江西省宜春市第一中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题含解析

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一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知函数在处可导，且，则（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】利用导数的定义即可求值.
【详解】由导数的定义知.
故选：D.
2. 若数列各项均为正数，则“为等比数列”是“为等差数列”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分又不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合等差数列、等比数列的定义判断.
【详解】数列中，，
数列为等比数列，令其公比为，则，，
为常数，因此数列为等差数列；
反之，为等差数列，令其公差为，则，即为常数，
因此数列为等比数列，
所以“为等比数列”是“为等差数列”的充要条件.
故选：C
3. 已知数列满足，若，则（ ）
A. 28B. 13C. 18D. 20
【答案】C
【解析】
【分析】根据已知可得为等差数列且，结合求参数值.
【详解】由题设，数列是公差为1的等差数列，则，
由.
故选：C
4. 在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由已知可得，再根据，利用基本不等式即可求解.
【详解】因为在公差不为0的等差数列中，是与的等差中项，
所以，所以，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为.
故选：.
5. 在等比数列中，，是函数的极值点，则（ ）
A. 3B. C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由极值点的定义结合韦达定理代入计算，即可得到，，再由等比数列的性质代入计算，即可得到结果.
【详解】由可得，
因为，是函数的极值点，
由韦达定理可得，，
所以，因为等比数列奇数项同号，则
由等比数列的性质可知，则.
故选：B
6. 已知函数是奇函数，函数是偶函数，且当时，，，则当时，以下说法正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，即可得到时，的正负，然后对选项逐一判断，即可得到结果.
【详解】由是奇函数可得，两边同时求导可得，
即，所以是偶函数，
又当时，，所以时，，
由是偶函数可得，两边同时求导可得，
即，所以是奇函数，
当时，，当时，，
对于A，因为与的大小关系不确定，所以的正负不确定，
故A错误；
对于B，当时，，则，故B正确；
对于C，由时，，可得，故C错误；
对于D，由时，，可得，故D错误；
故选：B
7. 已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则数列的前项和为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据导数的几何意义求出，再利用裂项相消法即可得解.
【详解】，则，
所以，
所以.
故选：C.
8. 已知函数在上可导，且，其导函数满足，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】构造新函数，利用导数判断的单调性，再将不等式变形，借助的单调性即可求解.
【详解】令，则，所以在上单调递增．
又不等式，等价于，
即，
所以，所以，解得．
故选：B.
二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知实数数列的前n项和为，下列说法正确的是（ ）
A. 若数列为等差数列，则是等差数列
B. 若数列为等差数列，则，，，…为等差数列
C. 若数列为等比数列，且，，则
D. 若数列为等比数列，则，，，…为等比数列
【答案】AB
【解析】
【分析】根据等差数列的性质判定AB选项，根据等比数列的性质判定CD选项.
【详解】若数列为等差数列，，则，是关于项数的一次函数，是等差数列，故A正确；
而，，，，
作差可得成立，故B正确；
若数列为等比数列，且，，设其公比为q，
则，作商可得或，所以 或，9故C错误；
当等比数列的公比时，，则，，，…，不可能为等比数列，故D错误.
故选：AB.
10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数存在两个不同的零点
B. 函数既存在极大值又存在极小值
C. 当时，方程有且只有两个实根
D. 若时，，则t的最小值为2
【答案】ABC
【解析】
【分析】首先求函数的导数，利用导数分析函数的单调性和极值以及函数的图象，最后直接判断选项．
【详解】对于A，由，得，∴，故A正确；
对于B，，
当时，，当时，，
∴在，上单调递减，在上单调递增，
∴是函数的极小值，是函数的极大值，故B正确；
对于C，当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确；
对于D：由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确．
故选：ABC.
【点睛】本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是是函数的单调递减区间，但当时，，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了．
11. 已知数列的前项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（ ）
A. 数列为等比数列B. 数列为等差数列
C. D.
【答案】ACD
【解析】
【分析】首先根据递推公式，结合等比数列和等差数列的定义，即可判断AB，再利用累加法，判断C，最后根据通项公式求和，判断D.
【详解】A.由条件，可知，，
且，则，所以数列为等比数列，故A正确；
B.由条件可知，，，，，，数列的前3项2,5,14不能构成等差数列，
所以数列不是等差数列，故B错误；
C.由A可知，，所以时，，
，也适合，故C正确；
D.由C可知，，
所以，故D正确.
故选：ACD
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 记为等差数列的前项和，若，则______________.
【答案】
【解析】
【分析】根据下标和性质及等差数列求和公式计算可得.
【详解】因为，所以，
所以.
故答案为：
13. 若不等式有解，则实数的取值范围为___________.
【答案】.
【解析】
【分析】将不等式有解转化为，然后构造函数，利用导数求得其最大值，即可得到结果.
【详解】由不等式有解，可得，
令，
则，
令，解得或（舍去），
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，有极大值，即最大值，
且，所以.
所以取值范围为.
故答案为：.
14. 已知数列满足，，则______.
【答案】
【解析】
【分析】根据奇数项和偶数项的特征，根据分组求和得，即可得解.
【详解】由可知：
当为偶数时，，当为奇数时，，
所以，
即
，
由此解得.
故答案为：
四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.）
15. 在数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）构造等比数列即可求解；
（2）由公式法求和、分组求和法即可求解.
【小问1详解】
因为，
所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，
所以，所以；
【小问2详解】
因为，
所以.
16. 已知函数.
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）求的单调区间和极值.
【答案】（1）；
（2）递增区间为，递减区间为，极大值，极小值.
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，赋值求得，再利用导数的几何意义求出切线方程.
（2）由（1）的信息，求出函数的导数，利用导数求出单调区间及极值.
【小问1详解】
函数，求导得，
则，解得，于是，，
所以所求切线方程为：，即.
【小问2详解】
由（1）知，函数，定义域为，
求导得，
当或时，，当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，取得极大值，
当时，取得极小值，
所以函数递增区间为，递减区间为，
极大值，极小值.
17. 传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，把按照下图排列规律的数，称为五边形数，记五边形数构成的数列为，数列的前项和为，满足.

（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列前项和.
【答案】（1），
（2）
【解析】
【分析】（1）应用累加法结合等差数列求和得出通项公式，再应用等比数列基本量运算得出通项公式；
（2）应用错位相减计算即可.
【小问1详解】
由题意可知，
当时，
累加得
当时，满足上式.
.
当时，，且，
两式相减得，
，即
数列是首项为1，公比为等比数列，.
【小问2详解】
②
①-②得
，
.
18. 已知函数 .
（1）求函数的单调区间.
（2）当时，若对任意，不等式 恒成立， 求的最小值.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）求出函数的导数，再分类求出函数的单调区间.
（2）等价变换给定不等式，利用同构方法构造函数，借助单调性可得，再分离参数构造函数并求出最大值即得.
【小问1详解】
函数的定义域为，
求导得，方程中，，
当时，，，函数在上单调递增；
当时，，方程的二根为，
当时，，由，得或；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，，由，得；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数递增区间为；
当时，函数递增区间为，递减区间为；
当时，函数递增区间为，递减区间为.
【小问2详解】
当时，不等式等价于
，
令函数，则原不等式为，而函数在上增函数，
依题意，，，令函数，
求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，，则，
所以的最小值为.
19. 对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意，都有成立，那么就把这样的一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，简称周期.
（1）判断数列是否为周期数列，如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由.
（2）已知无穷数列是周期为2的周期数列，且，，是数列的前项和，若对一切正整数恒成立，求常数的取值范围；
（3）若无穷数列和满足，且，是否存在非零常数，使得是周期数列？若存在，请求出所有满足条件的常数；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）数列为周期数列，周期为2
（2）
（3）不存在，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据周期数列的定义进行判断即可；
（2）根据题意，分为偶数和为奇数时两种情况讨论求解即可；
（3）假设存在非零常数，使得是周期为的数列，推导出数列是周期为的周期数列，进而得数列周期为，推出，由而该方程无解即可得解.
【小问1详解】
因为，，
所以数列是周期数列，其最小正周期为2；
【小问2详解】
因为无穷数列是周期为的周期数列，且，，
所以当为偶数时，；
当为奇数时，，
因为对一切正整数恒成立，
所以当为偶数时，，故只需即可；
当为奇数时，恒成立，故只需即可；
综上，对一切正整数恒成立，常数的取值范围为；
【小问3详解】
假设存在非零常数，使得是周期为T的数列，所以，即，
所以，即，
所以，即，
所以数列是周期为的周期数列，
因为，
即，因为，
所以，，
所以数列的周期为，
所以，即，显然方程无解，
所以不存在非零常数，使得是周期数列.