书法练习指导三年级上册提习题

这是一份书法练习指导三年级上册提习题，共23页。试卷主要包含了5y=5，5y=2，5a=50，，6+×0等内容，欢迎下载使用。
知识点
列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
◆1、列方程组解决实际问题是把“未知”化为“已知”的过程，其关键是把已知量和未知量联系起来，找出题中的等量关系，列出方程组.
◆2、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤：
（1）审：审题，找出问题中的已知条件和未知量及它们之间的关系．
（2）设：设元，找出题中的两个关键的未知量，并用字母表示出来．
（3）找：找等量关系，挖掘题目中的所有条件，找出两个等量关系．
（4）列：根据等量关系，列出方程组．
（5）解：解方程组，求出未知数的值．
（6）答：检验所求解是否符合实际意义，然后作答．
题型一 数字问题
1．（2023秋•中宁县期末）一个两位数，个位数字与十位数字的和是8，个位数字与十位数字互换后所成的新数比原数小18，则原数是（ ）
A．26B．62C．35D．53
【分析】设原两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据“个位数字与十位数字的和是8，个位数字与十位数字互换后所成的新数比原数小18”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再将其代入（10x+y）中，即可得出结论．
【解答】解：设原两位数的十位数字为x，个位数字为y，
根据题意得：x+y=810x+y-(10y+x)=18，
解得：x=5y=3，
∴10x+y＝10×5+3＝53，
∴原两位数为53．
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
2．（2023秋•榆次区校级期末）一个两位数，十位上的数与个位上的数的和是7，若十位上的数与个位上的数对换，得到的两位数与原来的两位数的差是9，则现在的两位数是（ ）
A．43B．34C．25D．52
【分析】设原来的两位数个位上的数是x，十位上的数是y，根据“十位上的数与个位上的数的和是7”，“得到的两位数与原来的两位数的差是9”作为相等关系列方程，解方程即可求解．
【解答】解：设原来的两位数个位上的数是x，十位上的数是y，
根据题意得，10x+y﹣（10y+x）＝9，
解得：x＝4，y＝3，
答案为43，
故选：A．
【点评】主要考查了利用二元一次方程组的模型解决实际问题的能力．本题中要注意用数位上的数字表示两位数的方法：10×十位数字+个位数字＝两位数．
3．（2024秋•道里区校级月考）一个两位数，十位上的数比个位上的数大3，个位上的数与十位上的数的和为7，这个两位数是 ．
【分析】设个位数为x，十位数为y，根据“十位上的数比个位上的数大3，个位上的数与十位上的数的和为7”，列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设个位数为x，十位数为y，
由题意得：y=x+3x+y=7，
解得：x=2y=5，
∴这个两位数是52，
故答案为：52．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
4．小明的爸爸骑摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明第一次注意到路边里程碑上的数时，发现它是一个两位数且它的两个数字之和为9，刚好过了1h，他发现路边里程碑上的数恰好是第一次看到的个位和十位数字颠倒后得到的，又过了3h，他发现里程碑上的数字比第一次看到的两位数中间多个0，小明爸爸骑摩托车的速度是 ．
【分析】通过理解题意可知本题存在两个等量关系，即第一次注意到路边里程碑上的数的十位数字+个位数字＝9；过一个小时路边里程碑上的数恰好是第一次看到的个位和十位数字颠倒后得到的，所以设出小明第一次注意到路边里程碑上的两位数的十位数字和个位数字，根据上面的两个等量关系可列出方程组．
【解答】解：小明第一次注意到路边里程碑上的两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意，得
x+y=9(100x+y)-(10y+x)=3[(10y+x)-(10x+y)]，
解得x=2y=7，
即小明第一次注意到路边里程碑上的数字为27，1小时后小明看到的程碑上的数字为72，72﹣27＝45（千米/小时），
所以小明爸爸骑摩托车的速度是45千米/小时．
故答案为：45千米/小时．
【点评】本题主要考查了一元一次方程组的应用，掌握两位数的表示方法是：十位上的数字×10+个位上的数字是解决问题的关键．
5．（2024春•秦安县校级月考）一个两位数的十位数字比个位数字大2，如果将十位数字与个位数字交换位置，所得新数和原数的和是66，求原来的两位数是几？
【分析】设原来的两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据一个两位数的十位数字比个位数字大2，如果将十位数字与个位数字交换位置，所得新数和原数的和是66，列出二元一次方程组．解方程组即可．
【解答】解：设原来的两位数的十位数字为x，个位数字为y，
由题意得，x-y=210x+y+10y+x=66，
解得：x=4y=2，
答：原来的两位数为42．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
6．一个两位数，十位上的数字与个位上数字和是8，将十位上数字与个位上数字对调，得到新数比原数的2倍多10．求原来的两位数．
【分析】可设原来的两位数的个位数为x，十位数为y，根据对调前与对调后可得到两个方程，求方程组的解即可．
【解答】解：设原来的两位数的个位数为x，十位数为y，两位数可表示为10y+x，根据题意得：
x+y=810x+y=2(10y+x)+10，
解得：x=6y=2，
则原两位数为26．
答：原来的两位数为26．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．
7．（2024春•秦安县校级月考）一个两位数的十位数字比个位数字大2，如果将十位数字与个位数字交换位置，所得新数和原数的和是66，求原来的两位数是几？
【分析】设原来的两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据一个两位数的十位数字比个位数字大2，如果将十位数字与个位数字交换位置，所得新数和原数的和是66，列出二元一次方程组．解方程组即可．
【解答】解：设原来的两位数的十位数字为x，个位数字为y，
由题意得，x-y=210x+y+10y+x=66，
解得：x=4y=2，
答：原来的两位数为42．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
8．（2023春•高青县期中）小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔一段时间看到的里程碑上的数（单位：公里）如下：
如果设小明9：00时看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y．那么：
（1）小明9：00时看到的两位数为 ；
（2）小明9：48时看到的两位数为 ；11：00时看到的两位数为 ；
（3）请你列二元一次方程求小明在9：00时看到里程碑上的两位数．
【分析】（1）、（2）根据一个两位数＝十位数字×10+个位数字；
（3）表示出摩托车的速度，根据车速不变列方程组求解即可．
【解答】解：（1）9：00时，两位数可表示为10x+y；
故答案为：10x+y．
（2）9：48时，两位数可表示为10y+x；11：00看到的数字可表示为：100x+y；
故答案为：10y+x；100x+y．
（3）根据题意得；x+y=6100x+y-(10x+y)120=10y+x-(10x+y)48．
解得：x=1y=5
∴小明在9：00时看到里程碑上的两位数是15．
答：小明在9：00时看到里程碑上的两位数是15．
【点评】本题主要考查的是二元一次方程组的应用，根据车速不变以及两个数字的和是6列出方程组是解题的关键．
题型二 行程问题---相遇、追击问题
1．（2023秋•平桂区 期末）甲、乙二人相距6千米，二人同向而行，甲3小时可追上乙；相向而行，1小时相遇，则甲、乙二人的平均速度各是（ ）
A．3千米/时，4千米/时B．4千米/时，2千米/时
C．2千米/时，4千米/时D．4千米/时，3千米/时
【分析】设甲的平均速度为x千米/小时，乙的平均速度为y千米/小时，根据“甲、乙二人相距6千米，二人同向而行，甲3小时可追上乙；相向而行，1小时相遇”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设甲的平均速度为x千米/小时，乙的平均速度为y千米/小时，
依题意得：3x-3y=6x+y=6，
解得：x=4y=2，
∴甲的平均速度为4千米/小时，乙的平均速度为2千米/小时．
故选：B．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
2．（2023春•新乐市校级月考）小王沿街匀速行走，发现每隔12分钟从背后驶过一辆8路公交车，每隔4分钟从迎面驶来一辆8路公交车．已知每辆8路公交车的行驶速度相同，且每相邻的两辆8路公交车相距1200米，则8路公交车的行驶速度为（ ）
A．100m/分钟．B．200m/分钟C．300m/分钟D．400m/分钟
【分析】设8路公交车的速度是a米/分，小王沿街匀速行走的速度是b米/分，每隔t分钟发一班车，则两辆车之间的距离为at米，由题意：每隔12分钟从背后驶过一辆8路公交车，每隔4分钟从迎面驶来一辆8路公交车．列出方程组，求出t的值，即可解决问题．
【解答】解：设8路公交车的速度是a米/分，小王沿街匀速行走的速度是b米/分，发车间隔的时间为t分钟，
则两辆车之间的距离为at米，
由题意得：12(a-b)=at4(a+b)=at，
解得：t＝6，
即发车间隔的时间是6分钟，
∴8路公交车的行驶速度为1200÷6＝200（m/分钟），
故选：B．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，找出等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
3．（2024春•仁寿县期中）甲、乙两人从相距18千米的两地同时出发，相向而行，经95小时相遇．如果甲比乙先出发23小时，那么在乙出发后经32小时两人相遇．求甲、乙两人的速度．
【分析】根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得甲、乙两人的速度．
【解答】解：设甲、乙两人的速度分别为x千米/小时、y千米小时，
95(x+y)=1823x+32(x+y)=18，
解得，x=4.5y=5.5，
答：甲、乙两人的速度分别为4.5千米/小时、5.5千米/小时．
【点评】本题考查二元一次方程组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组，求出甲、乙两人的速度．
4．（2024春•铁东区期末）甲、乙两人同时同地练习跑步，如果甲让乙先跑5m，那么甲跑5s追上乙；如果让乙先跑2s，那么甲跑6s追上乙．求甲、乙两人的速度．
【分析】设甲每秒跑x米，乙每秒跑y米，根据甲让乙先跑5米，甲跑5秒就追上乙；甲让乙先跑2秒，甲跑6秒就追上乙，列方程组解答即可．
【解答】解：设甲每秒跑x米，乙每秒跑y米，由题意得
5(x-y)=56x-(6+2)y=0，
解得：x=4y=3
答：甲每秒跑4米，乙每秒跑3米．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
5．甲、乙两人从同一地点出发，同向而行，甲乘车，乙步行．如果乙先走20km，那么甲用1小时就能追上乙；如果乙先走1小时，那么甲只用15分钟就能追上乙，求甲、乙二人的速度．
【分析】设甲的速度是x千米/时，乙的速度为y千米/时，根据如果乙先走20km，那么甲1小时就能追上乙可以列出方程x＝20+y，根据乙先走1小时，甲只用15分钟就能追上乙可以列出方程0.25x＝（1+0.25）y，联立列方程组求解即可．
【解答】解：设甲的速度是x千米/时，乙的速度为y千米/时，
由题意得，x=20+y0.25x=(1+0.25)y，
解得：x=25y=5，
答：甲的速度是25千米/时，乙的速度为5千米/时．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，此题是一个行程问题，主要考查的是追及问题，根据路程＝速度×时间即可列出方程组．
6．甲、乙两人在400米的环形跑道上同一起点同时背向起跑，40秒后相遇，若甲先从起跑点出发，半分钟后，乙也从该点同向出发追赶甲，再过3分钟后乙追上甲，求甲、乙两人的速度．
【分析】设甲、乙二人的速度分别为xm/s，ym/s，根据：相向而行时甲的路程+乙的路程＝400，同向而行时甲的路程＝乙的路程，列方程组求解即可．
【解答】解：设甲、乙二人的速度分别为xm/s，ym/s，根据题意列方程为：
40x+40y=400210x=180y，
解得：x=6013y=7013，
答：甲的速度分别为6013m/s，乙的速度分别为7013m/s．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，根据相向而行路程之和等于两地间距离、同向而行俩人路程相等列方程是关键．
7．（2023春•新野县期中）A、B两地相距3千米，甲从A地出发步行到B地，乙从B地出发步行到A地，两人同时出发，20分钟后相遇，又经过10分钟后，甲所余路程为乙所余路程的2倍，求两人的速度．
【分析】这是行程问题中的相遇问题，三个基本量：路程、速度、时间．关系式为：路程＝速度×时间．题中的两个等量关系是：13小时×甲的速度+13小时×乙的速度千米，3千米-12小时×甲的速度＝2倍的（3千米-12小时×乙的速度）．
【解答】解：20分钟=13小时，
设甲的速度是x千米/时，乙的速度是y千米/时．
由题意得：13x+13y=3(3-12x)=2(3-12y)，
解得：x=4y=5，
答：甲的速度是4千米/时，乙的速度是5千米/时．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
题型三 行程问题---航行问题
1．（2023•市北区校级开学）若一艘轮船沿江水顺流航行120km需用3小时，它沿江水逆流航行60km也需用3小时，设这艘轮船在静水中的航速为xkm/h，江水的流速为ykm/h，则根据题意可列方程组为（ ）
A．3x-y=603x+y=120B．3(x+y)=1203(x-y)=60
C．3(x-y)=1203(x+y)=60D．3x+y=603x-y=120
【分析】根据“顺流航行120km需用3小时，它沿江水逆流航行60km也需用3小时”建立方程，即可得出答案．
【解答】解：根据题意，得3(x+y)=1203(x-y)=60．
故选：B．
【点评】此题是由实际问题抽象出二元一次方程组，主要考查了水流问题，找到相等关系是解本题的关键．
2．（2023秋•铜仁市期末）解诗谜：悟空顺风探妖踪，千里只用四分钟；归时四分行六百，试问风速是多少？题目的意思是：孙悟空追寻妖精的行踪，去时顺风，1000里只用了4分钟；回来时逆风，4分钟只走了600里，试求风的速度为 ．
【分析】设孙悟空的速度为x里/分钟，风速为y里/分钟，根据顺风4分钟飞跃1000里及逆风4分钟走了600里，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可．
【解答】解：设孙悟空的速度为x里/分钟，风速为y里/分钟，
依题意，得4(x+y)=10004(x-y)=600，
解得x=200y=50．
答：风的速度为50里/分钟．
故答案为：50里/分钟．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
3．（2023春•蓬江区校级月考）已知A市至B市的航线长1200km，一架飞机从A市顺风飞往B市，需要2小时30分，从B市逆风飞往A市需3小时20分．求飞机的速度与风速．
【分析】根据题意找到等量关系：（飞机的速度+风速）×顺风飞行的时间＝1200km，（飞机的速度﹣风速）×逆风飞行的时间＝1200km，设飞机的速度为xkm/h，风速为ykm/h，根据提示2中的等量关系列出方程组求解即可．
【解答】解：设飞机的速度为xkm/h，风的速度为ykm/h．
可列方程组212(x+y)=1200313(x-y)=1200，
化简得x+y=800x+y=360，
解得x=420y=60，
答：飞机的速度为420km/h，风速为60km/h．
【点评】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意找出等量关系是解题的关键．
4．（2023秋•竞秀区校级月考）A、B两地相距80千米．一艘船从A地出发，顺水航行4小时到B地；而从B地出发，逆水航行5小时到A地．已知船顺水航行、逆水航行的速度分别为船在静水中的速度与水流速度的和与差，求船在静水中的速度和水流速度．
【分析】设船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时，根据一艘船从A地出发，顺水航行4小时到B地；而从B地出发，逆水航行5小时到A地列出方程组解答问题即可．
【解答】解：设船在静水中的速度为x千米/小时，水流速度为y千米/小时，由题意得
4(x+y)=805(x-y)=80，
解得x=18y=2．
答：船在静水中的速度为18千米/小时，水流速度为2千米/小时．
【点评】此题考查二元一次方程组的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键．
5．已知某江上游甲地到下游乙地相距360千米，一轮船往返于甲、乙两地之间，此轮船现由甲地顺流而下到达乙地用18小时，由乙地逆流而上到达甲地用24小时，求此轮船在静水中的速度以及此江水流的速度．
【分析】本题中的等量关系有2个：顺流时间×顺流速度＝总路程；逆流时间×逆流速度＝总路程，据此可列方程组求解．
【解答】解：设船在静水中的速度为x，水流速度为y．
18(x+y)=36024(x-y)=360化简得x+y=20x-y=15，
解得：x=17.5y=2.5．
答：此轮船在静水中的速度为17.5千米/小时，此江水流的速度为2.5千米/小时．
【点评】考查了二元一次方程组的应用，此类行程问题找等量关系是关键，但“静水速度+水流速度＝顺水速度，静水速度﹣水流速度＝逆流速度”这一关系式也必须掌握．
6．（20223春•安居区月考）一艘货轮往返于上下游两个码头之间，逆流而上需要48小时，顺流而下需要32小时，若水流速度为8千米/时，则两码头之间的距离是多少千米？
【分析】设两码头之间的距离为x千米，货轮的速度为y千米/小时，根据逆流而上需要48小时，顺流而下需要32小时，列方程组求解．
【解答】解：设两码头之间的距离为x千米，货轮的速度为y千米/小时，
由题意得，48(y-8)=x32(y+8)=x，
解得：x=1536y=40．
答：两码头之间的距离为1536千米．
【点评】考查了二元一次方程组的应用，此类行程问题找等量关系是关键，但“静水速度+水流速度＝顺水速度，静水速度﹣水流速度＝逆流速度”这一关系式也必须掌握．
7．（2023春•巴南区月考）今年“五一黄金周”，长江三峡沿途旅游再一次风靡全国，其中忠县石宝寨风景区更是人山人海．“联盟号豪华旅游客轮”在相距约270千米的重庆、石宝寨两地之间匀速航行，从重庆到石宝寨顺流航行需9小时，石宝寨到重庆逆流航行比顺流航行多用4.5小时．
（1）求该客轮在静水中的速度和水流速度；
（2）若在重庆港口、石宝寨两地之间需建新码头便于游客休息观光，使该客轮从重庆港到该码头和从石宝寨到该码头所用的航行时间相同，问重庆港与该码头两地相距多少千米．
【分析】（1）设该客轮在静水中的速度是x千米/小时，水流速度是y千米/小时，根据路程＝速度×时间，列出二元一次方程组，解方程组即可；
（2）设从重庆港到该码头两地相距a千米，则从石宝寨到该码头两地相距（270﹣a）千米，根据时间＝路程÷速度，列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）设该客轮在静水中的速度是x千米/小时，水流速度是y千米/小时，
依题意得：9(x+y)=270(9+4.5)(x-y)=270，
解得：x=25y=5，
答：该客轮在静水中的速度是25千米/小时，水流速度是5千米/小时；
（2）设从重庆港到该码头两地相距a千米，则从石宝寨到该码头两地相距（270﹣a）千米，
依题意得：a25+5=270-a25-5，
解得：a＝162，
答：重庆港与该码头两地相距162千米．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
题型四 行程问题---环形跑道问题
1．（2023•重庆模拟）某体育场的环形跑道长400米，甲、乙同时从同一起点分别以一定的速度练习长跑和骑自行车．如果反向而行，那么他们每隔30秒相遇一次；如果同向而行，那么每隔80秒乙就追上甲一次．甲、乙的速度分别是多少？设甲的速度是x米/秒，乙的速度是y米/秒，则列出的方程组是（ ）
A．30(x+y)=40080(y-x)=400 B．30(y-x)=40080(x+y)=400
C．30(x+y)=40080(x-y)=400 D．30(x-y)=40080(x+y)=400
【分析】此题中的等量关系有：
①反向而行，则两人30秒共走400米；
②同向而行，则80秒乙比甲多跑400米．
【解答】解：①根据反向而行，得方程为30（x+y）＝400；
②根据同向而行，得方程为80（y﹣x）＝400．
那么列方程组30(x+y)=40080(y-x)=400．
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
2．（2023春·山东临沂·七年级统考期末）甲、乙两人在400米的环形跑道上练习赛跑，如果两人同时同地反向跑，经过25秒第一次相遇；如果两人同时同地同向跑，经过200秒甲第一次追上乙，求甲、乙两人的平均速度．
【分析】设甲的速度为x米/秒，乙的速度为y米/秒，根据“如果两人同时同地反向跑，经过25秒第一次相遇；如果两人同时同地同向跑，经过200秒甲第一次追上乙”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设甲的速度为x米/秒，乙的速度为y米/秒，
依题意，得：25x+25y=400200x-200y=400
解得：x=9y=7
答：甲的速度为9米/秒，乙的速度为7米/秒．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
3．甲、乙两人在400米的环形跑道上同一起点同时背向起跑，40秒后相遇，若甲先从起跑点出发，半分钟后，乙也从该点同向出发追赶甲，再过3分钟后乙追上甲，求甲、乙两人的速度．
【分析】设甲、乙二人的速度分别为xm/s，ym/s，根据：相向而行时甲的路程+乙的路程＝400，同向而行时甲的路程＝乙的路程，列方程组求解即可．
【解答】解：设甲、乙二人的速度分别为xm/s，ym/s，根据题意列方程为：
40x+40y=400210x=180y，
解得：x=6013y=7013，
答：甲的速度分别为6013m/s，乙的速度分别为7013m/s．
【点评】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，根据相向而行路程之和等于两地间距离、同向而行俩人路程相等列方程是关键．
4．（2023春•昆明期末）甲、乙两名同学都以不变的速度在环形路上跑步，如果同时同地出发，反向而行，每隔32分钟相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔92分钟快的追上慢的一次．已知甲比乙跑得快，求甲、乙两名同学每分钟各跑多少圈？
【分析】设甲每分钟跑x圈，乙每分钟跑y圈，由题意：如果同时同地出发，反向而行，每隔32分钟相遇一次；如果同时同地出发，同向而行，每隔92分钟快的追上慢的一次．已知甲比乙跑得快，列出方程组，解方程组即可．
【解答】解：设甲每分钟跑x圈，乙每分钟跑y圈，
依题意，得：32(x+y)=192(x-y)=1，
解得：x=49y=29，
答：甲每分钟跑49圈，乙每分钟跑29圈．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
5．甲、乙二人在一环形场地上从A点同时同向匀速跑步，甲的速度是乙的2.5倍，4分钟两人首次相遇，此时乙还需要跑300米才跑完第一圈，求甲、乙二人的速度及环形场地的周长．
【分析】设乙的速度为x米/分，则甲的速度为2.5x米/分，环形场地的周长为y米，根据环形问题的数量关系，同时、同地、同向而行首次相遇快者走的路程﹣慢者走的路程＝环形周长建立方程求出其解即可．
【解答】解：设乙的速度为x米/分，则甲的速度为2.5x米/分，环形场地的周长为y米，由题意，得
2.5x×4-4x=y4x+300=y，
解得：x=150y=900，
乙的速度为：150米/分，
甲的速度为：2.5×150＝375米/分；
答：乙的速度为150米/分，甲的速度为375米/分，环形场地的周长为900米．
【点评】本题考查了列二元一次方程组解环形问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时运用环形问题的数量关系建立方程是关键．
6．在400米的环形跑道上，甲、乙两人从同一起点同时出发做匀速运动，若反向而行，40秒后两人第一次相遇；若同向而行，200秒后甲第一次追上乙．
（1）你能求出甲、乙两人的速度吗？
（2）若甲、乙同向而行时，丙也在跑道上匀速前行，且与甲、乙的方向一致，出发后20秒甲追上丙，出发后100秒乙追上丙，请问出发时，丙在甲、乙前方多少米？丙的速度是多少？
【分析】（1）设甲、乙两人的速度分别为：x米/秒，y米/秒；根据题意列方程组即可得到结论；
（2）设丙在甲乙前方a米，丙的速度是m米/秒，根据题意列方程组即可得到结论．
【解答】解：（1）设甲、乙两人的速度分别为：x米/秒，y米/秒；
根据题意得，40(x+y)=400200(x-y)=400，
解得：x=6y=4，
答：甲、乙两人的速度分别为：6米/秒，4米/秒；
（2）设丙在甲乙前方a米，丙的速度是m米/秒，
根据题意得，20(6-m)=a100(4-m)=a，
解得：m=3.5a=50，
答：丙在甲乙前方50米，丙的速度是3.5米/秒．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，正确的理解题意是解题的关键．
7．小亮和小莹练习赛跑，如果小亮先让小莹跑3秒，那么小亮跑6秒就能追上小莹；如果小亮让小莹先跑20米，那么小亮跑10秒就追上小莹．
（1）两人每秒各跑多少米；
（2）在400米环形跑道上，两人从同一起点相向跑，第一次相遇时，用是多少秒．
【分析】（1）设小莹每秒跑x米，小亮每秒跑y米，根据题意可得，小亮10秒比小莹多跑20米，小莹跑9秒跟小亮跑6秒的路程相等，据此列方程组求解；
（2）利用在400米环形跑道上，两人从同一起点相向跑，得出两人跑的距离差为400进而得出答案．
【解答】解：（1）设小莹每秒跑x米，小亮每秒跑y米，
由题意得，10x+20=10y9x=6y，
解得：x=4y=6，
答：小莹每秒跑4米，小亮每秒跑6米；
（2）设a秒时两人第一次相遇，根据题意可得：
6a﹣4a＝400，
解得：a＝200．
答：200秒时两人第一次相遇．
【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用以及二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组求解．
题型五 年龄问题
1．今年哥哥的年龄是妹妹的2倍，2年前哥哥的年龄是妹妹的3倍，求今年哥哥和妹妹的年龄．设哥哥今年x岁，妹妹今年y岁，得到的方程组（ ）
A．x+2=3(y+2)，x=2y.B．x-2=3(y-2)，x=2y.
C．x+2=2(y+2)，x=3y．D．x-2=3(y-2)，x=3y．
【分析】设今年哥哥x岁，妹妹y岁，根据今年哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍，可得x＝2y，再根据2年前哥哥的年龄是妹妹年龄的3倍可得x﹣2＝3（y﹣2），进而可得答案．
【解答】解：设今年哥哥x岁，妹妹y岁，由题意得：
x=2yx-2=3(y-2)．
故选：B．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
2．（2023春•滨州期末）甲比乙大15岁，5年前甲的年龄是乙的年龄的2倍，则乙现在的年龄
是（ ）
A．10岁B．15岁C．20岁D．30岁
【分析】设甲现在的年龄是x岁，乙年龄为y岁，根据甲比乙大15岁，5年前甲的年龄是乙的年龄的2倍，列出方程组解答即可．
【解答】解：甲现在的年龄是x岁，乙年龄为y岁，
根据题意得：
x-y=15x-5=2(y-5)
解得：x=35y=20，
答：乙现在的年龄是20岁．
故选：C．
【点评】此题考查了二元一次方程的应用，找出题中的等量关系是解本题的关键．
3．（2024春•海曙区期中）甲对乙说：“当我岁数是你现在的岁数时，你才4岁．”乙对甲说：“当我的岁数是你现在岁数时，你61岁．”则乙现在为 岁．
【分析】设甲现在x岁，乙现在y岁，根据甲、乙年龄之间的关系，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】解：设甲现在x岁，乙现在y岁，
依题意，得：y-(x-y)=4x+(x-y)=61，
解得：x=42y=23．
故答案为：23．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
4．（2023春·七年级课时练习）爸爸、妈妈、我、妹妹，四人今年的年龄之和是101岁，爸爸比妈妈大1岁，我比妹妹大6岁，十年前，我们一家的年龄之和是63岁，今年爸爸的年龄是（ ）
A．38岁B．39岁C．40岁D．41岁
【分析】由题意得：妹妹今年的年龄为8岁，我今年的年龄为14岁，设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁，再由题意：一家四口人的年龄加在一起是101岁，爸爸比妈妈大1岁，列出方程组，解方程组即可．
【解答】解：现在一家四口人的年龄之和应该比十年前全家人年龄之和多40岁，
但实际上101-63=38（岁），说明十年前妹妹没出生，
则妹妹今年的年龄为10-(40-38)=8（岁），我的年龄为6+8=14（岁），
设妈妈今年的年龄为x岁，爸爸今年的年龄为y岁，
由题意得：x+y+8+14=101y=x+1，
解得：x=39y=40，
即爸爸今年的年龄为40岁，
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
5．（2023春•封丘县月考）根据小头爸爸与大头儿子的对话，求出大头儿子现在的年龄．
小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁．
大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁．
【分析】设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，由题意：小头爸爸：儿子，现在我的年龄比你大23岁．大头儿子：5年后，您的年龄比我的年龄的2倍还多8岁．列出二元一次方程组，解方程组即可．
【解答】解：设大头儿子现在的年龄是x岁，爸爸的年龄是y岁，
由题意得：y=x+23y+5=2(x+5)+8，
解得：x=10y=33，
答：大头儿子现在的年龄为10岁．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
6．（2023•南陵县自主招生）已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，求甲、乙现在的年龄的差．
【分析】甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，由题意：甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，列出二元一次方程组，即可解决问题．
【解答】解：甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，
由题意可得：x-y=y-10x-y=25-x，
即x-2y=-102x-y=25，
由此可得，3（x﹣y）＝15，
∴x﹣y＝5，
即甲、乙现在的年龄的差为5岁．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7．（2024•中原区校级模拟）老张问小李年龄，小李问老张，老张说：“当你像我这么大时，咱们的年龄和是72岁；当我像你这么大时，你的年龄是我现在年龄的五分之一”问：老张和小李现在的年龄和多少？
【分析】设小李现在的年龄是x岁，老张现在的年龄是y岁，根据两人年龄间的关系，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，再将其代入x+y中，即可求出结论．
【解答】解：设小李现在的年龄是x岁，老张现在的年龄是y岁，
根据题意得：y+(y+y-x)=72x-(y-x)=15y，
解得：x=18y=30，
∴x+y＝18+30＝48．
答：老张和小李现在的年龄和48岁．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
题型六 分段计费问题
1．（2023春•肥城市期末）某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每月用水量不超过15吨（含15吨）时，每吨按政府补贴优惠价收费；每月超过15吨时，超过部分每吨按市场调节价收费．小明家1月份用水23吨，交水费88.5元，2月份用水19吨，交水费70.5元．
（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少？
（2）小明家3月份用水25吨，他家应交水费多少元？
【分析】（1）设每吨水的政府补贴优惠价是x元，市场调节价是y元，根据“小明家1月份用水23吨，交水费88.5元，2月份用水19吨，交水费70.5元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价；
（2）利用小明家3月份应交水费＝15×3.5+超过15吨的部分×4.5，即可求出小明家3月份应交水费的金额．
【解答】解：（1）设每吨水的政府补贴优惠价是x元，市场调节价是y元，
依题意得：15x+(23-15)y=88.515x+(19-15)y=70.5，
解得：x=3.5y=4.5．
答：每吨水的政府补贴优惠价是3.5元，市场调节价是4.5元．
（2）15×3.5+（25﹣15）×4.5
＝15×3.5+10×4.5
＝52.5+45
＝97.5（元）．
答：小明家3月份用水25吨，他家应交水费97.5元．
【点评】此题考查了二元一次方程组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
2．为了加强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节约用水的目的，规定：每户居民每月用水不超过15m3时，按基本价格收费；超过15m3时，不超过的部分仍按基本价格收费，超过的部分要加价收费，该市某户居民今年4、5月份的用水量和水费如表所示：
（1）求该市居民用水的两种收费价格；
（2）若该居民6月份交水费80元，那么该居民这个月水量为多少m3．
【分析】（1）分两种情况：当x＜6时；当x＞6时；求得用户用水为x立方米时的水费；
先判断这个月一定超过15立方米，再根据等量关系：15立方米的水费+超过15立方米的水费=80元，列出方程求解即可.
【解答】解：（1）设基本水费价格为：x元/m3，超过的部分水费价格为：y元/m3，
15x+y=5015x+5y=70， 解得： x=3y=5，
答：基本水费价格为：3元/m3，超过的部分水费价格为：5元/m3；
（2）∵3×15=45＜80（元），
∴这个月一定超过15立方米，
则15×3+5（a﹣15）=80， 解得：a=22．
答：这个月该用户用水22立方米．
【点评】此题考查了二元一次方程组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
3．某城市规定：出租车起步价允许行驶的最远路程为3千米，超过3千米的部分按每千米另行收费，甲说：“我乘这种出租车走了11千米，付了20元”；乙说：“我乘这种出租车走了23千米，付了38元”．请你算一算这种出租车的起步价是多少元？以及超过3千米后，每千米的车费是多少元？
【分析】首先根据题意设出未知数，找出其中的相等关系：①出租车走了11千米，付了20元；
②出租车走了23千米，付了38元，列出方程组，解出得到答案.
【解答】解：设出租车的起步价是x元，超过3千米后，每千米的车费是y元，
由题意得：x+(11-3)y=20x+(23-3)y=38
解得：x=8y=1.5
答：出租车的起步价是8元，超过3千米后，每千米的车费是1.5元．
【点评】此题考查了二元一次方程组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
4．先阅读下列一段文字，然后解答问题．
某运输部分规定：办理托运，当物品的重量不超过16kg时，需付基础费30元和保险费a元；为限制过重物品的托运，当物品的重量超过16kg时，除了付以上基础费和保险费外，超过部分每千克还需付b元超重费．设某件物品的重量为x（kg）．
当x≤16时，支付费用为 元（用含a的代数式表示）；当x＞16时，支付费用
为 元（用含x和a，b的代数式表示）；
（2）甲、乙两人各托运一次物品，物品的重量和支付费用如表所示：
试根据以上提供的信息确定a，b的值．
【分析】（1）当x≤16时，只需付基础费30元+保险费a元，所以支付费用为（a+30）元；当x＞16时，需付费用为基础费30元+保险费a元+超重费，即[a+30+（x﹣16）b]元．
（2）结合表格，根据当x＞16时，需付费用为基础费30元+保险费a元+超重费，列方程组求解．
【解答】解：（1）当x≤16时，支付的费用为：a+30；
当x＞16时，支付的费用为：a+30+（x﹣16）b．
故答案为：a+30，a+30+（x﹣16）b；
（2）①由题意得a+30+(18-16)b=38a+30+(25-16)b=53，
解得：a=267b=157．
【点评】本题考查了二元一次方程组，准确地找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．
5．（2023秋•宣州区期末）为响应国家节能减排的号召，鼓励居民节约用电，各省市先后出台了“阶梯价格”制度，如表中是某市的电价标准（每月）
（1）已知陈女士家三月份用电256度，缴纳电费154.56元，四月份用电318度，缴纳电费195.48元请你根据以上数据，求出表格中的a，b的值．
（2）5月份开始用电增多，陈女士缴纳电费280元，求陈女士家5月份的用电量．
【分析】（1）根据各档的电费价格和所用的电数以及所缴纳电费，列出方程组，进行求解即可；
（2）根据题意先判断出陈女士所用的电所在的档，再设陈女士家五月份用电量为m度，根据价格表列出等式，求出m的值即可．
【解答】解：（1）由题意得：180a+(256-180)b=154.56180a+(318-180)b=195.48，
解得：a=0.58b=0.66，
答：a的值是0.58，b的值是0.66；
（2）∵180×0.58+（400﹣180）×0.66＝249.6＜280，
∴5月份陈女士家用电量超过400度．
设陈女士家五月份用电量为m度，根据题意得：
249.6+（m﹣400）×0.95＝280，
解得：m＝432
答：陈女士家5月份的用电量为432度．
【点评】此题考查了二元一次方程组的应用和一元一次方程的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系．
6．（2024春•越秀区校级期中）为了鼓励市民节约用水，某市居民生活用水按阶梯式水价计费，如表是该市居民“一户一表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分：（水价计费＝自来水销售费用+污水处理费用）
已知小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元．
（1）求a，b的值；
（2）6月份小王家用水32吨，应交水费多少元；
（3）若林芳家7月份缴水费303元，她家用水多少吨？
【分析】（1）根据小王家2012年4月份用水20吨，交水费66元；5月份用水25吨，交水费91元．即可得出关于a、b的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）利用总价＝单价×数量，结合阶梯式水价计费价格表，列式计算即可；
（3）设林芳家7月份用水x吨，根据林芳家7月份缴水费303元，列出一元一次方程，解方程即可．
【解答】解：（1）依题意得：17a+(20-17)b+0.8×20=6617a+(25-17)b+0.8×25=91，
解得：a=2.2b=4.2，
答：a的值为2.2，b的值为4.2；
（2）17×2.2+（30﹣17）×4.2+（32﹣30）×6+32×0.8＝129.6（元），
答：应交水费129.6元；
（3）由（2）可知，用水32吨应交水费129.6元，
∵303＞129.6，
∴林芳家7月份用水超过30吨，
设林芳家7月份用水x吨，
由题意得：（30﹣17）×4.2+17×2.2+（x﹣30）×6+0.8x＝303，
解得：x＝57.5，
答：林芳家7月份用水57.5吨．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出二元一次方程组和一元一次方程是解题的关键．
解题技巧提炼
对于数字问题，一般设某位上的数字，而不是直接设某数是多少，用到的是间接设未知数的方法，同时要注意两位（或三位）数的表示方法.
时刻
9：00
9：48
11：00
里程碑上的数
是一个两位数，它的两个数字之和为6
也是一个两位数，十位与个位数字与9：00时所看到的正好互换了
是一个三位数，比9：00时看到的两位数的数字中间多了个0
解题技巧提炼
行程问题中的基本关系式是：路程＝速度×时间.
相遇问题常用到的等量关系：甲行的路程+乙行的路程=两地间的路程.
追及问题常用到的等量关系：快者路程－慢者行程=追及的路程.
解题技巧提炼
航行问题：
顺流速度=静水速度＋水流速度； 逆流速度=静水速度－水流速度.
顺风速度=无风速度＋风速； 逆风速度=无风速度－风速.
往返于A、B两地时，顺流（风）航程=逆流（风）航程
解题技巧提炼
环形跑道问题：
同相向而行的等量关系:乙程-甲程=跑道长；
背向而行的等量关系:乙程+甲程=跑道长.
解题技巧提炼
二元一次方程组解决年龄问题的基本关系是抓住两个人年龄的增长数相等。年龄问题的特点是：时间发生变化，年龄在增长，但是年龄差始终不变．年龄问题往往是“和差”、“差倍”等问题的综合应用，解题时，我们一定要抓住年龄差不变这个解题关键.
解题技巧提炼
列二元一次方程组解分段计费问题，常见的等量关系有：总收费=标准内收费＋标准外收费，解题的关键是弄清某次收费包含哪几段费用.
月份
用水量/m3
水费/元
4
16
50
5
20
70
物品的重量（kg）
支付费用（元）
18
38
25
53
阶梯
电量x（单位：度）
电费价格（单位：元/度）
一档
0＜x≤180
a
二档
180＜x≤400
b
三档
x＞400
0.95
每户每月用水量
污水处理价格（单价：元/吨）
自来水销售价格（单价：元/吨）
17吨及以下
a
0.80
超过17吨不超过30吨的部分
b
0.80
超过30吨的部分
6.0
0.80