河北省保定市唐县第一中学2023~2024学年高一下学期7月期末考试数学试卷[附解析]

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一、单选题
1. 已知复数 （i 是虚数单位），则复数 在复平面内对应的点所在的象限为（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 设 ， ， 是互不重合的平面， ， 是互不重合的直线，给出四个命题：
①若 ， ，则 ②若 ， ，则
③若 ， ，则 ④若 ， ，则
其中正确命题的个数是（ ）
A 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 有一组样本数据：15，16，11，11，14，20，11，13，13，24，13，18，则这组样本数据的上四分位数
是（ ）
A 11 B. 12 C. 16 D. 17
4. 已知正四面体 的棱长为 1，空间中一点 满足 ，其中 ， ，
，且 .则 的最小值为（ ）
A B. C. D. 1
5. 在 中，内角 所对的边分别为 ．向量 ．若 ，则
角 C 的大小为（ ）
A B. C. D.
6. “春雨惊春清谷天，夏满芒夏暑相连，秋处露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒，每月两节不变更，最多相差一
两天.”中国农历的二十四节气，凝结着中华民族的智慧，是中国传统文化的结晶，如五月有立夏、小满，六
月有芒种、夏至，七月有小暑、大暑.现从立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑这 6 个节气中任选 2 个节
气，则这 2 个节气不在同一个月的概率为（ ）
A. B. C. D.
7. 抛掷一枚质地均匀的硬币 3 次，每一次抛掷的结果要么正面向上要么反面向上，记“第一次硬币正面向上
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”为事件 A，“三次试验恰有 1 次正面向上”为事件 B，“三次试验恰有 2 次正面向上”为事件 C，“三次试验全部正
面向上或者全部反面向上”为事件 D，则下列说法正确的是（ ）
A. A 与 B 互斥 B. A 与 D 相互独立
C. A 与 C 相互独立 D. C 与 D 对立
8. 通常以 24 小时内降水在平地上积水厚度（单位：mm）来判断降雨程度，其中小雨（ ），中雨
（ ），大雨（ ），暴雨（ ）．小明用一个近似圆台的水桶（如图，
计量单位 ）连续接了 24 小时的雨水，桶中水的高度约为桶高的 ，则当天的降雨等级是（
）
A. 小雨 B. 中雨 C. 大雨 D. 暴雨
二、多选题
9. 已知 a，b，c 分别为 三个内角 A，B，C 的对边，下列说法正确的是（ ）
A. 若 ， ， ，则 有两解
B. 若 ，则△ABC 为等腰三角形
C. 若 为锐角三角形，则
D. 若 的外接圆的圆心为 O，且 ， ，则向量 在向量 上的投影向
量为
10. 如图，在三棱柱 中，底面 为等边三角形， 为 的重心， ，
若 ，则（ ）
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A. B.
C. D.
11. 正方体 的棱长为 分别为 的中点，点 为线段 上的动点，
则下列结论正确的是（ ）
A. 直线 与 所成角的余弦值为
B. 三棱锥 的体积为定值
C. 平面 截正方体所得的截面周长为
D. 直线 与平面 所成角的正弦值为
三、填空题
12. 已知纯虚数 z 满足 ，则 z 可以是________．
13. 在一个正三棱柱中，所有棱长都为 2，各顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为________．
14. 如图，已知两座山的海拔高度 米， 米，在 BC 同一水平面上选一点 ，测得 点
的仰角为 点的仰角为 ，以及 ，则 M，N 间的距离为____________米.（结果保留整
数，参考数据 ）
四、解答题
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15. 已知 的三个内角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c，且 ．
（1）求 A；
（2）若 ，且 的面积为 ，求 的周长．
16. 在正四棱柱 中， ， 为棱 中点 ．
（1）证明 平面 ．
（2）求二面角 的正弦值．
17. 在网球比赛中，甲、乙两名选手在决赛中相遇．根据以往赛事统计，甲、乙对局中，甲获胜 频率为
，乙获胜的频率为 ．为便于研究，用此频率代替他们在决赛中每局获胜的概率．决赛采用五局三胜制，
胜者获得全部奖金．
（1）求前两局乙均获胜的概率；
（2）前 2 局打成 1：1 时，
①求乙最终获得全部奖金的概率；
②若比赛此时因故终止，有人提出按 2:1 分配奖金，你认为分配合理吗?为什么?
18. 如图，在四棱锥 中，底面 为正方形， 平面 为线段
的中点， 为线段 （不含端点）上的动点.
（1）证明：平面 平面 ；
（2）是否存在点 ，使二面角 的大小为 ？若存在，求出 的值，若不存在，请说明理
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由.
19. 著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（1601－1665）于 1643 年提出的平面几何极值问题：“已知
一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”费马问题中的所求点称为费马点，已
知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC 的三个内角均小于 120°时，则使得
的点 P 即为费马点．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 ，且
．若 是 的“费马点”， ．
（1）求角 ；
（2）若 ，求 的周长；
（3）在（2）的条件下，设 ，若当 时，不等式
恒成立，求实数 的取值范围．
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