江西省宜春市2023_2024学年高一数学下学期4月期中试题含解析

这是一份江西省宜春市2023_2024学年高一数学下学期4月期中试题含解析，共20页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. （）
A. B. C. D.
2. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
3. “，”是（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
4. 下列是函数的单调递增区间的是（）
A. B.
C. D.
5. 已知，，则与平行单位向量为（）
A. B. 或
C. 或D.
6. 的内角A，B，C的对边是a，b，c，若的面积为，则C的大小（）
A. B. C. D.
7. 在中，，若，线段与交于点，则（）
AB.
C. D.
8. 在中，角所对的边分别为，点分别为所在平面内一点，且有，，，，则点分别为的（）
A. 垂心，重心，外心，内心B. 垂心，重心，内心，外心
C. 外心，重心，垂心，内心D. 外心，垂心，重心，内心
二、多选题（每小题5分，共20分；漏选得2分，错选得0分）
9. 已知，，则下列结论正确的是（）
A. B.
C. D.
10. 是边长为1的等边三角形，已知向量，，则下列说法中正确的是（）
A. B.
CD. 若，则
11. 已知函数的部分图象如图所示，则（）
A. 的最小正周期为
B. 当时，的值域为
C. 将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象
D. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称
12. 已知函数，则（）
A. 的定义域为
B. 的图象关于点对称
C. 的图象关于直线对称
D. 在区间上的最小值为
三、填空题（每小题5分，共20分）
13. 样本数据5，11，6，8，14，8，10，5的分位数为______________________．
14. 设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.
15. 求值：__________.
16. 已知在平面四边形中，，，，，四个内角满足，则四边形的面积为___________.
四、解答题（本大题共6小题，第17小题10分，第18-22题每道题满分12分．每道题目应给出必要的解答过程）
17. 已知，求下列各式的值．
（1）；
（2）．
18. 的内角，，所对的边分别为，，，已知，，．
（1）求；
（2）求的面积．
19. 某高校的入学面试中有4道题目，第1题2分，第2题3分，第3题4分，第4题4分，每道题目答对得满分，答错得0分，小明答对第1，2，3，4题的概率分别为，，，，且每道题目是否答对相互独立.
（1）求小明4道题目至少答错1道题的概率；
（2）若该高校规定学生的面试分数不低于8分则面试成功，求小明面试成功的概率.
20. 已知向量，函数，
（1）求不等式的解集；
（2）若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，求的取值范围．
21. 如图，在四边形中，，且.
（1）求实数的值
（2）已知是线段上的两个动点，且，求的最小值.
22. 若锐角的内角，，所对的边分别为，，，其外接圆的半径为，且．
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围2023-2024（下）江西省宜丰中学高一4月期中考试数学试卷
一、单选题（每小题5分，共40分）
1. （）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由两角差的余弦公式逆用即可求解.
【详解】由题意.
故选：C.
2. 已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】通过计算函数定义域求出集合，计算函数值域求出集合，最后通过交集运算即可求解.
【详解】由，有，即，所以；
由令，根据二次函数的性质有，
所以，又因为，所以，；
所以.
故选：D
3. “，”是的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用充分条件与必要条件的定义，结合三角函数的性质求解即可.
【详解】若，，则，充分性成立；
若，则或，，必要性不成立，
所以“，”是的充分不必要条件.
故选：A.
4. 下列是函数的单调递增区间的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据三角函数的图像和函数奇偶性判断即可；
详解】
函数为偶函数，如图，结合正弦函数图像，，函数单调递增，
故选：C
5. 已知，，则与平行的单位向量为（）
A. B. 或
C. 或D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出，然后除以可得同向的单位向量，可得答案.
【详解】因为，，所以，
又，所以与平行的单位向量为，
即或.
故选：C
6. 的内角A，B，C的对边是a，b，c，若的面积为，则C的大小（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用三角形面积公式以及余弦定理建立等式，即可求得的大小.
【详解】由余弦定理得：
的面积
，又
.
故选：A.
7. 在中，，若，线段与交于点，则（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据中线性质得出，再由平面向量线性运算即可求得结果.
【详解】如下图所示：
由可得分别为的中点，
由中线性质可得，
又，所以，
因此.
故选：B
8. 在中，角所对的边分别为，点分别为所在平面内一点，且有，，，，则点分别为的（）
A. 垂心，重心，外心，内心B. 垂心，重心，内心，外心
C. 外心，重心，垂心，内心D. 外心，垂心，重心，内心
【答案】A
【解析】
【分析】根据三角形垂心，重心，外心，内心的定义和性质结合平面向量的线性运算和共线定理，分别推导即可.
【详解】由，得，
即，
则，
所以，则，同理可得，，
即是三边上高的交点，则为的垂心；
由，得，
设的中点为，则，即，，三点共线，
所以在的中线上，同理可得在的其余两边的中线上，
即是三边中线的交点，故为的重心；
由，得，即，
又是的中点，所以在的垂直平分线上，
同理可得，在，的垂直平分线上，
即是三边垂直平分线的交点，故是的外心；
延长交于点，因为，，三点共线，则设（），
且，，
代入，得，
即①，
又因为与共线，与、不共线，
则只能当且时，①成立，
即，则,
由正弦定理得：，
又，则，
即，又，所以，
则是的角平分线，即点在的角平分线上，
同理可得，在，的垂直平分线上，
即是内角平分线的交点，故是的内心；
故选：A.
二、多选题（每小题5分，共20分；漏选得2分，错选得0分）
9. 已知，，则下列结论正确的是（）
A. B.
C. D.
【答案】ABC
【解析】
【分析】由平方关系，商数关系以及两角和差的余弦公式即可运算求解.
【详解】因为，，
所以，
所以，
.
故选：ABC.
10. 是边长为1的等边三角形，已知向量，，则下列说法中正确的是（）
A. B.
C. D. 若，则
【答案】AC
【解析】
【分析】A．计算的结果，根据结果进行判断；
B．根据数量积定义计算的值；
C．采用先平方再开根号的方法计算出的值；
D．根据向量共线定理可设，由此求解出的值并判断.
【详解】A．因为，所以，故正确；
B．因为，故错误；
C．，故正确；
D．设，所以，所以，故错误；
故选：AC
11. 已知函数的部分图象如图所示，则（）
A. 的最小正周期为
B. 当时，的值域为
C. 将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象
D. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称
【答案】ACD
【解析】
【分析】先根据中，，的几何意义，求得的解析式，再结合正弦函数的图象与性质，函数图象的变换，逐一分析选项即可．
【详解】由图可知，，函数的最小正周期，故A正确；
由，知，
因为，所以，所以，，即，，
又，所以，所以，
对于B，当时，，所以，
所以的值域为，故B错误；
对于C，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，故C正确；
对于D，将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
因为当时，，所以得到的函数图象关于点对称，故D正确．
故选：ACD．
12. 已知函数，则（）
A. 的定义域为
B. 的图象关于点对称
C. 的图象关于直线对称
D. 在区间上的最小值为
【答案】CD
【解析】
【分析】对于A，取特殊值即可否定；对于B，代入检验即可；对于C，由辅助角公式、二倍角公式先化简函数表达式结合诱导公式即可判断；对于D，通过换元法、之间的关系即可求解判断.
详解】对于A，由题意当时，，此时无意义，故A错误；
对于B，，故B错误；
对于C，因为，
所以，故C正确；
对于D，不妨设，
若，则，
而，
所以，
设，由复合函数单调性可知关于单调递减，
所以当且仅当，，
综上所述在区间上的最小值为，故D正确.
故选：CD.
三、填空题（每小题5分，共20分）
13. 样本数据5，11，6，8，14，8，10，5的分位数为______________________．
【答案】8
【解析】
【分析】根据百分位数的计算规则即可求解.
【详解】将样本数据按从小到大的顺序排列为5，5，6，8，8，10，11，14，
由于，故分位数为8.
故答案为：8
14. 设函数f(x)＝为奇函数，则a＝________.
【答案】
【解析】
【详解】因为函数f(x)＝为奇函数，
经检验符合题意.
故答案为.
15. 求值：__________.
【答案】
【解析】
【分析】把前两项利用和差化积变形，进一步求解得答案．
【详解】解：
．
故答案为：．
16. 已知在平面四边形中，，，，，四个内角满足，则四边形的面积为___________.
【答案】
【解析】
【分析】连接，由，结合余弦定理可得角与，进而可得四边形面积.
【详解】由题意，，且，则.
在中，，
在中，，
故且，解得，
则
，
故答案为：D.
四、解答题（本大题共6小题，第17小题10分，第18-22题每道题满分12分．每道题目应给出必要的解答过程）
17. 已知，求下列各式的值．
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据同角三角函数的基本关系式求得正确答案.
（2）利用“的代换”的方法，结合同角三角函数的基本关系式求得正确答案.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
.
18. 的内角，，所对的边分别为，，，已知，，．
（1）求；
（2）求的面积．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】（1）由余弦定理即可求出；
（2）由面积公式计算即可.
【详解】（1）∵，∴，解得（舍），，∴．
（2）∵．
19. 某高校的入学面试中有4道题目，第1题2分，第2题3分，第3题4分，第4题4分，每道题目答对得满分，答错得0分，小明答对第1，2，3，4题的概率分别为，，，，且每道题目是否答对相互独立.
（1）求小明4道题目至少答错1道题的概率；
（2）若该高校规定学生的面试分数不低于8分则面试成功，求小明面试成功的概率.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）小明4道题目至少答错1道题的对立事件为小明4道题全部答对，根据对立事件概率和为1计算即可；
（2）分答对2题，应是第3题和第4题，答对三题或全部答对则面试成功，依次计算概率后，再相加即可.
【小问1详解】
小明同学4道题目至少答错1道题的对立事件为小明4道题全部答对，
所以小明同学4道题目至少答错1道题的概率为.
【小问2详解】
由题意得，要使得面试分数不低于8分，若只答对2题，则应是第3题和第4题；若只答对三题或全部答对，面试得分均不低于8分.
设事件A，B，C，D分别为小明答对第1，2，3，4题，
则小明面试成功的概率
.
20. 已知向量，函数，
（1）求不等式的解集；
（2）若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，求的取值范围．
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用数量积的坐标表示求出并化简，再利用正弦函数性质解不等式.
（2）由（1）的结论，利用余弦定理及基本不等式求出取值范围.
【小问1详解】
由向量，得，
由，得，则，
解得，
所以不等式的解集是.
【小问2详解】
在中，由，得，由，得，
则，即，由余弦定理得，
得，
解得，当且仅当时取等号，又，即，
所以的取值范围是.
21. 如图，在四边形中，，且.
（1）求实数的值
（2）已知是线段上的两个动点，且，求的最小值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据，可得，即可得，根据数量积公式，可得AD的长，分析即可得答案.
（2）如图建系，求得D点坐标，设，则，即可得坐标，根据数量积公式，结合x的范围，即可得答案.
【小问1详解】
因为，
所以，所以，
所以，
所以，又，
所以，即.
【小问2详解】
以BC为x轴正方向，过B作BC垂线为y轴，建立坐标系，如图所示，
因为，
所以，则，
设，则，
因为是线段上的两个动点，
所以，解得，
所以，
所以，
所以当x=3时，有最小值
22. 若锐角的内角，，所对的边分别为，，，其外接圆的半径为，且．
（1）求角的大小；
（2）求取值范围
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理可将化简为，再次化简得，从而求得，从而可求解.
（2）由的外接圆半径为，从而得，从而可得，由为锐角三角形可得，再构造函数，结合对勾函数的性质从而可求解.
【小问1详解】
因为，
所以，
即，由正弦定理得，
显然，，所以，所以，
因为，所以．
【小问2详解】
因为外接圆的半径为，所以，所以，，
所以，
因为为锐角三角形，所以，即，即．
令，，根据对勾函数的性质可知函数在上单调递减，
在上单调递增，且，，，
所以，即，
所以，即取值范围为.