圆柱体，如果把它的高截短6cm，表面积减少75.36cm2，体积就应减少 cm2。
【思路点拨】底面半径是：75.36÷6÷3.14÷2=2（厘米），
所以减少的体积是：3.14×22×6=75.36（立方厘米）；
【标准答案】75.36
【考点评析】圆柱的侧面积、表面积；圆柱的体积（容积）
【举一反三09】妈妈给小红的毛绒玩具网购了一个圆柱形透明收纳桶(如图)，这个收纳桶的侧面积是 94.2dm2。这个收纳桶的底面积是 dm2；收纳桶的空间约是 dm3。
【思路点拨】94.2÷5=18.84（分米）
18.84÷3.14÷2=3（分米）
3.14×3×3=28.26（平方分米）
28.26×5=141.3（立方分米）
【标准答案】28.26；141.3
【考点评析】圆柱的侧面积、表面积；圆柱的体积（容积）
高频考点04：圆锥的体积
【典例精讲04】（2024·遂川）将一个棱长6dm的正方体木块削成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是 dm3。
【思路点拨】13×3.14×（6÷2）2×6
=13×3.14×9×6
=56.52（dm3）
【标准答案】56.52
【考点评析】圆锥的特征
【举一反三10】（2024六下·大余期中）一个直角三角形的两条直角边分别为6cm，10cm，若以6cm的边为轴旋转一周，所围图形的体积是 cm3。
【思路点拨】.14×102×6×13
=314×6×13
=314×2
=628（立方厘米）
【标准答案】628
【考点评析】圆锥的特征；圆锥的体积（容积）
【举一反三11】（2024·惠东）把一个圆锥体浸没在棱长10厘米盛有水的正方体容器里，水面上升2厘米，这个圆锥的体积是 立方厘米。
【思路点拨】10×10×2
＝100×2
＝200（立方厘米）
【标准答案】200
【考点评析】正方体的体积；圆锥的体积（容积）；水中浸物模型
【举一反三12】（2024六下·大冶期末）把一块体积是78.5立方厘米的长方体钢块，熔铸成一个底面周长是6.28厘米的圆锥。这个圆锥的高是 厘米。（π取3.14)
【思路点拨】6.28÷3.14÷2
=2÷2
=1（厘米）
78.5×3÷（3.14×12）
=235.5÷3.14
=75（厘米）。
【标准答案】75
【考点评析】圆锥的体积（容积）
高频考点05：圆柱与圆锥体积的关系
【典例精讲05】一个圆柱的体积比与它等底、等高的圆锥体积多20cm3。这个圆柱的体积是 cm3；圆锥的体积是 cm3。
【思路点拨】圆锥体积：20÷(3-1)
=20÷2
=10(cm3)；
圆柱体积：10×3=30(cm3)；
【标准答案】30；10
【考点评析】圆柱与圆锥体积的关系
【举一反三13】一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积相差75.36 cm3。如果圆锥的底面半径是3 cm，那么这个圆锥的高是 cm。
【思路点拨】等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积是圆锥体积的3倍，
圆锥的体积：75.36÷（3-1）=75.36÷2=37.68（立方厘米）
圆锥的高：37.68×3÷（3.14×3×3）=113.04÷28.26=4（厘米）
【标准答案】4
【考点评析】差倍问题；圆柱与圆锥体积的关系
【举一反三14】（2024·沙市区）如下图，李老师用下面装置做排水实验：他把等底等高的圆锥和圆柱体铁块全部浸入水中，圆锥的体积是 cm3。
【思路点拨】150÷（3+1）
=150÷4
=37.5（cm3）
【标准答案】37.5
【考点评析】圆柱与圆锥体积的关系
【举一反三15】（2024·米东）如图，果汁瓶的底面积与玻璃杯口的面积相等。把瓶子里的果汁全部倒入玻璃杯中，最多可以倒满 杯。（瓶子与杯子的壁厚忽略不计）
【思路点拨】9÷3＋6÷3
=3＋2
=5（杯）。
【标准答案】5
【考点评析】圆柱与圆锥体积的关系
13 圆柱和圆锥的认识 真题演练
一、单选题
1．（2024六下·抚州期末）《九章算术》中记载圆柱的体积计算方法是“周自乘，以高乘之，十二而一”，也就是“底面周长的平方乘高，再除以 12”。这种计算方法与现在的算法是一致的，只不过圆周率的近似值为3。一个圆柱体水桶底面周长为4分米，高为6分米。请用这种方法算出这个水桶最多可盛水( )升。(水桶的厚度忽略不计)
A．4B．6C．8D．12
2．（2024六下·永康期末）将一个圆锥沿着它的高平均切成两块，切面一定是一个( )
A．长方形B．等腰三角形C．扇形D．圆形
3．（2024六下·钱塘期末）一个圆柱容器底面积是240cm2，高20cm，原来水面高度是8cm，往容器内浸没物体后，水面高度均上升至10cm，下面说法错误的是（ ）。
A．正方体、圆锥、圆柱的体积相同
B．圆锥的体积是480cm3
C．圆锥的高度是圆柱的3倍
D．三个物体全部浸入一个容器，水不会溢出
4．（·七中）一个圆柱的侧面展开图是正方形，这个圆柱的底面半径与高的比是（ ）
A．1:2πB．1:πC．2:πD．π:1
5．（2024六下·东莞期末）把1m长的圆柱形钢材锯成3段，分成3个小圆柱，表面积增加了120cm2，原来钢材的体积是( )m3。
A．0.3 B．30 C．3000 D．0.003
6．（2024六下·武胜期末）把一个底面半径是5cm、高8cm的圆柱切拼成一个近似的长方体(如图)，圆柱的表面积比长方体的表面积，( )cm
A．多40 B．多80 C．少 40 D．少 80
7．（2024六下·武胜期末）如下图，一个直角三角形，两条直角边分别是3cm和4cm。以较短直角边所在的直线为轴旋转一周形成一个圆锥。这个圆锥的底面直径是( )cm
A．8B．6C．4D．3
8．（2024六下·永康期末）实验小学六年级泥塑兴趣小组的同学塑造了一个长方体，其棱长总和为56分米，长是宽的2倍，宽是高的2倍，然后他们又把这个长方体等积变形成一个正方体，最后把这个正方体削成了一个最大的圆柱体，这个圆柱体的体积是( )立方分米(结果用多少个π表示)。
A．13πB．14πC．15πD．16π
9．（2024六下·顺义期末）小华准备用下面的长方形硬纸板做一个无盖笔筒的侧面，有四个底面可选(如图所示)，下面（ ）选项正确。(单位：厘米，接缝处忽略不计)
A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④
二、填空题
10．（2024六下·海安期末）如图，一根长9分米的圆柱形木料，平均锯成3段，表面积增加了12.56平方分米，那么原来木料的体积是 立方分米。
11．（2024六下·武胜期末）如下图，圆柱形容器是空的，长方体容器中水深6.28cm，要将长方体容器中的水全部倒入圆柱形容器，这时水深 cm；如果倒入与这个圆柱形的底面积之比是5：1的圆锥形容器中，水面高 cm。
12．（2024六下·武胜期末）把一个圆柱削成一个最大的圆锥，削去部分的体积与圆锥的体积比是 ： 。
13．（2024六下·安源期末）如图是圆柱的表面展开图，则圆柱的高是 cm，侧面积是 cm2，体积是 cm3．
14．（2024六下·安源期末）将3个相同的小圆柱拼成一个长4dm的大圆柱，表面积比原来少了169.56cm2，现在大圆柱的体积是 cm3。
三、计算题
15．（2024六下·安源期末）计算如图组合图形的体积。（单位：m）
16．（2022六下·婺城期末）下图是从圆柱中挖去一个圆锥后的剩余部分，计算它的体积。（单位：cm）
四、解决问题
17．（2023六下·大城期末） 一个圆锥形麦堆，已知高与底面直径的和是9米，且高与底面直径的比是1：2。
（1）分别求出圆锥形麦堆的高与底面直径。
（2）如果每立方米小麦重750千克，这堆小麦重多少千克？
18．（2024六下·武胜期末）小丽爸爸做了一个圆柱形的钢化玻璃鱼缸(无盖)，这个鱼缸的底面半径是20cm，高是30cm(如图)
（1）做这样一个鱼缸，至少需要多少平方厘米的钢化玻璃？
（2）在做好的鱼缸里倒入20cm高的水，小丽将一块珊瑚石放人鱼缸并完全浸没后，发现水面升高了5cm，这块珊瑚石的体积是多少立方分米？(鱼缸厚度忽略不计)
19．（2024六下·通川期末）煤矿的空地上有一堆近似圆锥体形状的煤。已知煤堆的底面积是 50.24m2，高是2.1m。现准备用一辆车厢容积为6m3的车来运，至少需要运多少次才能运完？
20．（2024六下·怀安期末）把一个装有351.68mL水的瓶子倒置、放平，无水部分是圆柱形，高度是18cm。已知这个瓶子的容积是1256mL，现在把这个瓶子正放过来，水的高度是多少cm？
21．（2024六下·萧山期末）把一个直径是12厘米，高是16厘米的圆柱形钢件熔铸成一个底面半径是4厘米，高是4厘米的圆锥形钢件。可以熔铸成多少个这样的圆锥形钢件？
22．（2024六下·江北期末）医院门诊楼大厅内有2根圆柱形的柱子，每根柱子的底面半径是4分米，高是 25 米。要给这些柱子的侧面刷油漆，每平方米用油漆0.5千克，共需要油漆多少千克？
答案解析部分
1．C
【解析】解：4×4×6÷12
=16×6÷12
=8（升）
故答案为：C。
圆柱的底面周长的平方×高÷ 12=圆柱的容积，据此解答。
2．B
【解析】解：圆锥的侧面展开是一个扇形，将一个圆锥沿着它的高平均切成两块，切面一定是一个等腰三角形。
故答案为：B。
依据圆锥的特征可知：圆锥沿着它的高平均切成两块，切面一定是一个等腰三角形。
3．C
【解析】解：A：水面都是升高了2厘米，说明正方体、圆锥、圆柱的体积相同 ，原题说法正确；
B：240×（10-8）=480（立方厘米），圆锥的体积是480cm3，原题说法正确；
C：不知道圆柱圆锥的底面积，不能判断圆锥的高度是不是圆柱的3倍 ，原题说法错误；
D：2+2+2+8=14（厘米），14厘米＜20厘米，三个物体全部浸入一个容器，水不会溢出 ，原题说法正确。
故答案为：C。
圆柱容器底面积×水面上升的高度=浸没物体的体积。
4．A
【解析】解：设圆柱底面半径为r，高h，因为圆柱的侧面展开图是正方形，所以有
2πr=h，因此r：h=1：2π
故答案为：A。
本题需要知道，圆柱侧面展开之后不是长方形就是正方形，假设圆柱的高就是长方形的宽，那么圆柱的长就是底面圆的周长，即宽=h，长=圆的周长=2πr。现在“ 圆柱的侧面展开图是正方形 ”，即长=宽，因此2πr=h，变形为比值形式就是r：h=1：2π。
5．D
【解析】解：把圆柱形钢材锯成3段，增加了4个底面积，
120÷4=30（平方厘米）
30×100=3000（立方厘米）=0.003（立方米）
原来钢材的体积是0.003立方米
故答案为：D。
增加的表面积÷4=圆柱的底面积，圆柱的底面积×高=圆柱的体积，计算时注意单位的变化。
6．D
【解析】解：8×5×2=80（平方厘米），圆柱的表面积比长方体的表面积少80平方厘米。
故答案为：D。
拼成近似长方体后，表面积会增加左右两个面的面积，每个面的长是圆柱的底面半径，宽是圆柱的高，由此计算这两个面的面积就是两个图形表面积相差的部分。
7．A
【解析】解：4+4=8（cm）
故答案为：A。
以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周会得到一个圆锥，为轴的那条边是圆锥的高，另一条直角边就是圆锥的底面半径。
8．D
【解析】解：设长方体的的高为x分米，那么宽为2x分米，长为2×2x=4x分米。
（x＋2x＋4x）×4=56
28x=56
x=56÷28
x=2
2×2=4（分米）
4×2=8（分米）
2×4×8=64（立方分米）
64=4×4×4
π×（4÷2）2×4
=π×4×4
=16π。
故答案为：D。
设长方体的的高为x分米，那么宽为2x分米，长为2×2x=4x分米。依据（长＋宽＋高）×4=棱长和，分别求出长方体的长、宽、高，然后求出长方体的体积，再根据“长方体的体积=正方体的体积”以及正方体的体积公式求出正方体的棱长。把这个正方体削成一个最大的圆柱体，正方体的棱长就等于圆柱体的底面直径，这个圆柱体的体积=π×底面半径2×高。
9．B
【解析】解：18.84÷3.14÷2
=6÷2
=3（厘米）
12.56÷3.14=4（厘米），可以选择①②④。
故答案为：B。
当12.84为底面周长时，底面半径=底面周长÷π÷2=3厘米，当12.56为底面周长时，底面直径=底面周长÷π=4厘米，所以可以选择①②④。
10．28.26
【解析】解：12.56÷4=3.14（平方分米）
3.14×9=28.26（立方分米）
故答案为：28.26。
增加的表面积÷4=圆柱的底面积，圆柱的底面积×高=圆柱的体积。
11．8；4.8
【解析】解：第一问：
10×10×6.28÷[3.14×（10÷2）2]
=628÷3.14÷25
=8（cm）
第二问：1×8÷5÷13=4.8（cm）
故答案为：8；4.8。
首先根据长方体的体积公式：V=abh，求出乙长方体容器中水的体积，然后用水的体积除以圆柱形容器的底面积即可求出水深；求如果倒入与这个圆柱底面积之比是5：1的圆锥形容器中水面高，把这个圆柱底面积看作1，则圆锥形容器的底面积看作5，根据圆柱体积公式，用底面积乘高再除以圆锥形容器的底面积再除以13即可。
12．2；1
【解析】解：把一个圆柱削成一个最大的圆锥，削去部分的体积与圆锥的体积比是2：1。
故答案为：2；1。
把圆柱削成最大的圆锥，这个圆锥与圆柱等底等高，等底等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍，圆锥的体积是1份，削去部分就是2份，所以削去部分的体积与圆锥的体积比是2：1。
13．3；18.84；9.42
【解析】解：圆柱的高是3cm；侧面积：6.28×3=18.84（cm2）；底面半径：6.28÷3.14÷2=1（cm），体积：3.14×12×3=9.42（cm3）。
故答案为：3；18.84；9.42。
根据图形可知，6.28cm是底面周长，高是3cm。用底面周长乘高求出侧面积。用底面周长除以3.14再除以2求出底面半径，然后用底面积乘高求出体积即可。
14．1695.6
【解析】解：169.56÷4=42.39（cm2），4dm=40cm，体积：42.39×40=1695.6（cm3）。
故答案为：1695.6。
把3个相同的圆柱拼成一个大圆柱，表面积会比原来3个小圆柱的表面积之和减少了4个底面的面积，因此用表面积减少的部分除以4求出底面积，再用底面积乘大圆柱的高即可求出大圆柱的体积。注意统一单位。
15．解：3.14×（8÷2）2×5+3.14×（8÷2）2×3×13
=3.14×80+3.14×16
=251.2+50.24
=301.44（m3）
【解析】圆柱的体积=底面积×高，圆锥的体积=底面积×高×13，由此用圆柱的体积加上圆锥的体积即可求出总体积。
16．解：12÷2=6（cm）
3.14×62×20-3.14×62×10÷3
=3.14×36×20-3.14×360÷3
=3.14×720-3.14×120
=3.14×（720-120）
=3.14×600
=1884（cm3）
答：它的体积是1884cm3。
【解析】圆柱的体积=底面积×高，圆锥的体积=底面积×高÷3；用圆柱的体积减去圆锥的体积即可。
17．（1）解：高：9×11+2=9×13=3（米）
底面直径：9-3=6（米）
答：高是3米，底面直径是6米。
（2）解：底面半径：6÷2=3（米）
3.14×3×3×3÷3×750
=28.26×750
=21195（千克）
答：这堆小麦重21195千克。
【解析】（1）高与底面直径的和×高占高与底面直径的和的分率=圆锥的高，高与底面直径的和-高=直径；
（2）π×底面半径的平方×高÷3=圆锥的体积，圆锥的体积×每立方米小麦重=这堆小麦重。
18．（1）解：3.14×20×2×30+3.14×202
=3.14×1200+3.14×400
=3.14×1600
=5024 (cm2)
答：至少需要5024cm2的钢化玻璃。
（2）解：3.14×202×5
=3.14×2000
=6280（cm3）
6280 cm3= 6.28 dm3
答：这块珊瑚石的体积是6.28 dm3。
【解析】（1）根据圆面积公式计算底面积，用圆柱的底面周长乘高求出侧面积，底面积加上侧面积就是需要钢化玻璃的面积；
（2）水面升高部分水的体积就是珊瑚石的体积，因此用圆柱的底面积乘水面上升的高度即可求出这块珊瑚石的体积。
19．解：50.24×2.1÷3=35.168（立方米）
35.168÷6≈6（次）
答：至少需要运6次才能运完。
【解析】圆锥的体积=底面积×高÷3；圆锥的体积÷一辆车厢的容积，商采取进一法得到的整数就是至少运的次数。
20．解：1256-351.68=904.32（mL）
904.32÷18=50.24（平方厘米）
351.68÷50.24=7（厘米）
答：水的高度是7厘米。
【解析】空白部分的体积=这个瓶子的容积-水的体积，那么瓶子的底面积=倒置的空白部分的面积÷倒置的空白部分的高，所以正放水的高度=水的体积÷瓶子的底面积，据此代入数值作答即可。
21．解：12÷2=6（厘米）
3.14×6×6×16÷（3.14×4×4×4÷3）
=3.14×6×6×163.14×4×4×4÷3
=27（个）
答：可以熔铸成27个这样的圆锥形钢件。
【解析】π×底面半径的平方×高=圆柱的体积；π×底面半径的平方×高÷3=圆锥的体积；圆柱的体积÷圆锥的体积=可以熔铸的个数。
22．解：4分米=0.4米
3.14×（0.4×2）×25×2×0.5
=3.14×0.8×25×2×0.5
=3.14×20
=62.8（千克）
答：共需要油漆628千克。
【解析】共需要油漆的质量=圆柱的底面半径×2×π×高×根数×平均每平方米需要油漆的质量。