2024北京市顺义牛栏山一中高二上学期10月月考试题数学含解析

这是一份2024北京市顺义牛栏山一中高二上学期10月月考试题数学含解析，共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

高二数学
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，四个选项中只有一是符合题目．）
1. 在空间直角坐标系中，已知点，则线段的长度为（ ）
A. 3B. 4C. D.
2. 在空间直角坐标系中，点，点，则点关于点的对称点坐标是（ ）
A. B. C. D.
3. 经过点，且倾斜角为的直线方程是（ ）
A. B. C. D.
4. 直线x+（m+2）y﹣1＝0与直线mx+3y﹣1＝0平行，则m的值为（ ）
A. ﹣3B. 1C. 1或﹣3D. ﹣1或3
5. 如图，空间四边形中，，点为中点，点在侧棱上，且，则（ ）

A. B. C. D.
6. 直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7. 给出下列命题：
①经过点的直线都可以用方程表示；
②若直线的方向向量，平面的法向量，则；
③直线必过定点；
④如果向量与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么一定共线．
其中真命题的个数是（ ）
A. 3B. 2C. 1D. 0
8. 已知空间三点，，，在直线上有一点满足，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
9. 如图，在平行六面体中，，，则直线与直线所成角余弦值为（ ）
A. B. C. D.
10. 如图，在棱长为1的正方体中，分别是线段上的点，是直线上的点，满足平面，且不是正方体的顶点，则的最小值是（ ）

A. B. C. D.
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）
11. 直线的倾斜角为______．
12. 已知点到直线的距离为2，则________．
13. 已知向量共面，则________．
14. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵．在堑堵中，若，点是直线上的动点，则到直线的最短距离是________．
15. 在正方体中，点分别是的中点．
①；
②与所成角为；
③平面；
④与平面所成角的正弦值为．
其中所有正确说法序号是________．

三、解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明过程或演算步骤．）
16. 已知直线与直线交于点P．
（1）直线过点且平行于直线，求直线方程；（结果写成一般式）
（2）直线与轴交于与轴交于点，请在直角坐标系中画出两条直线，求中边上的高线所在的直线方程．
17. 已知长方体中，是中点．

（1）求直线与所成角余弦值；
（2）求平面与平面夹角余弦值．
18. （1）直线过点且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；
（2）直线过点且与轴正半轴分别交于两点，为坐标原点，求三角形面积取最小值时直线的方程．
19. 已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面，分别是的中点．
（1）求证：⊥平面；
（2）已知点是线段上的动点，并且到平面的距离是，求线段的长．
20. 如图，在直棱柱中，底面是菱形，，分别是棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）若二面角的大小是，求值，并求直线与平面所成角的正弦值．
21. 对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“平衡集”．
（1）判断集合是否是“平衡集”并说明理由；
（2）求证：若集合是“平衡集”，则集合中元素的奇偶性都相同；
（3）证明：四元集合，其中不可能是“平衡集”．
牛栏山一中2023—2024学年第一学期10月月考
高二数学
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，四个选项中只有一是符合题目．）
1. 在空间直角坐标系中，已知点，则线段的长度为（ ）
A. 3B. 4C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据距离公式计算即可.
【详解】.
故选：A.
2. 在空间直角坐标系中，点，点，则点关于点的对称点坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接根据中点坐标公式即可得结果.
【详解】设点关于点的对称点坐标，
由中点坐标公式可得，解得，即，
故选：B.
3. 经过点，且倾斜角为的直线方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由倾斜角求斜率，应用点斜式求直线方程.
【详解】由题设，直线斜率为，又过，
所以，直线方程为（或）.
故选：D
4. 直线x+（m+2）y﹣1＝0与直线mx+3y﹣1＝0平行，则m的值为（ ）
A. ﹣3B. 1C. 1或﹣3D. ﹣1或3
【答案】A
【解析】
分析】由题意可得1×3＝（m+2）m，解方程求出m，然后检验即可
【详解】根据直线x+（m+2）y﹣1＝0与直线m+3y﹣1＝0平行，
可得1×3＝（m+2）m，解得m＝1或﹣3，
当m＝1时，两直线的方程重合，不符合题意；
当m＝﹣3时，两直线的方程为x﹣y﹣1＝0和3x﹣3y+1＝0，两直线平行，符合题意，
故m＝﹣3．
故选：A．
5. 如图，空间四边形中，，点为中点，点在侧棱上，且，则（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由图形中线段关系，应用向量加减、数乘的几何意义用表示出.
【详解】.
故选：C
6. 直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由直线斜率，结合斜率与倾斜角的关系求倾斜角的范围.
【详解】由题设，直线斜率为，
若倾斜角为，则，故.
故选：C
7. 给出下列命题：
①经过点的直线都可以用方程表示；
②若直线的方向向量，平面的法向量，则；
③直线必过定点；
④如果向量与任何向量不能构成空间向量的一个基底，那么一定共线．
其中真命题的个数是（ ）
A. 3B. 2C. 1D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】对于①④，可举出反例；对于②，计算向量数量积得到，从而得到；对于③，变形后得到直线所过定点.
【详解】对于①，当经过点的直线斜率不存在时，不能用方程表示，①错误；
对于②，因为，故，
则直线与垂直，则，②正确；
对于③，直线变形为，必过定点，③正确；
对于④，不共线的向量与零向量不能构成空间向量的一个基底，④错误．
故选：B
8. 已知空间三点，，，在直线上有一点满足，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，由向量垂直的坐标表示可构造方程求得，进而可得点坐标.
【详解】由题意知：，，
设，，
，，解得：，
，又，.
故选：D.
9. 如图，在平行六面体中，，，则直线与直线所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由线段的位置关系及向量加减的几何意义有、，利用向量数量积的运算律求、，最后应用夹角公式求直线夹角余弦值.
【详解】由，，
所以，
又，，
所以，而，
，
综上，直线与直线所成角的余弦值为.
故选：D
10. 如图，在棱长为1的正方体中，分别是线段上的点，是直线上的点，满足平面，且不是正方体的顶点，则的最小值是（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据正方体的性质得到平面，然后建立空间直角坐标系，设，，，根据∥平面，得到，，然后得到，最后求最值即可.
【详解】
因为正方体，所以平面，，
因平面，所以，
因为，平面，所以平面，
如图，以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，
，，
设，，，
，，，
因为∥平面，所以，
因为，所以，即，
，
所以当时，最小，最小为.
故选：A.
第Ⅱ卷
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．请把结果填在答题纸上的相应位置．）
11. 直线的倾斜角为______．
【答案】##
【解析】
【分析】根据倾斜角和斜率的关系即可求解.
【详解】直线的斜率，
设其倾斜角为，故可得，又，故．
故答案为：
12. 已知点到直线的距离为2，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据点到直线的距离公式即可求解.
【详解】由题意可得，
故答案为：
13. 已知向量共面，则________．
【答案】
【解析】
【分析】由向量共面定理，结合向量线性关系的坐标运算求参数即可.
【详解】由题设且，即，
所以.
故答案为：
14. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵．在堑堵中，若，点是直线上的动点，则到直线的最短距离是________．
【答案】1
【解析】
【分析】建立空间直角坐标系，利用点到直线的距离公式求解.
【详解】
如图以点C为原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则，
且，，
因为点是直线上的动点，设点，
则，即，
可得，即，，
则到直线的距离是，
则当时，到直线的最短距离是1.
故答案为：1
15. 在正方体中，点分别是的中点．
①；
②与所成角为；
③平面；
④与平面所成角的正弦值为．
其中所有正确说法的序号是________．

【答案】②③
【解析】
【分析】连接，连接交于，连接，易得，由平行公理判断①；利用线面垂直性质及判定判断②③；转化求与平面所成角，结合线面角定义及已知求其正弦值判断④.
【详解】连接，连接交于，连接，则是中点，
所以是的中点，则，而，故不成立，①错；

如下图，，面，面，则，
由，面，则面，面，
所以与垂直，②对；

如下图，若为中点，连接，显然，则面即为面，
由题设易知：，则，即，
由面，面，则，
，面，则面，即平面，③对；

如下图，由面面，则与平面所成角，即为与平面所成角，
由面，连接，则或其补角即为所求线面角，
在中，，
所以，④错.

故答案为：②③
三、解答题（本大题共6小题，共85分，解答应写出文字说明过程或演算步骤．）
16. 已知直线与直线交于点P．
（1）直线过点且平行于直线，求直线的方程；（结果写成一般式）
（2）直线与轴交于与轴交于点，请在直角坐标系中画出两条直线，求中边上的高线所在的直线方程．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（Ⅰ）联立两个直线的方程求出的坐标，根据平行直线系方程即可代入求解，
（2）根据两直线垂直满足的斜率关系，即可由点斜式方程求解.
【小问1详解】
联立方程得，解可得，则的坐标为，
由于直线平行于直线，设直线的方程为；
将代入得，
所以直线的方程为
【小问2详解】
由题意可知,所以,
故边上的高线所在的直线斜率为3，
又高所在直线经过点，
所以由点斜式可得，即
17. 已知长方体中，是中点．

（1）求直线与所成角的余弦值；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）（2）构建空间直角坐标系，应用向量法求线线角、面面角的余弦值即可.
【小问1详解】
构建如下图示的空间直角坐标系，，
所以，，则；
所以直线与所成角的余弦值为.
【小问2详解】
由（1），是面的一个法向量，，
所以，若面的一个法向量，
则，令，则，
所以；
所以平面与平面夹角的余弦值.
18. （1）直线过点且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；
（2）直线过点且与轴正半轴分别交于两点，为坐标原点，求三角形面积取最小值时直线的方程．
【答案】（1）或；（2）.
【解析】
【分析】（1）讨论截距是否为0，应用点斜式、截距式及所过的点求直线方程；
（2）由题意直线斜率一定存在且不为0，设直线为，求出与坐标轴交点坐标，并得到三角形面积关于k的关系式，利用基本不等式求最小值，并确定取值条件，即得直线方程.
【详解】（1）若截距都为0时，则所求直线为；
若截距不为0时，设直线为，则，
所以；
综上，所求直线为或.
（2）由题意，直线斜率一定存在且小于0，
设直线为，故，
所以三角形面积，
当且仅当时三角形面积取最小值为4，
所以，对应直线为.
19. 已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是正三角形，平面，分别是的中点．
（1）求证：⊥平面；
（2）已知点是线段上的动点，并且到平面的距离是，求线段的长．
【答案】（1）证明过程见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三线合一得到线线垂直，进而由平面，得到，证明出线面垂直；
（2）建立空间直角坐标系，设，由点到平面距离公式得到方程，求出线段的长.
【小问1详解】
因为是正三角形，为中点，
所以⊥，
因为平面，平面，所以，
因为，平面，
所以⊥平面；
【小问2详解】
连接，因为⊥平面，平面，
所以⊥，⊥，
因为底面是边长为4的正方形，则两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
设，平面的法向量为，
则，
解得，令，则，故，
则到平面的距离为，
解得，故，故.
20. 如图，在直棱柱中，底面是菱形，，分别是棱的中点．
（1）求证：平面；
（2）若二面角的大小是，求值，并求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明过程见解析
（2），直线与平面所成角的正弦值为
【解析】
【分析】（1）作出辅助线，得到四边形为平行四边形，，进而证明出线面平行；
（2）建立空间直角坐标系，由二面角大小求出，再利用线面角的求解公式得到答案.
【小问1详解】
取的中点，连接，
因为分别是棱的中点，所以且，，
因为直棱柱中，且，
所以，且，
故四边形为平行四边形，所以，
因为平面，平面，
所以平面；
【小问2详解】
连接，与相交于点，连接相交于点，
因为底面是菱形，所以相互垂直，则两两垂直，
以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
因为，所以，，
故，
设平面的法向量为，
则，
解得，令，则，故
平面的法向量为，
则，
解得，
则
设直线与平面所成角大小为，
则.
21. 对于正整数集合，如果去掉其中任意一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“平衡集”．
（1）判断集合是否是“平衡集”并说明理由；
（2）求证：若集合是“平衡集”，则集合中元素的奇偶性都相同；
（3）证明：四元集合，其中不可能是“平衡集”．
【答案】（1）不是“平衡集”，利用见解析
（2）证明见解析 （3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据定义直接判断即可得到结论．
（2）设，由“平衡集”定义可知，2，，为偶数，所以，2，，的奇偶性相同．
（3）依次去掉，可得，显然与矛盾，所以集合，，，不可能是“平衡集”．
【小问1详解】
集合不是“平衡集”，理由如下：
当去掉1或5或9时，满足条件，
当去掉4时，，不满足条件，
当去掉8时，，不满足条件，
所以集合不是“平衡集”．
【小问2详解】
设集合，，，，，
由于集合是“平衡集”，设去掉,则，其中，且中的元素和相等，不妨设中的元素和为,所以，
，2，，为偶数，
，2，，的奇偶性相同，方可保证一直为偶数，
即集合中元素的奇偶性都相同．
【小问3详解】
若集合，，，是“平衡集”，且，
去掉，则，
去掉，则，
，显然与矛盾，
集合，，，不可能是“平衡集”．