重庆市南坪中学校2024-2025学年高一下学期5月月考 数学试题（含解析）

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满分：150分 考试时间：120分钟
第I卷（选择题 共58分）
一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知复数，则复数共轭复数的虚部为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知，，，则与的夹角为（ ）.
A. B. C. D.
3. 的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c．已知，，，则（ ）
A. B. C. 或D. 或
4. 如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，下列结论不正确的是（ ）

A. 圈柱的侧面积为
B. 圆柱的侧面积与球面面积相等
C. 圆锥的侧面积为
D. 三个几何体的表面积中，球的表面积最小
5. 若角的终边经过点，则（ ）
A. B. C. D.
6. 在中，内角所对的边分别是，若的面积为，则（ ）
A. B. C. D.
7. 在中，，是的中点，与交于点，若，则（ ）
A. B. C. D. 1
8. 在三棱锥中，底面为斜边等腰直角三角形，顶点S在底面上的射影为的中点．若，为线段上的一个动点，则的最小值为（ ）
A B. C. D.
二．多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，部分选对按比例得分，错选0分）
9. 设为两个平面，m、n为两条直线，且.下述四个命题为真命题的有（ ）
A. 若，则且
B. 若，则n平行于平面α内无数条直线
C. 若且，则
D. 若n在平面外，则m与n平行或异面
10. 下列命题中正确的是（ ）
A. 函数且的图象恒过定点
B. 命题：“”的否定是“”
C. 函数既是偶函数，又在上单调递增
D. 若函数，则
11. 已知锐角，角所对应边分别为，下列命题正确的是（ ）
A. “”是“”的必要不充分条件
B. 若，则是等腰三角形
C. 若，则的取值范围
D. 若，则的取值范围
三．填空题（本大题共3小题，1每小题5分，共15分，双空题第1空2分，第2空3分）
12. 已知，则________．（用a表示）
13. 四面体中， ，M、N分别为的中点，， 则异面直线AC与BD所成的角是_______.
14. 如图所示，有一块三角形的空地，已知千米，AB＝4千米，则∠ACB＝________；现要在空地中修建一个三角形的绿化区域，其三个顶点为B，D，E，其中D，E为AC边上的点，若使，则BD＋BE最小值为________平方千米．
四、解答题（本大题共5个大题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15. 已知是一元二次方程的一个复数根．
（1）求的值；
（2）若为纯虚数，求．
16. 由直四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形ABCD为平行四边形，O为AC与BD的交点.
（1）求证：平面；
（2）求证：平面平面；
（3）设平面与底面ABCD的交线为l，求证：.
17. 在中，角、、的对边分别为、、，已知.
（1）若的面积为，求的值；
（2）设，，且，求的值.
18. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点.

（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求三棱锥的体积.
19. 如图，中，，，点在线段上，为等边三角形.

（1）若，，求线段的长度;
（2）若，求线段最大值;
（3）若平分，求与内切圆半径之比的取值范围.