陕西省西安市新城区2025届高三第七次模拟预测 数学试题（含解析）

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一、单选题
1．已知向量，若，则（ ）
A．B．C．2D．10
2．若，则（ ）
A．是真命题，且
B．是真命题，且
C．是假命题，且
D．是假命题，且
3．若函数在上单调，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．直线与圆的位置关系是（ ）
A．相离B．相切C．相交D．无法确定的
5．在公差大于的等差数列中，，，则该数列的公差为（ ）
A．B．C．D．
6．已知集合，则的真子集的个数为（ ）
A．3B．4C．7D．15
7．刻画空间弯曲性是空间几何研究的重要内容，我们常用曲率来刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面角的角度用弧度制）．例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为，则其各个顶点的曲率均为．若正四棱锥的侧面与底面的夹角的正切值为，则四棱锥在顶点S处的曲率为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数的图象经过点、，的最小值为，且，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知复数，满足，，则（ ）
A．B．在复平面内对应的点位于第一象限
C．的虚部为D．的共轭复数为
10．已知函数在处取得极值0，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．当时，
C．当时，
D．过点可作一条切线与曲线相切
11．已知曲线，点，则（ ）
A．当P为C上的动点时，的取值范围是
B．当P为C上的动点时，的取值范围是
C．存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标可以构成等比数列
D．存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标之和为
三、填空题
12．已知随机变量，随机变量，则 .
13．将本不同的书（包括本数学书和本英语书）平均分给甲､乙､丙三人，其中数学书和英语书不能分给同一个人，则不同的分配方法种数是 .（用数字作答）
14．某艺术展览馆的一座雕塑底座是正四棱台，记为米，米，米．为举办特展，某策展团队计划以地面顶点为起点安装一条灯带（忽略灯带的厚度与弹性），灯带沿正四棱台的表面经过侧棱后到达顶点C，则所需灯带的长度的最小值为 米．
四、解答题
15．已知的内角的对边分别为，且）.
（1）求的值；
（2）若，且的面积为，求外接圆的面积.
16．如图，在四棱锥中，，是等边三角形，平面平面是棱的中点．
（1）证明：平面．
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
17．已知双曲线的离心率为分别是双曲线的左､右焦点，过的直线与双曲线交于两点，当直线垂直于轴时，.
（1）求双曲线的标准方程；
（2）若的面积为，求直线的方程.
18．甲､乙两人参加某答题挑战赛，规则如下：每次由其中一人答题，若答对了，则此人继续答题，若未答对，则换对方答题，每次答题系统都会随机地给出一道文学题或科学题，给出文学题的概率为，给出科学题的概率为.已知甲答对文学题与科学题的概率分别为，，乙答对文学题与科学题的概率均为，且各轮答题正确与否相互独立.由抽签确定第1次答题的人选，第1次答题的人是甲､乙的概率各为.
（1）已知第1次甲答题，求甲答对题目的概率；
（2）求第2次答题的人是乙的概率；
（3）求第次答题的人是甲的概率.
19．若函数的图象关于直线对称，且存在唯一的极值点，则称为“金字塔函数”．
（1）请判断函数是否为“金字塔函数”．（无需说明理由）
（2）证明：当时，函数恒为“金字塔函数”．
（3）已知函数为“金字塔函数”，求a的取值范围．
参考答案
1．【答案】D
【详解】由题意可得，
因为，所以，解得.
故选D
2．【答案】C
【详解】因为当时，，所以是假命题，
因为全称量词命题的否定是存在量词命题，
所以.
故选C.
3．【答案】A
【详解】因为函数在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数，
且函数在上单调，
根据复合函数的单调性，可得，即，
所以的取值范围是.
故选A.
4．【答案】C
【详解】因直线过定点，
由配方得：，可得圆心为，半径为，
因为，所以点在圆内，故直线与圆相交.
故选C.
5．【答案】D
【详解】设等差数列的公差为，则，得，
所以，即，
又，解得.
故选D.
6．【答案】D
【详解】因为的对称轴为，顶点为，且过点,
当时，上的点为，
作，的图象，如图，
由图可知，的图象与抛物线有4个不同的交点，
则有4个元素，从而的真子集的个数为.
故选D
7．【答案】D
【详解】如图，连接，，设，连接，则平面，
取的中点，连接，，

则由正四棱锥的结构特征可知，
所以为侧面与底面所成的角，
设，则，
在中，，
所以，又，所以，
所以正四棱锥的每个侧面均为正三角形，
所以顶点的每个面角均为，
故正四棱锥在顶点处的曲率为.
故选D.
8．【答案】D
【详解】设函数的最小正周期为，则，则，，
由，得的图象关于点对称，
则，得，因为，所以．
故选D.
9．【答案】AC
【详解】由题意得，解得，故A正确；
在复平面内对应的点为，位于第二象限，故B错误；
因为，所以的虚部为，故C正确；
因为，所以的共轭复数为，故D错误.
故选AC.
10．【答案】ACD
【详解】由，得，
因为函数在处取得极值0，
则，解得，，
此时，则，
令，得或；令，得，
所以函数在和上单调递增，在上单调递减，
则函数在处取得极小值0，满足题意，则，故A正确；
当时，，则，故B错误；
当时，，则，故C正确；
设切点为，则，
所以切线方程为，
又点在切线上，所以，解得，
所以过点可作一条切线与曲线相切，故D正确.
故选ACD.
11．【答案】ABD
【详解】由，得或，则C由椭圆与直线组成，
易知,为椭圆的两个焦点，
若点在椭圆上时，，
若点是原点时，，
曲线上的其他点，则，
所以的取值范围是，A正确；
当点P在直线上时，,
当点P在椭圆上时，，
由，得，B正确.
将代入，得，
设该方程的两个根为，，则，即，且，，
由，得，假设存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标之和为，
则+=，解得，D正确.
当时，介于x1，x2之间，假设存在直线，使得l与C的所有交点的横坐标可以构成等比数列，
则，即=，得，显然该方程无实数解，C错误.
故选ABD
12．【答案】
【详解】因为随机变量，
所以，
因为随机变量，
则.
13．【答案】
【详解】方法一：先从甲､乙､丙三人中选一人，这个人既不分数学书，又不分英语书，
有种分配方法，再将数学书和英语书分给剩下两人一人一本，
最后把其余本书平均分给这两个人，有种分配方法，
综上，不同的分配方法种数是.
方法二：各选两本书与数学书､英语书组成一组，然后再分配给三人，
则不同的分配方法种数是.
14．【答案】/
【详解】如图1，设灯带经过侧棱上的E点.
如图2，连接，将侧面和展开到同一个平面，
则，当且仅当线段与线段有交点时等号成立，
即当灯带的长度取得最小值时，交点即为点E.
因为四边形是等腰梯形，所以，
由余弦定理可得==米，
则>，所以，即，
因为，所以，
即线段与线段有交点.
==，可得=，
而，可得=，
所以,
由余弦定理可得==米，
则所需灯带的长度的最小值为米.
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为，所以，
即，
则.
因为，所以.
（2）因为的面积为，所以，则.
由余弦定理可得，
则.
设外接圆的半径为，由正弦定理可得，则，
故外接圆的面积为.
16．【答案】（1）证明见解析
（2）
【详解】（1）证明：取棱的中点，连接，
因为分别是棱的中点，所以，
因为，所以，
所以四边形是平行四边形，则，
因为平面平面，所以平面．
（2）分别取棱的中点，连接，则，所以，
又因为是等边三角形，所以，
又平面平面，平面，平面平面，
所以平面，又平面，所以，
则以为坐标原点，的方向分别为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
所以，
设平面的法向量为，
则，取，得，
设平面的法向量为，
则，取，得，
设平面与平面的夹角为，
则，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
17．【答案】（1）
（2）或
【详解】（1）由题意可得
解得，
故双曲线的标准方程为.
（2）由题意可知直线的斜率不为0，则设直线.
联立整理得，
则，
.
因为的面积为，
所以，即，
整理得，即，即，
解得，所以，
故直线的方程为或
18．【答案】（1）
（2）
（3）
【详解】（1）甲答对题目的概率为.
（2）乙答对题目的概率为.
记“第次答题的人是甲”为事件，“第次答题的人是乙”为事件，
所以
.
（3）设，依题可知，，则，
即.
设，解得，则.
又，
所以是首项为，公比为的等比数列，
即.
19．【答案】（1）不是“金字塔函数”；
（2）证明见解析；
（3）.
【详解】（1）
，
显然不关于对称，故不是金字塔函数；
（2）因为，所以，
所以的图象关于直线对称，，
因为，，所以得，得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
则存在唯一的极值点1，故为“金字塔函数”.
（3）因为为“金字塔函数”，所以，
所以，
整理得对恒成立，则，得，
所以，则，
令，则，当且仅当时取等号，
当时，，则单调递增，，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
则存在唯一的极值点1
当时，令，则在定义域上单调递增，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以，
对于且，则，故，所以，
当时，，若，则，
当时，，若，则，
所以存在两个零点，
当时，当时，当时，
所以在、上单调递增，在上单调递减，
由且，得，
当时，当时，
则必存在唯一的，使得，必存在唯一的，使得，
所以在、上单调递减，在、上单调递增，则有3个极值点，不合题意
综上，a的取值范围是.