北京市顺义区023_2024学年高一数学上学期10月月考试题含解析

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1. 如图，数轴上两点A，B，则______；______．
【答案】 ①. ②. 2
【解析】
【分析】根据数轴上数的表示，及距离公式求解.
【详解】∵数轴上的两点A，B对应的数分别是1，3，
∴，．
故答案为：，．
2. 若集合，，则______，______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】根据并集、交集的定义求解.
【详解】集合，，则，.
故答案为：，.
3. 已知分式方程，令，化简可得关于的整式方程为______．
【答案】（且）
【解析】
【分析】先考虑的范围 ，再代入分式方程，去分母化简整理可得答案.
【详解】∵，（时取等号），
又由题意得，∴且.
将，代入，得，
化简整理可得关于的整式方程为（且）.
故答案为：（且）.
4. 因式分解：__________.
【答案】
【解析】
【分析】提取公因式即可分解因式.
【详解】.
故答案为：.
5. 若是的一个因式，则______．
【答案】6
【解析】
【分析】设多项式另一个因式为，则，展开整理，利用对应项系数相等即可求得的值．
【详解】设多项式的另一个因式为，
则，
展开整理得，，
所以，解得.
故答案为：6．
6. 若，则______.
【答案】
【解析】
【分析】整理方程，将目标式子化简即可求解.
【详解】因为，所以，
所以
故答案为：.
7. 化简______．
【答案】
【解析】
【分析】将根式化成指数幂，再根据指数幂的运算法则计算.
【详解】.
故答案为：.
8. 不等式的解集为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用绝对值不等式的解法求解.
【详解】由得，解得，
故不等式的解集为.
故答案为：.
9. 设，满足方程，则______．
【答案】2
【解析】
【分析】利用完全平方公式和非负数的性质求得的值，然后代入求值即可.
【详解】∵，
∴
∴.，
∴，
∴，
∴.
故答案为：2.
10. 已知集合.若，且的元素中至少含有一个偶数，则满足条件的集合的个数为______.
【答案】5
【解析】
【详解】满足条件的集合有、、、、.共5个.
故答案为5
11. 在直角坐标系中将二次函数的图像向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，则所得抛物线的顶点坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】首先得到平移后的函数解析式，从而求出其顶点坐标.
【详解】将二次函数的图像向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度得到，
即，
所以函数的顶点坐标为.
故答案为：
12. 若，满足，则的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】对已知方程等价变形即可求解.
【详解】因为，所以，所以，所以.
故答案为：.
13. 若，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】两式作差，利用平方差公式求解．
【详解】∵，∴，
若，，
两式作差得，即，
两边同时除以得：．
故答案为：．
14. 某网店统计了连续三天售出商品的种类情况：第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种，则该网店
①第一天售出但第二天未售出的商品有______种；
②这三天售出的商品最少有_______种.
【答案】 ①16； ②. 29
【解析】
【详解】试题分析：①设第一天售出商品的种类集为A，第二天售出商品的种类集为B，第三天售出商品的种类集为C，
如图，
则第一天售出但第二天未售出的商品有19﹣3＝16种；
②由①知，前两天售出的商品种类为19+13﹣3＝29种，第三天售出但第二天未售出的商品有18﹣4＝14种，当这14种
商品第一天售出但第二天未售出的16种商品中时，即第三天没有售出前两天的商品时，这三天售出的商品种类最少为29种．
故答案为①16；②29．
【名师点睛】
本题将统计与实际情况相结合，创新味十足，是能力立意的好题，关键在于分析商品出售的所有可能的情况，分类讨论时要做到不重复、不遗漏，另外，注意数形结合思想的运用.
第二部分（简答题共58分）
二、解答题共6道题，共58分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
15. 设全集，集合，．
（1）若，求a的取值范围；
（2）若，求a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由补集定义可得，由包含关系可得的范围；
（2）根据交集的定义可直接求得结果．
【小问1详解】
，则，
又，，所以．
【小问2详解】
，，
若，则．
16. 请同学们补全下面两个关于x的不等式的解答过程．
（1）；
解：令，
令，计算，
当时，即时，方程不存在实根；
画草图,
不等式的解集为______．
当时，即______时，方程的两根为______．
画草图，
不等式的解集为______．
当时，即______时，方程的两根为______．
画草图，
不等式的解集为______．
（2）．
解：令（*），
则方程（*）的三个根从小到大排列分别为______；______；______．
把三个根分别标在x轴上，并完成表格,
请根据表格写出不等式的解集.
【答案】（1）答案见解析
（2）答案见解析
【解析】
【分析】（1）结合判别式，根据一元二次方程和二次函数，一元二次不等式的关系求解；
（2）根据方程的根与不等式解集的关系求解.
【小问1详解】
令，
令，计算，
当时，即时，方程不存在实根；画草图，
不等式的解集为．
当时，即时，方程的两根为．画草图，
不等式的解集为．
当时，即时，方程的两根为．
画草图，
不等式的解集为或．
【小问2详解】
令（*），
则方程（*）的三个根从小到大排列分别为0；1；5．
把三个根分别标在x轴上，
时，，则，
时，，则，
时，，则，
时，，则，
完成表格，
根据表格可得，不等式的解集为或.
17. 已知，．
（1）判断3，5是否在集合A中，并说明理由；
（2）判断是否在集合B中，并说明理由；
（3）若，，判断是否属于集合B，并说明理由．
【答案】（1）3在集合A中，5不在集合A中，理由见解析
（2）在集合B中，理由见解析
（3）属于集合，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据集合A中元素的特征判断求解；
（2）根据集合中元素的特征判断求解；
（3）设，，进而根据集合中元素特征判断求解.
【小问1详解】
∵，∴3在集合A中，
令，则，故5不在集合A中.
【小问2详解】
，且，故在集合B中.
【小问3详解】
设，，
则，
所以属于集合.
18. （1）解关于x，y的方程组
（2）已知和是关于x，y的方程组（k为参数）的两组不同实数解．
求证：①，；
②；
③（其中）．
【答案】（1），（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用代入消元法求解即可；
（2）由方程组消元得一元二次方程，结合韦达定理证明即可.
【详解】（1）由方程组，消元得，解得，从而，
∴方程组的解为.
（2）由方程组，消元得（*），
由题意，是此方程（*）的两个不同实根，
则，得，即，
①由韦达定理得，；
②；
③∵，
∵，∴．
19. 证明：
（1）“”是“有两个不相等实数根”的充分不必要条件；
（2）设集合，对集合A中的每一个，不等式均成立的一个必要不充分条件为．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）利用充分条件与必要条件的概念，结合方程的判别式证明；
（2）利用充分条件与必要条件的概念，结合特值法证明.
【小问1详解】
有两个不相等实数根或.
“”可以推出“或”， “或”不能推出“”，
所以“”是“有两个不相等实数根”的充分不必要条件.
【小问2详解】
若对集合中的每一个，不等式均成立，
令得，∴，∴，从而成立.
若，取，则可化为，
当时，满足，但，即不等式不成立.
综上，设集合，对集合A中的每一个，不等式均成立的一个必要不充分条件为．
20. 已知为实数数组，定义集合，给定正整数m，若，则称A为连续生成数组．
（1）判断是否为连续生成数组？是否为连续生成数组？说明理由；
（2）若为连续生成数组，求的值，并说明理由；
（3）数组是否为连续生成数组？说明理由．
【答案】（1）是连续生成数组，不是连续生成数组，理由见解析
（2），理由见解析
（3）数组不是连续生成数组，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据连续生成数组的定义，结合子集的概念求解；
（2）根据题意，得出中元素的可能取值，结合子集的概念求解；
（3）根据题意，从而，集合中元素求和可得，进而可得出答案.
【小问1详解】
，，
∵，∴是连续生成数组，
∵不是的子集，∴不是连续生成数组.
【小问2详解】
，中元素可能取值为，
若为连续生成数组，即，
则.
【小问3详解】
若为连续生成数组，则，
又中最多有10个元素，
则，从而，
∴，
即，
∵，∴为偶数，
而55为奇数，不能成立，
∴数组不是连续生成数组.
x的取值范围
的符号
x的取值范围
的符号
－
＋
－
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