安徽省合肥市西苑中学2024-2025学年下学期九年级5月份月考 数学试卷

这是一份安徽省合肥市西苑中学2024-2025学年下学期九年级5月份月考 数学试卷，共14页。
1.你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟。
2.试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的。
3.考试结束后，请将"试题卷"和"答题卷”一并交回。
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的)
1．下列各数是的绝对值的是（ ）
A．B．C．2025D．
2．一个长方体挖去一个几何体后的三视图如图所示，则挖去的几何体为（ ）
A．圆柱B．圆锥C．球体D．三棱锥
3．截至2025年5月5日《哪吒2》总票房（包含港澳台和海外票房）已突破158亿元，排名全球影史票房第五，这个五一假期继续增长，有望超越《泰坦尼克号》，将数据158亿用科学记数法表示应为（ ）
A．B．C．D．
4．计算，结果是（ ）
A．B．C．D．
5．如图，已知，直角三角板的直角顶点在直线上，若，则等于（ ）．
A．29°B．151°C．60°D．61°
6．在同一平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A，B两点，已知点A的坐标为，则点B的坐标为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在平行四边形中，以点为圆心，任意长为半径画弧，交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线交于点，连接．若，则的长为（ ）
A．5B．C．D．
8．草莓种植户将今天的草莓按大小分拣成A、B、C三类，随机分放在同一直线上的三个摊点出售（三个摊点不能兼顾)，甲到第一个摊点观察后不买，再到第二个摊点观察，若第二个摊点草莓比第一个摊点大，就直接购买；若比第一个摊点小，就到第三个摊点购买，按这种方式，甲买到的草莓是A类的概率为 （ ）
A．B．C．D．
9．已知实数、、满足，下列结论正确的是（ ）
A．可能为B．若、、中有两个数相等，则
C．若，则D．若，则
10．点P是矩形内一点，Q是边上的任意一点，连接、、、，已知，下列结论不正确的是（ ）
A．若，则的最小值是10
B．若，则
C．的最小值为20
D．若，则的最小值为
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分 20分)
11．计算： ．
12．为积极响应国家提出的“大众创业，万众创新”号召，某市加大了对“双创”工作的支持力度，据悉，2022年该市此项拨款为亿元，2024年的拨款达到亿元，这两年该市对“双创”工作专项拨款的平均增长率为 ．
13．如图，已知是的直径，是弦，垂足为点，点是弧的中点，连接若，则的度数是 ．
14．如图，已知抛物线的对称轴为直线，顶点为，与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）抛物线的表达式为 ；
（2）若点是轴上的一个动点，当的值最小时，则 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．解分式方程：．
16．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点，，都在格点（局格线交点）上，连接．
(1)平移线段得到线段，点与点对应，请在网格内再出线段，并直接写出，______；
(2)以点为位似中心，把线段放大到原来的2倍得到线段，且点，的对应点分别为点，，请在网格内画出线段．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．如图，图、图分别是某吊车在吊一物品时的实物图与示意图，已知吊车底盘器的高度为米，支架的长为米，且与地面成角，吊绳与支架的夹角为，吊臂与地面成角，求吊车的吊臂顶端点距地面的高度是多少米？(精确到米)(参考数据：，，，，)
18．观察以下等式：
第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
……
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式：_________；
(2)写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“任意两个连续奇数的平方差是否是8的倍数”的问题．
(1)指导教师将学生的发现进行整理，得出如下部分信息（为正整数）．
按上表规律，完成下列问题：
（i）__________________．
（ii）______．
(2)请根据你学过的相关数学知识，证明（ii）中的结论成立．
20．如图，为的直径，为的弦，点D为的延长线上一点，连接，过点O作交的延长线于点E，交于点P，．
(1)求证：是的切线；
(2)过点C作交于点H，作交于点F，若，，求的长．
六、（本题满分12分)
21．安徽四项科技成果，分别是A．“人造太阳”刷新世界纪录；B．“九章2.0”和“祖冲之2.0”的出现；C．光存储时间达1小时；D．证明凯勒几何核心猜想．为调查学生对这4项科技最想了解的情况，某校对九年级部分学生进行了随机调查（每人只能选一个），根据调查统计结果，绘制成两幅不完整的统计图．请结合统计图，回答下列问题．
(1)参加这次调查的学生总人数为________；扇形统计图中，D部分扇形所对应圆心角的度数是________；将条形统计图补充完整；
(2)该校九年级共有800名学生，按照此调查结果，估计最想了解C项目的学生人数；
(3)在所调查的学生中随机抽取甲、乙两名学生，求恰好甲最想了解A项目、乙最想了解D项目的概率．
七、（本题满分12分)
22．综合探究
如图，在正方形中，点为的延长线上一点，连接，，点为边上一点，且
(1)求证：；
(2)若，求的面积；
(3)过点作，分别交于点，若，请直接写出的长．
八、（本题满分14分)
23．已知二次函数，其中．
(1)当该二次函数的图像经过原点，求此函数图像的顶点的坐标；
(2)求证：二次函数的顶点在第三象限；
(3)如图，在（1）的条件下，若平移该二次函数的图像，使其顶点在直线上运动，平移后所得函数图像与轴的负半轴的交点为，点是平移后抛物线、两点间的动点．当面积最大值时，求面积是否有最大值？若有请求出；如没有，请说明理由．
参考答案
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分，每小题都给出A、B、C、D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的)
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分 20分)
11．1
12．
13．/72度
14．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
15．解：，
，
，
，
检验：当时，，
原分式方程的解为：．
16．（1）解：由点与点对应，由图知，点向右移动一格，再向上移动一格得到点
点向右移动一格，再向上移动一格得到点，连接，
如图，线段即为所作：
；
由图可知：．
故答案为：．
（2）解：连接，，延长使，延长使，连接，
如图所示，线段即为所作：
．
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分)
17．解：如图，
作于点，∵，，
∴，
∴，
∴，又，米.
∴米，在中，
∴(米)
在中，，
∴(米)，
∴(米)
答：吊车的吊臂顶端点距地面的高度是13.1米.
18．（1）解：第1个等式：；
第2个等式：；
第3个等式：；
第4个等式：；
则第5个等式为：；
故答案为：；
（2）第n个等式为：．
证明：左边，
右边，
左边右边，
原等式成立．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分)
19．（1）解：（i）由题意得，；
（ii），
，
，
，
……，
以此类推可知，；
（2）证明：
．
20．（1）证明：连接，
，
．
，
，
．
又，
．
∵，
．
，
即，．
又是的半径，
是的切线．
（2）解：，，
四边形是平行四边形．
又，即，
是矩形，
在中，，，
根据勾股定理得，
，
四边形是矩形，
，．
设，则．
，
，
，
，
，即，
，即．
六、（本题满分12分)
21．（1）解：参加这次调查的学生总人数为（人），
扇形统计图中，D部分扇形所对应的圆心角是，
了解C项目的学生人数为（人），
补充完整的统计图如下：
故答案为：40人，；
（2）解：（人），
答：最想了解C项目的学生人数是120人．
（3）解：每个人都有被选上的可能，第一个人是甲，共40种可能，甲最想了解A项目的有12人、第二次选乙，还有39人，共种等可能的结果，其中恰好甲最想了解A项目、乙最想了解D项目的结果是种，所以恰好甲最想了解A项目、乙最想了解D项目的概率为．
答：恰好甲最想了解A项目、乙最想了解D项目的概率为．
七、（本题满分12分)
22．（1）证明：∵四边形是正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴．
（2）解：∵，
∴，
∵四边形是正方形，，
∴，
∵，
∴．
（3）解：∵，，
∴，，
∵，
∴在中，，
设，，则，
∴在中，，
在中，，
联立，解得：，
，
由（1）可知，，
∴．
八、（本题满分14分)
23．（1）解：将代入，
解得，
由，则符合题意，
，
；
（2）解：由抛物线顶点坐标公式得顶点坐标为
，
，
，
，
，
二次函数的顶点在第三象限；
（3）解：设平移后图像对应的二次函数表达式为，则其顶点；
当时，，
，
将代入，
解得：；
在轴的负半轴上，
，
；
过点作，垂足为，
，
，
在中，
∴当时，此时，面积有最大值，最大值为；
此时当时，；
，，
根据题意，过点作轴的垂线，垂足为，过作，垂足为点，连接，作图如下；
，
设，
则；
当时，达到最大值为；
任意两个连续奇数的平方差
8的倍数
表示结果
…
…
一般结论
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
B
A
C
D
A
C
A
D
D