2024-2025学年河北省保定市唐县一中高一（下）期末数学试卷（含答案）

这是一份2024-2025学年河北省保定市唐县一中高一（下）期末数学试卷（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1.设z=11+i+i，则|z|=( )
A. 12B. 22C. 32D. 2
2.已知事件A，B相互独立，且P(A−)=13，P(B)=14，则P(AB)=( )
A. 16B. 112C. 13D. 23
3.如图，在四边形ABCD中，DC=2AB，BE=3EC，设DC=a，DA=b，则DE等于( )
A. 78a+13b
B. 34a+13b
C. 78a+14b
D. 34a+14b
4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若B=π6，b= 3，a=3，则c=( )
A. 3或2 3B. 2 3C. 3D. 3
5.已知向量a，b满足(a−2b)⋅(a+b)=3，且|a|=2，|b|=1，则a与b的夹角为( )
A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°
6.某校期中考试后，为分析100名高三学生的数学学习情况，整理他们的数学成绩得到如图所示的频率分布直方图.则下列结论错误的是( )
A. 估计数学成绩的众数为75
B. a=0.05
C. 估计数学成绩的75百分位数约为85
D. 估计成绩在80分及以上的学生的平均分为87.50
7.甲、乙两人组成“星队”参加必修一数学知识竞答，每轮竞答由甲、乙各答一题，已知甲每轮答对的概率为35，乙每轮答对的概率为23.在每轮竞答中，甲和乙答对与否互不影响，各轮结果也互不影响，则“星队”在两轮竞答中答对3道题目的概率为( )
A. 3875B. 2875C. 415D. 1475
8.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，PA=PB=4，PC=PD=2 2，该棱锥的高为( )
A. 1
B. 2
C. 2
D. 3
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若复数z=2+i，则下列命题是真命题的是( )
A. z⋅z−=5
B. zi2024=−2−i
C. 5|−i|=|z|
D. 若z是关于x的方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的根，则mn=−20
10.下列对各事件发生的概率判断正确的是( )
A. 某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为427
B. 4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为13
C. 甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到不同颜色球的概率为12
D. 设两个独立事件A和B都不发生的概率为19,A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相同，则事件A发生的概率是29
11.一块正方体形木料如图所示，其棱长为3，点P在线段A1C1上，且A1C1= 3PC1，过点P将木料锯开，使得截面过BC，则( )
A. PC⊥BD
B. 截得的两个几何体分别是三棱柱和四棱台
C. 截面的面积为6 3
D. 以点A为球心，AB长为半径的球面与截面的交线长为3π2
三、填空题：本题共3小题，共15分。
12.给出下列命题：①任意两个复数都不能比较大小；②若z=a+bi(a∈R,b∈R)，则当且仅当a=0且b=0时，z=0；③若z1，z2∈C.且z12+z22=0，则z1=z2=0；④若x+yi=1+i(x,y∈C)，则x=y=1.其中，假命题的序号有______．
13.如图，若圆台的上、下底面半径分别为r1，r2，且r1r2=3，则此圆台的内切球(与圆台的上、下底面及侧面都相切的球叫圆台的内切球)的表面积为______．
14.在平行四边形OACB中，已知A(2,2 3)，B( 3,1)，O为坐标原点，则顶点C的坐标为______，平行四边形OACB的面积是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ABC中，sin2C= 3sinC．
(Ⅰ)求∠C；
(Ⅱ)若b=6，且△ABC的面积为6 3，求△ABC的周长．
16.(本小题15分)
如图所示，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M，N分别为A1B1，A1A的中点．
(Ⅰ)求BN的长；
(Ⅱ)求A1B与B1C所成角的余弦值；
(Ⅲ)求证：BN⊥平面C1MN．
17.(本小题15分)
近些年来，我国外卖业发展迅猛，外卖骑手穿梭在城市的大街小巷，成为一道亮丽的风景线.某课外实践小组随机调查了该市的10名外卖骑手，统计他们的日单量(平均每天送的外卖单数)，数据如表：
(Ⅰ)估计该市的外卖骑手日单量大于30的概率；
(Ⅱ)求这10名外卖骑手日单量的平均数和方差；
(Ⅲ)若表中第一行数据对应的外卖骑手来自甲公司，第二行数据对应的外卖骑手来自乙公司，试判断：哪家公司的外卖骑手日单量的差异更大？(直接给出结论即可，不需要写计算过程)
18.(本小题17分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是等腰梯形，AB/​/CD，AD=AB=12CD，平面ADP⊥平面PCD，PD⊥PC．
(1)求证：AC⊥AD；
(2)求证：△ADP为直角三角形；
(3)若PC=AD=1，求四棱棱P−ABCD的体积．
19.(本小题17分)
临川二中两名优秀学子小明、小华同学独立地参加中国科技大学少科班的入学面试，入学面试时共有3道题目，答对2道题则通过面试(前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答).已知小明答对每道题目的概率均为35，小华答对每道题目的概率依次为23，23，12，且小明、小华两人对每道题能否答对相互独立.记“小明只回答2道题就结束面试”为事件A记“小华3道题都回答且通过面试”为事件B．
(1)求事件A发生的概率P(A)；
(2)求事件A和事件B同时发生的概率P(AB)；
(3)求小明、小华两人恰有一人通过面试的概率．
参考答案
1.B
2.A
3.C
4.A
5.C
6.B
7.B
8.D
9.ACD
10.AC
11.ACD
12.①③④
13.12π
14.(2+ 3,1+2 3) 4
15.解：(Ⅰ)∵sin2C= 3sinC，
∴2sinCcsC= 3sinC，
又sinC≠0，∴2csC= 3，
∴csC= 32，∵0