数学：陕西省西安市新城区2025届高三第七次模拟预测试题（解析版）

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1．已知向量a=1,0,b=-1,-3，若ka+b⊥b，则k=（）
A．-10B．-2C．2D．10
【答案】D
【解析】由题意可得ka+b=k-1,-3，
因为ka→+b→⊥b→，所以k-1×-1+-3×-3=0，解得k=10.
故选：D
2．若p:∀x>0,lnx+x2+2>0，则（）
A．p是真命题，且¬p:∃x>0,lnx+x2+2≤0
B．p是真命题，且¬p:∃x≤0,lnx+x2+2≤0
C．p是假命题，且¬p:∃x>0,lnx+x2+2≤0
D．p是假命题，且¬p:∃x≤0,lnx+x2+2≤0
【答案】C
【解析】因为当x=1e3时，lnx+x2+2=-3+1e6+2=1e6-10,lnx+x2+2≤0.
故选：C.
3．若函数fx=2x2+ax-3在1,+∞上单调，则a的取值范围是（）
A．-2,+∞B．-1,+∞C．-∞,-2D．-∞,-1
【答案】A
【解析】因为函数y=2x在R上为增函数，y=x2+ax-3在-∞,-a2上为减函数，在-a2,+∞上为增函数，
且函数fx=2x2+ax-3在1,+∞上单调，
根据复合函数的单调性，可得-a2≤1，即a≥-2，
所以a的取值范围是-2,+∞.
故选：A.
4．直线l:x+ay-a=0与圆C:x2+y2+2y-5=0的位置关系是（）
A．相离B．相切C．相交D．无法确定的
【答案】C
【解析】因直线l:x+a(y-1)=0过定点A0,1，
由C:x2+y2+2y-5=0配方得：x2+(y+1)2=6，可得圆心为C(0,-1)，半径为r=6，
因为|CA|=20，解得d=3.
故选：D.
6．已知集合A={(x,y)∣y=(x-1)(x-5)},B=(x,y)∣y2=4x，则A∩B的真子集的个数为（）
A．3B．4C．7D．15
【答案】D
【解析】因为y=(x-1)(x-5)的对称轴为x=3，顶点为N3,-4，且过点M1,0,P5,0,
当x=3时，y2=4x上的点为3,±23，
作y=(x-1)(x-5)，y2=4x的图象，如图，
由图可知，y=(x-1)(x-5)的图象与抛物线y2=4x有4个不同的交点，
则A∩B有4个元素，从而A∩B的真子集的个数为24-1=15.
故选：D
7．刻画空间弯曲性是空间几何研究的重要内容，我们常用曲率来刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面角的角度用弧度制）．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为π3，则其各个顶点的曲率均为2π-3×π3=π．若正四棱锥S-ABCD的侧面与底面的夹角的正切值为2，则四棱锥S-ABCD在顶点S处的曲率为（）
A．π2B．πC．3π4D．2π3
【答案】D
【解析】如图，连接AC，BD，设AC∩BD=O，连接SO，则SO⊥平面ABCD，
取BC的中点M，连接OM，SM，
则由正四棱锥的结构特征可知OM⊥BC,SM⊥BC，
所以∠SMO为侧面与底面所成的角，
设AB=BC=a，则OM=a2，
在Rt△SOM中，tan∠SMO=SOOM=2，
所以SO=2OM=22a，又OB=22a，所以SB=SO2+OB2=a，
所以正四棱锥S-ABCD的每个侧面均为正三角形，
所以顶点S的每个面角均为π3，
故正四棱锥S-ABCD在顶点S处的曲率为2π-4×π3=2π3.
故选：D.
8．已知函数fx=2csωx+φω>0,|φ|0，得x1；令f'x0，所以g'(x)>0得x0，φ(x)=k'(x)在(1,+∞)上单调递增，
所以k'(x)min=k'(1)=2e+2a0，则y'=ex-1>0，故y>e0-0-1=0，所以ex>x+1，
当x∈(-∞,1)时，k'(x)=ex+e2-x+2a>e2-x+2a>3-x+2a，若xex+2a>x+2a+1，若x>-2a-1，则k'(x)>0，
所以k'(x)存在两个零点x1∈(3+2a,1),x2∈(1,-2a-1)，
当x∈(-∞,x1)时k'(x)>0，当x∈(x1,x2)时k'(x)