江西省宜春市第一中学2024−2025学年高二下学期4月期中考试 数学试题（含解析）

这是一份江西省宜春市第一中学2024−2025学年高二下学期4月期中考试 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题
1．已知函数在处可导，且，则（ ）
A．B．C．D．2
2．若数列{an}各项均为正数,则“{an}为等比数列”是“{lnan}为等差数列”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
3．已知数列满足，若，则（ ）
A．28B．13C．18D．20
4．在公差不为0的等差数列中，若是与的等差中项，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．在等比数列中，，是函数的极值点，则（ ）
A．3B．C．D．4
6．已知函数是奇函数，函数是偶函数，且当时，，，则当时，以下说法正确的是（ ）
A．B．
C．D．
7．已知函数的图象在点处的切线的斜率为，则数列的前项和为（ ）
A．B．C．D．
8．已知函数在上可导，且，其导函数满足，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．已知实数数列的前n项和为，下列说法正确的是（ ）
A．若数列为等差数列，则是等差数列
B．若数列为等差数列，则，，，…为等差数列
C．若数列为等比数列，且，，则
D．若数列为等比数列，则，，，…为等比数列
10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数存在两个不同的零点
B．函数既存在极大值又存在极小值
C．当时，方程有且只有两个实根
D．若时，，则的最小值为
11．已知数列的前项和为，且满足，，，则下列说法正确的有（ ）
A．数列为等比数列B．数列为等差数列
C．D．
三、填空题
12．记为等差数列的前项和，若，则 .
13．若不等式有解，则实数的取值范围为 .
14．已知数列满足，，则 .
四、解答题
15．在数列中，，．
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前n项和．
16．已知函数.
（1）求函数在点处的切线方程；
（2）求的单调区间和极值.
17．传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，把按照下图排列规律的数1，5，12，22，…，称为五边形数，记五边形数构成的数列为，数列的前项和为，满足．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
18．已知函数 .
（1）求函数的单调区间.
（2）当时，若对任意，不等式 恒成立， 求的最小值.
19．对于数列，如果存在一个正整数，使得对任意，都有成立，那么就把这样的一类数列称作周期为的周期数列，的最小值称作数列的最小正周期，简称周期.
(1)判断数列是否为周期数列，如果是，写出该数列的周期，如果不是，说明理由.
(2)已知无穷数列是周期为2的周期数列，且，，是数列的前项和，若对一切正整数恒成立，求常数的取值范围；
(3)若无穷数列和满足，且，是否存在非零常数，使得是周期数列？若存在，请求出所有满足条件的常数；若不存在，请说明理由.
参考答案
1．【答案】D
【详解】由导数的定义知.
故选D.
2．【答案】C
【详解】若数列{an}为等比数列，设公比为q(q>0)，则an=a1qn−1，且a1>0，故lnan+1−lnan=lnan+1an=lnq（常数），则数列{lnan}为等差数列；
若数列{lnan}为等差数列，设公差为d,则lnan+1−lnan=d，即lnan+1an=d，所以an+1an=ed（常数且大于0），则数列{an}为等比数列.综上，“数列{an}为等比数列”是“数列{lnan}为等差数列”的充要条件.故选C.
3．【答案】C
【详解】由题设，数列是公差为1的等差数列，则，
由.
故选C
4．【答案】A
【详解】因为在公差不为0的等差数列中，是与的等差中项，
所以，所以，
所以，
当且仅当，即，时等号成立，
所以的最小值为.
故选.
5．【答案】B
【详解】由可得，
因为，是函数的极值点，
由韦达定理可得，，
所以，因为等比数列奇数项同号，则
由等比数列的性质可知，则.
故选B
6．【答案】B
【详解】由是奇函数可得，两边同时求导可得，
即，所以是偶函数，
又当时，，所以时，，
由是偶函数可得，两边同时求导可得，
即，所以是奇函数，
当时，，当时，，
对于A，因为与的大小关系不确定，所以的正负不确定，
故A错误；
对于B，当时，，则，故B正确；
对于C，由时，，可得，故C错误；
对于D，由时，，可得，故D错误；
故选B
7．【答案】C
【详解】，则，
所以，
所以.
故选C.
8．【答案】B
【详解】令，则，所以在上单调递增．
又不等式，等价于，
即，
所以，所以，解得．
故选B.
9．【答案】AB
【详解】若数列为等差数列，，则，是关于项数的一次函数，是等差数列，故A正确；
而，，，，
作差可得成立，故B正确；
若数列为等比数列，且，，设其公比为q，
则，作商可得或，所以 或，9故C错误；
当等比数列的公比时，，则，，，…，不可能为等比数列，故D错误.
故选AB.
10．【答案】ABC
【详解】对于A．，解得，所以A正确；
对于B．，
当时，，当时，或，
所以是函数的单调递减区间，是函数的单调递增区间，
所以是函数的极小值，是函数的极大值，所以B正确．
对于C．当时，，根据B可知，函数的最小值是，再根据单调性可知，当时，方程有且只有两个实根，所以C正确；
对于D：由图象可知，t的最大值是2，所以D不正确．
故选ABC.
【易错警示】本题考查了导数分析函数的单调性，极值点，以及函数的图象，首先求函数的导数，令导数为0，判断零点两侧的正负，得到函数的单调性，本题易错的地方是是函数的单调递减区间，但当时，，所以图象是无限接近轴，如果这里判断错了，那选项容易判断错了．
11．【答案】ACD
【详解】A.由条件，可知，，
且，则，所以数列为等比数列，故A正确；
B.由条件可知，，，，，，数列的前3项2,5,14不能构成等差数列，
所以数列不是等差数列，故B错误；
C.由A可知，，所以时，，
，也适合，故C正确；
D.由C可知，，
所以，故D正确.
故选ACD
12．【答案】
【详解】因为，所以，
所以.
13．【答案】.
【详解】由不等式有解，可得，
令，
则，
令，解得或（舍去），
当时，，函数单调递增，
当时，，函数单调递减，
所以当时，有极大值，即最大值，
且，所以.
所以的取值范围为.
14．【答案】
【详解】由可知：
当为偶数时，，当为奇数时，，
所以，
即
，
由此解得.
15．【答案】（1）
（2）
【详解】（1）因为，
所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，
所以，所以；
（2）因为，
所以.
16．【答案】（1）；
（2）递增区间为，递减区间为，极大值，极小值.
【详解】（1）函数，求导得，
则，解得，于是，，
所以所求切线方程为：，即.
（2）由（1）知，函数，定义域为，
求导得，
当或时，，当时，，
因此函数在上单调递增，在上单调递减，
当时，取得极大值，
当时，取得极小值，
所以函数的递增区间为，递减区间为，
极大值，极小值.
17．【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）由图列得到数列的递推关系，由累加法求通项可得；由已知结合前项和与通项关系，构造作差证明数列是等比数列，再得通项；
（2）由错位相减法数列求和.
【详解】（1）由题意可知
当时，
累加得
当时，满足上式．
,
.
当时，，
两式相减得，
，即
，
数列是首项为1，公比为的等比数列
（2）
①
②
①-②得
【方法总结】错位相减法求和步骤：
18．【答案】（1）答案见解析
（2）
【详解】（1）函数的定义域为，
求导得，方程中，，
当时，，，函数在上单调递增；
当时，，方程的二根为，
当时，，由，得或；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减；
当时，，由，得；由，得，
函数在上单调递增，在上单调递减，
所以当时，函数递增区间为；
当时，函数递增区间为，递减区间为；
当时，函数递增区间为，递减区间为.
（2）当时，不等式等价于
，
令函数，则原不等式为，而函数在上是增函数，
依题意，，，令函数，
求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，，则，
所以的最小值为.
19．【答案】(1)数列为周期数列，周期为2；
(2)；
(3)不存在，理由见详解.
【详解】（1）因为，，
所以数列是周期数列，其最小正周期为2；
（2）因为无穷数列是周期为的周期数列，且，，
所以当为偶数时，；
当为奇数时，，
因为对一切正整数恒成立，
所以当为偶数时，，故只需即可；
当为奇数时，恒成立，故只需即可；
综上，对一切正整数恒成立，常数的取值范围为；
（3）假设存在非零常数，使得是周期为T的数列，所以，即，
所以，即，
所以，即，
所以数列是周期为的周期数列，
因为，
即，因为，
所以，，
所以数列的周期为，
所以，即，显然方程无解，
所以不存在非零常数，使得是周期数列.