内蒙古自治区鄂尔多斯市达拉特旗第一中学2023-2024学年高一下学期7月期末考试 数学试题（含解析）

这是一份内蒙古自治区鄂尔多斯市达拉特旗第一中学2023-2024学年高一下学期7月期末考试 数学试题（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．复数的虚部为（ ）
A．B．C．D．
2．已知的内角的对边分别为，且，则（ ）
A．2B．C．D．1
3．已知向量，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件
B．充分不必要条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．已知复数，若为纯虚数，则实数的值为（ ）
A．-2B．C．2D．3
5．已知非零向量满足，且向量在向量上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A．B．C．D．
6．下列说法中正确的个数是（ ）
①平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有2条或3条交线；
②如果a，b是两条直线，，那么a平行于经过b的任何一个平面；
③直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线；
④如果，，那么.
A．0个B．1个
C．2个D．3个
7．某学校有男生800人，女生600人，为调查该校全体学生每天的睡眠时间，采用分层随机抽样的方法抽取样本，计算得男生每天睡眠时间的平均数为7.7小时，方差为2.1，女生每天睡眠时间的平均数为7小时，方差为1.4．若男、女样本量按比例分配，则可估计总体方差为（ ）
A．1.86B．1.88C．1.9D．1.92
8．在直四棱柱中，四边形ABCD是矩形，，点E为线段的中点，点G是线段上的一点，点F是底面ABCD内的一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共3小题）
9．小胡同学参加射击比赛，打了8发子弹，报靶数据如下：（单位：环），则下列说法正确的是（ ）
A．这组数据的众数为9B．这组数据的平均数是8.5
C．这组数据的极差是4D．这组数据的标准差是2
10．如图所示，在复平面内，向量对应的复数为，则（ ）
A．B．
C．D．
11．已知的内角的对边分别为，若，则（ ）
A．的外接圆的面积为B．的周长为
C．是直角三角形D．的内切圆的半径为
三、填空题（本大题共3小题）
12．某机构研究得出10名肺炎病患者的潜伏期（单位：天）分别为8，12，11，7，9，17，14，13，12，15，则这10个数据的第70百分位数是 ．
13．已知中，为上一点，且，垂足为，则 ．
14．在三棱锥中，平面平面是边长为4的等边三角形，，，则三棱锥的外接球的表面积为 .
四、解答题（本大题共5小题）
15．课外阅读有很多好处，可以帮助提高阅读能力、拓展知识面、提高思维能力、提高情感素养和提高人际交往能力．某校为了解学生课外阅读的情况，随机统计了400名学生的一个学期课外阅读时间（单位：小时），所得数据都在内，将所得的数据分成4组：，，，，得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求a的值以及一个学期课外阅读时间在内的学生人数；
(2)估计该校学生一个学期课外阅读时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）．
16．如图，在中，的垂直平分线交边于点．
（1）求的长；
（2）若，求的值．
17．如图，在直三棱中，点是棱的中点，，BC=BB1=2.
（1）求证:平面；
（2）若是的中点，求三棱锥的体积.
18．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，．
(1)求角A与a；
(2)若点O为的所在平面内一点，且满足，求的值．
19．如图，在直三棱柱中，，，，点D，E分别为棱BC，的中点，点F是线段CE的中点．

(1)求证：平面；
(2)求直线DF与平面ABF所成角的正弦值；
(3)求二面角的余弦值．
参考答案
1．【答案】B
【分析】根据复数的乘、除法运算可得，结合复数的有关概念即可求解.
【详解】由题意，复数，
所以复数的虚部为．
故选B．
2．【答案】D
【分析】根据题意，利用余弦定理列出关于方程，即可求解.
【详解】在中，因为，
由余弦定理得，即，
可得，解得或（舍去）.
故选D.
3．【答案】B
【分析】由向量平行的坐标表示计算即可.
【详解】当时，，
因为，所以，充分性成立，
又当，可得，必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件，
故选B.
4．【答案】D
【分析】根据复数的乘、除法运算可得，利用共轭复数的概念与复数的乘法运算，结合纯虚数的概念建立方程组，解之即可求解.
【详解】因为复数，
所以，
因为为纯虚数，所以，解得．
故选D．
5．【答案】C
【分析】由投影向量计算可得.
【详解】因为，且，
所以，即夹角为，
故选C.
6．【答案】A
【分析】根据平面的基本性质判断面面、线面等位置关系，即可知各项的正误.
【详解】①平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有可能有1条或2条或3条交线，错误；
②如果a，b是两条直线，那么直线a有可能在过b的平面内，错误；
③直线a不平行于平面α，则a有可能在平面α内，此时可以与平面内无数条直线平行，错误；
④如果，，那么或，错误；
故选A.
7．【答案】D
【分析】先求出平均数，再根据方差公式即可得解.
【详解】由题意，总体的平均数为小时，
根据分层随机抽样的性质，可得总体的方差为：
．
故选D．
8．【答案】A
【分析】将平面沿翻折，使其与平面共面，结合牛吃草理论以及解三角形知识即可列式求解.
【详解】如图，
显然当F是G在底面ABCD的射影时，才可能最小．
将平面沿翻折，使其与平面共面，如图所示，
由于，则，则，
得，同理，而，
显然当E，G，F三点共线且时，取得最小值，
此时．
故选A．
9．【答案】AC
【分析】分别计算这组数据的众数、平均数、极差、方差逐项判断可得答案.
【详解】对于A，由题意知这组数据的众数为9，故A正确；
对于B，这组数据的平均数是，故B错误；
对于C，这组数据的极差是，故C正确；
对于D，这组数据的方差是，
所以这组数据的标准差是，故D错误.
故选AC.
10．【答案】ABC
【分析】先由复数的几何意义求得，再结合复数的相关运算逐一判断即可
【详解】对于A：由题意可得，故A正确；
对于B：，，故B正确；
对于C：，故C正确；
对于D：，故D错误；
故选ABC.
11．【答案】ABC
【分析】选项A，根据条件，利用正弦定理，可求得外接圆半径为，进而求出外接圆的面积，即可判断出选项A的正误；根据条件，利用余弦定理，可求得，，进而可判断出选项B和C的正误，选项D，设内切圆半径为，利用，求出，即可判断出选项D的正误，从而求出结果.
【详解】对于选项A，因为，由正弦定理可得，即，得到，
所以的外接圆的面积为，故选项A正确，
对于选项B，由余弦定理，
得到，整理得到，解得，所以，
故的周长为，所以选项B正确，
对于选项C，因为，，，所以，故选项C正确，
对于选项D，设内切圆半径为，由，得到，解得，所以选项D错误，
故选ABC.
【思路导引】本题考查了三角形正弦定理、余弦定理和三角形面积公式，主要考查方程思想和运算能力.
12．【答案】13.5
【分析】利用百分位数的定义计算即可.
【详解】将这10个数据从小到大排列得7，8，9，11，12，12，13，14，15，17，
又，故第70百分位数是．
故答案为：13.5.
13．【答案】
【分析】以为坐标原点，所以直线为轴，轴，建立平面直角坐标系，根据条件求出的坐标，即可求出结果.
【详解】如图，以为坐标原点，所以直线为轴，轴，建立平面直角坐标系，
因为，，所以，则，
又，过作于，易知，所以,
得到，设，
则，所以，

故答案为：.
14．【答案】
【分析】在中利用余弦定理求出，再由勾股定理的逆定理可得，取的中点，连接，记的外接圆的圆心为，则证得，从而可得外接球的半径为，进而可求出球的表面积.
【详解】在中，，由余弦定理得，
即，解得，
所以，所以，
取的中点，连接，则.
记的外接圆的圆心为，又是等边三角形，
所以，
又平面平面，平面平面平面，
所以OD⊥平面，
又平面，所以，
所以，
所以为三棱锥的外接球的球心，为三棱锥的外接球的半径，
所以三棱锥的外接球的表面积为.
故答案为：.
【思路导引】此题考查三棱锥的外接球问题，考查球的表面积公式的应用，解题的关键是根据题意找出外接球的球心，考查空间想象能力和计算能力.
15．【答案】(1)，160
(2)105小时
【分析】（1）根据频率和为1列出方程，解出值，再计算相关人数即可；
（2）根据频率分布直方图中平均数计算公式计算即可.
【详解】（1）由频率分布直方图可知：．
解得．
所以一个学期课外阅读时间在内的学生人数为．
（2）该校学生一个学期课外阅读时间的平均数
.
即估计该校学生一个学期课外阅读时间的平均数为105小时.
16．【答案】（1）或；（2）．
【分析】（1）在中，利用余弦定理可求出的长；
（2）由（1）可得，在中，由余弦定理求出，再利用正弦定理可求出的值
【详解】（1）在中，，
整理得，
即，所以或．
（2）因为，由（1）得，
所以．
在中，由余弦定理得．
所以．
由，得．
在中，由正弦定理得，
即，
所以．
【思路导引】本题考查了解三角形问题，主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，同角三角函数关系式的运用.
17．【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）要证明线面平行，需证明线线平行，即通过构造中位线，即可证明；（2）利用等体积转化以及，即可求得三棱锥的体积.
【详解】(1)证明：连接，交于点，则为的中点，
连接，又是的中点，，
平面.平面，
平面.
(2)解：平面.，
点，到平面的距离相等.即，
，
，即，
是的中点，
.
18．【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据正弦定理和余弦定理可得，再利用三角恒等变换可求得；
（2）利用向量数量积定义可得O为的外心，再由正弦定理可得.
【详解】（1）因为，由正弦定理可得，
整理得，由余弦定理可得．
且，所以．
又因为，由正弦定理得，
即，
因为，则，且，所以．
（2）因为，
可得，
解得，，
即，可知O为的外心．
由正弦定理得，所以．
19．【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）只需分别证明，，结合线面垂直的判定定理即可得解；
（2）首先通过分析可说明是直线DF与平面ABF所成角，进一步通过解三角形即可得解；
（3）由二面角的定义分析说明为二面角F-AD-C的平面角，再通过解三角形即可得解.
【详解】（1）在直三棱柱中，平面，又平面，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以．
在矩形中，，，点E是棱的中点，
所以，所以是等边三角形，
又点F是线段CE的中点，所以，
又，平面，所以平面．
（2）在平面BCE内，过点D作BF的垂线，垂足为H，如图所示．
由（1）知平面，又平面，所以，
又，，平面，所以平面，
所以是直线DF与平面ABF所成角．
在中，，，所以，
又点D为棱BC的中点，所以．
因为平面，又平面，所以，
所以，．
在中，由余弦定理得，
所以，即直线DF与平面ABF所成角的正弦值为．
（3）在平面内，过点F作AC的垂线，垂足为O，在平面ABC内，过O作AD的垂线，垂足为G，连接FG，如图所示．
因为平面，又平面，所以，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以，，
又，，平面，所以平面，
又平面，所以，又，
所以为二面角的平面角．
在中，．
因为平面，平面，所以，
又易得，，所以，
由等面积法可知．
在中，，，，所以，
所以，即二面角的余弦值为．