北京市2024届高三数学上学期10月月考试题含解析 (1)

这是一份北京市2024届高三数学上学期10月月考试题含解析 (1)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本试卷共4页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将答题卡交回.
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据绝对值不等式的解法化简集合A，根据一元二次不等式的解法及自然数集化简集合B，然后利用交集运算求解即可.
【详解】因为集合，，
所以.
故选：A.
2. 已知角终边经过点，则（）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】由三角函数的定义即可求解.
【详解】由三角函数的定义可知，角终边经过点，故.
故选：B
3. 已知命题，，则为（）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】由存在命题的否定是全称命题即可得出答案.
【详解】命题，，
则：，.
故选：C.
4. 已知，，，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据对数函数单调性得，由指数函数的性质得，即可比较.
【详解】，，
又，所以，即.
故选：A.
5. 已知，则（）
A. 0B. 1C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据辅助角公式化简可得，进而可得.
【详解】即，则，故，.
故.
故选：A
6. 若，且，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质可得，排除ABD，再根据不等式性质判断C即可.
【详解】对ABD，因为，故，又，故，故，即，故ABD错误；
对C，，故，
又，因为，且，故，
故，即，则，故C正确；
故选：C
7. 已知函数和直线，那么“直线l与曲线相切”是“”的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据导数的几何意义求解，再根据充分、必要条件的概念判断即可.
【详解】设直线与曲线相切于点，
由可得，于是有：，
所以，所以，
当时，，所以时，直线l与曲线相切，
但是直线l与曲线相切时，不一定为0，
即“直线l与曲线相切”是“”的必要不充分条件.
故选：B
8. 已知函数的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移（）个单位长度，得到函数的图象．若函数的图象关于原点对称，则的最小值（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】结合函数图像求出函数的图像距离原点最近的点的坐标，即可确定的值
【详解】解：如图设函数的部分图像与轴的交点为，
由图可知，所以，
所以点与点关于点对称，
设，则，解得，
因为将函数函数的图像向左平移（）个单位长度，得到函数的图像，且图像关于原点对称，
所以平移后的函数为奇函数，即相当于把的图像与轴最近的交点平移到坐标原点即，由图可知此点为，
所以，
故选：B
9. 某批救灾物资随41辆汽车从某市以v km/h的速度匀速直达灾区，已知两地公路线长360km，为安全起见，两辆汽车的间距不得小于（车长忽略不计），要使这批物资尽快全部到达灾区，则（）
A. 70B. 80C. 90D. 100
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意列式后由基本不等式求解
【详解】第一辆汽车到达灾区所用的时间为，
由题意，知最短每隔到达一辆，则最后一辆汽车到达灾区所用的时间为，
要使这批物资尽快全部到达灾区，即要求最后一辆汽车到达灾区所用的时间最短.
又，当且仅当，即时等号成立.
故选：C
10. 已知奇函数f(x)的定义域为且是f(x)的导函数.若对任意都有则满足的θ的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
令，先判断函数为奇函数，再判断函数在区间，上单调递减，由，得，即可求出．
【详解】令，，，
为奇函数，为偶函数，
为奇函数．
，，有，
，
在区间，上单调递减，又为奇函数，
在区间，上单调递减，
当，，，
，
，
，
故选：D
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、构造函数比较大小,属于难题.联系已知条件和结论，构造辅助函数是高中数学中一种常用的方法，解题中若遇到有关不等式、方程及最值之类问题，设法建立起目标函数，并确定变量的限制条件，通过研究函数的单调性、最值等问题，常可使问题变得明了，准确构造出符合题意的函数是解题的关键；解这类不等式的关键点也是难点就是构造合适的函数，构造函数时往往从两方面着手：①根据导函数的“形状”变换不等式“形状”；②若是选择题，可根据选项的共性归纳构造恰当的函数.
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题：共5小题，每小题5分，共25分.
11. 在复平面内，复数对应的点到原点的距离是_______．
【答案】
【解析】
【详解】因为复数，所以，根据复数模的几何意义可知故选复数对应的点到原点的距离是，故答案为.
12. 函数，则______.
【答案】0
【解析】
【分析】根据分段函数解析式求值即可.
【详解】因为，所以.
故答案为：0
13. 若函数，其中对任意的x都有，写出一组符合条件的，的值______.
【答案】1,-1（答案不唯一）
【解析】
【分析】根据余弦函数的对称性建立方程，然后赋值即可求解.
【详解】由得直线是的一个对称轴，
令得，当时，，
不妨取，即，
则符合题意的一组，的值为1,-1（答案不唯一）.
故答案为：1,-1（答案不唯一）.
14. 设函数，其中，若存在唯一整数，使得，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】
【分析】令，h（x）＝ax，求出后画出、的图象，数形结合建立不等式组，即可得解.
【详解】存在唯一整数，使得，即存在唯一整数，使得
令，，则，
∴当时，，则函数在上单调递减；
当时，，则函数在上单调递增；
而；
当时，，所以且当时，
因为存在唯一的整数x0使得．
当直线与相切时，
设切点为，则切线的斜率为，
又直线过原点，所以此时
由切点再切线上，可得，解得
所以
所以当直线与相切时，
因为时，，时，
所以，则，此时不满足条件.
所以结合图形知：当时，有无数多个整数x0使得，故不满足题意.
又，由图可知当直线在与之间时，满足条件的整数x0只有
，
所以满足条件的的范围是：
故答案为：
15. 已知函数，则下列说法正确的是______.
①函数的定义域为R.
②，函数奇函数.
③，函数在为增函数.
④，函数有极小值点.
【答案】②③④
【解析】
【分析】举反例判断①，根据奇函数的性质和对数运算法则判断②，利用导数法判断函数单调性判断③，举例说明判断④.
【详解】对于①，当时，，
令，解得，其定义域为，不是R，错误；
对于②，因为函数是奇函数，
所以，即，
所以，即，所以，解得，经检验符合题意，
即，函数为奇函数，正确；
对于③，，则，
因为，，所以，
所以，函数在为增函数，（利用增函数的性质判断增函数也可以），正确；
对于④，当时，，则，
令，得，令，得，令，得，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
所以函数有极小值点0，故，函数有极小值点，正确.
故答案为：②③④.
【点睛】关键点点睛：利用导数判断函数的单调性是解题的关键点，另外举反例判定全称量词命题为假命题，利用特例法判断存在量词命题为真命题也是解决难题的方法之一.
三、解答题：共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16. 已知函数.
（1）求的单调递增区间；
（2）求的最小正周期，对称轴，对称中心；
（3）设，求的值域.
【答案】（1），
（2）的最小正周期为；的对称轴为，.的对称中心为.
（3）
【解析】
【分析】（1）利用二倍角公式及和（差）角公式将函数解析式化简，再根据正弦函数的性质计算可得.
（2）根据三角函数基本性质求得最小正周期、对称轴和对称中心.
（3）根据正弦函数图象性质求得区间内的值域.
小问1详解】
，
令，，解得，，
所以函数的单调递增区间为，.
【小问2详解】
的最小正周期为.
令，得，，故的对称轴为，.
令，得，，故的对称中心为.
【小问3详解】
因为，所以，所以，
所以，即，所以在上的值域为.
17. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足
（1）求角A的大小；
（2）已知①，②，③在这三个条件中任选两个，补充在下面的问题中，并解决该问题.
已知____________，____________，若存在，求的面积；若不存在，说明理由.
【答案】（1）
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理，结合余弦定理进行求解即可；
（2）若选择①②：根据正弦定理、两角和正弦公式、三角形面积公式进行求解即可；若选择②③：根据正弦定理进行求解判断即可；若选择①③：根据余弦定理、三角形面积公式进行求解即可.
【小问1详解】
根据正弦定理由
，
由余弦定理可知：，
因此，
因为，所以；
【小问2详解】
选择①②：①，②，
由正弦定理可得，
所以的面积为；
选择②③：②，③，
由（1）知，所以
因为，
所以不存在；
选择①③：①，③，由（1）知，
由余弦定理定理可知：，
即，
所以的面积为.
18. 已知函数在一个周期内的图象如图所示，其中，点P的坐标为，点Q是图象上的最低点且坐标为，点R是图象上的最高点.
（1）求函数的解析式；
（2）记，（α，β均为锐角），求的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由图象可得A，由函数的最小正周期求得的值，利用正弦函数的对称中心结合的取值范围可求得的值，即可求得函数的解析式；
（2）利用函数周期求得，由两点式斜率公式及诱导公式求得，，进而利用二倍角正切公式和两角和的正切公式求解即可.
【小问1详解】
由图象及，可知，，
又函数的最小正周期，所以，
因为点为函数的一个对称中心，所以，即，
又，所以，所以.
【小问2详解】
由（1）函数周期及最值知，因为，，，，
所以，，即，
所以，
所以.
19. 已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数的极大值点为2，求a的取值范围；
（3）证明：当时，.
【答案】（1）
（2）
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）对函数求导，根据导函数的函数值等于原函数的图象在该点处的切线的斜率得到该点切线斜率，进而得到切线方程；
（2）求导可得，再分情况讨论导数的根与函数单调性，进而分析是否满足极大值点为2即可；
（3）分析可得，再利用导数研究函数的单调性、最值，从而证明即可.
【小问1详解】
由题意得，则，
因此曲线在点处的切线方程是，即；
【小问2详解】
由题意，设，
①当时，，令有，令有，
故在上单调递增，在上单调递减，满足的极大值点为2；
②当时，令有，，开口向下；
令有，令有或，
故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，满足的极大值点为2；
③当时，令有，，开口向上；
i. 当，即时，，在上单调递增，无极大值点；
ii. 当，即时，令有，令有或，
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，满足的极大值点为2；
iii. 当，即时，令有，令有或，
故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，不满足的极大值点为2；
综上有当的极大值点为2时，a的取值范围为
【小问3详解】
证明：当时，，
则，
令，
则，易得在上单调递增，
且，
故当时，单调递减；
当时，单调递增，
所以在处取到极小值，也即最小值，
所以，因此.
20. 已知函数，，.
（1）当时，求的单调区间；
（2）求证：有且仅有一个零点.
【答案】（1）的单调递减区间是，没有单调递增区间.
（2）见解析
【解析】
【分析】（1）根据题意，求出函数的导数，设其导数为，求出，分析可得的最值，分子可得，即，即可求出答案；
（2）分类讨论的范围，讨论，的值，由函数的零点存在性定理求解即可.
【小问1详解】
因为函数，，
令，，
则，所以在区间上单调递减，
当时，，所以，即，
所以的单调递减区间是，没有单调递增区间.
【小问2详解】
由（1）知，在区间上单调递减，且，，
当时，在区间上单调递减，
因为，，
所以有且仅有一个零点.
当，即时，，即，在区间上单调递增，
因为，，
所以有且仅有一个零点
当，，，
所以存在，使得，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
因为，，且，
所以，所以有且仅有一个零点.
综上所述，有且仅有一个零点.
【点睛】方法点睛：函数的零点问题的求解，常用的方法有：
（1）方程法（直接解方程得解）；
（2）图象法（画出函数的图象分析得解）；
（3）方程+图象法（令得到，再分析的图象得解）.要根据已知条件灵活选择方法求解.
21. 已知为实数，用表示不超过的最大整数，例如，，.对于函数，若存在且，使得，则称函数是“和谐”函数.
（1）判断函数，是否是“和谐”函数；（只需写出结论）
（2）设函数是定义在上的周期函数，其最小周期为，若不是“和谐”函数，求的最小值.
（3）若函数是“和谐”函数，求的取值范围.
【答案】（1）是“和谐”函数，不是“和谐”函数.（2）最小值为1.（3）且，且
【解析】
【分析】（1）根据“和谐”函数的定义即可判断，是否是“和谐”函数.
（2）根据周期函数的定义，结合“和谐”函数的条件，进行判断和证明即可.
（3）根据“和谐”函数的定义，分别讨论，和时，满足的条件即可.
【详解】（1）由题知：是“和谐”函数，
不是“和谐”函数.
（2）的最小值为.
因为是以为最小正周期的周期函数，所以.
假设，则，所以，矛盾.
所以必有，
而函数的周期为1，且显然不是“和谐”函数，
综上，的最小值为1.
（3）当函数是“和谐”函数时，
若，则显然不是“和谐”函数，矛盾.
若，则，
所以在，上单调递增，
此时不存在，使得，
同理不存在，使得，
又注意到，即不会出现的情形，
所以此时不是“和谐”函数.
当时，设，
所以，所以有，其中，
当时，
因为，所以，
所以.
当时，，
因为，所以，
所以.
记，综上，我们可以得到“且，且”.
【点睛】本题主要考查函数的新定义和函数的周期性，同时考查了学生的运算和推理能了，综合性较强，属于难题.