山西省大同市浑源县第七中学校2023−2024学年高一下学期期末考试 数学试题（含解析）

这是一份山西省大同市浑源县第七中学校2023−2024学年高一下学期期末考试 数学试题（含解析），共12页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共8小题）
1．某公司生产甲、乙、丙三种型号的吊车，产量分别为120台，600台和200台，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46台进行检验，则抽到乙种型号的吊车有（ ）
A．6台B．10台C．20台D．30台
2．一组数据从小到大的顺序排列如下：9，10，12，15，17，18，22，26，经计算，则分位数是（ ）
A．18B．20C．21D．22
3．某网站为了了解某“跑团”每月跑步的平均里程，收集并整理了2019年1月至2019年11月期间该“跑团”每月跑步的平均里程（单位：公里）的数据，绘制了下面的折线图．根据折线图，下列结论正确的是（ ）
A．月跑步平均里程的中位数为6月份对应的里程数
B．月跑步平均里程逐月增加
C．月跑步平均里程高峰期大致在8．9月份
D．1月至5月的月跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳
4．若数据的平均数为a，数据，则数据的平均数为（ ）
A．aB．2+aC．2D．2a
5．打靶3次，事件Ai表示“击中i发”，其中i＝0，1，2，3.那么事件A＝A1∪A2∪A3表示（ ）
A．全部击中B．至少击中1发C．都未击中D．击中3发
6．已知为随机事件，与互斥，与互为对立，且，则（ ）
A．0.2B．0.5C．0.6D．0.9
7．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、黄、白、蓝4种颜色的运动服中选择1种，则他们选择不同颜色运动服的概率为（ ）
A．B．C．D．
8．投掷两枚骰子，分别得到点数a，b，向量与向量的夹角为锐角的概率为（ ）
A．B．C．D．
二、多选题（本大题共4小题）
9．下列抽样方法是简单随机抽样的有（ ）
A．从20名同学中随机抽取5名同学参加义务劳动
B．从20个零件中一次性抽取3个进行质量检验
C．某班45名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的某项活动
D．中国福利彩票30选7，得到7个彩票中奖号码
10．甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入下表，某同学根据表中数据分析得出的结论正确的是（ ）
A．甲、乙两班学生成绩的平均数相同
B．甲班的成绩波动比乙班的成绩波动大
C．乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字数≥150个为优秀）
D．甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数
11．从3名女生和2名男生中任选两人组成学习小组，记“至少1名女生”为事件A，“至少1名男生”为事件B，“恰有1名女生”为事件C，“2名都是男生”为事件D，则下列结论正确的有（ ）
A．事件A和D是对立事件B．事件B和C是对立事件
C．事件A和B是互斥事件D．事件C和D是互斥事件
12．高一（2）班数学兴趣小组有男生和女生各3名，现从中任选2名学生去参加数学竞赛，则（ ）
A．恰有一名参赛学生是男生的概率为B．至少有一名参赛学生是男生的概率为
C．至多有一名参赛学生是男生的概率为D．两名参赛学生都是男生的概率为
三、填空题（本大题共4小题）
13．有5张卡片，上面分别标有数字1，2，3，4，5，从中任取2张，则
(1)卡片上数字全是奇数的概率为 ，
(2)卡片上数字之积为偶数的概率为 .
14．口袋中有若干红球､黄球与蓝球，摸出红球的概率为，摸出黄球的概率为，则摸出红球或蓝球的概率为 .
15．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为 、 ．
16．下图是一次考试结果的频率分布直方图，若规定60分以上（含60）为考试合格，则这次考试的合格率为 ．
四、解答题（本大题共6小题）
17．一名射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环，7环以下的概率分别为.求射中环数小于8环的概率．
18．某校有初中、高中两个部门，其中初中有学生850人，高中有学生650人，小军想要进行一个视力调查，对学校按部门进行按比例分配分层随机抽样，得到初中生、高中生平均视力分别为1.0,0.8，其中样本量为60，则在初中部、高中部各抽取多少人？整个学校平均视力是多少？
19．某中学举行电脑知识竞赛，现将高一参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频率分布直方图，已知图中从左到右的第一、二、三、四、五小组的频率分别是0.30，0.40，0.15，0.10，0.05.
求：(1)高一参赛学生的成绩的众数、中位数；
(2)高一参赛学生的平均成绩．
20．书包里有3双不同的手套（白色、红色、蓝色），分别用，，，，，表示6只手套．从中不放回随机取出2只．
(1)写出试验的样本空间；
(2)分别求取出的两只恰好是一双的概率和取出的两只都是同一只手的概率
21．数据的方差为，数据的方差为，a，b为常数.证明：
（1）如果，那么；
（2）如果，那么.
22．为了了解某工厂生产的产品情况，从该工厂生产的产品中随机抽取了一个容量为200的样本，测量它们的尺寸(单位：mm)，并将数据分为七组，其频率分布直方图如图所示．
(1)求图中的x值；
(2)根据频率分布直方图，求200件样本中尺寸在[98，100)内的样本数；
(3)记产品尺寸在[98，102)内为A等品，每件可获利5元；产品尺寸在[92，94)内为不合格品，每件亏损2元；其余为合格品，每件可获利3元．若该工厂一个月共生产3 000件产品．以样本的频率代替总体在各组的频率，若单月利润未能达到11 000元，则需要对该工厂设备实施升级改造．试判断是否需要对该工厂设备实施升级改造．
参考答案
1．【答案】D
【分析】根据分层抽样的特点，抽出样本46台中乙种型号的吊车比例，与总体中乙种型号的吊车比例相等，列式计算即得解.
【详解】设抽到乙种型号的吊车x台，则
故选D.
2．【答案】B
【分析】根据百分位数的定义计算即可.
【详解】因为，故分位数是第6个和第7个的平均数，
则，
故选B.
3．【答案】D
【分析】由折线图的意义、及中位数的定义即可判断出A错误；根据折线图中增减的几何意义可以判定B错误；根据纵轴的意义，观察最高点的大约月份可判定C错误，根据图形的波动幅度可以判定D正确..
【详解】由折线图可知月跑步平均里程比6月份高的只有9,10,11，共3个月，低的有1,2,3,4,5,7,8共7个月，
故6月份对应里程数不是中位数，因此A错误 ；
月跑步平均里程在1月到2月，7月到8月，10月到11都是减少的，故不是逐月增加，因此B错误；
月跑步平均里程高峰期大致在9，10，11三个月，8月份是相对较低的，因此C错误；
从折线图来看，1月至5月的跑步平均里程相对于6月至11月，波动性更小，变化比较平稳，因此D正确.
故选D.
4．【答案】B
【分析】根据平均数的计算公式即可求解.
【详解】∵，
∴数据的平均数
.
故选.
5．【答案】B
【分析】理解题意即可选出正确答案.
【详解】表示击中1发或2发或3发，即至少击中1发.
故选B.
6．【答案】B
【分析】根据对立事件得到，根据互斥事件得到，计算得到答案.
【详解】因为事件与事件互为对立，所以，
因为事件与事件互斥，则.
故选B.
7．【答案】A
【分析】利用列举法列出所有可能结果，再利用古典概型的概率公式计算可得.
【详解】甲，乙两名运动员各自等可能地从红、黄、白、蓝种颜色的运动服中选择种有种不同的结果，
分别为（红，红），（红，黄），（红，白），（红，蓝），
（黄，红），（黄，黄），（黄，白），（黄，蓝），
（白，红），（白，黄），（白，白），（白，蓝），
（蓝，红），（蓝，黄），（蓝，白），（蓝，蓝）．
他们选择相同颜色运动服有种不同的结果，即（红，红），（黄，黄），（白，白），（蓝，蓝），
故他们选择相同颜色运动服的概率为，所以他们选择不同颜色运动服的概率为.
故选A．
8．【答案】C
【分析】由向量夹角公式可得，向量与向量的夹角为锐角得到，利用列举法和古典概型即可得到所求概率.
【详解】设向量与向量的夹角为，则，
又因为向量与向量的夹角为锐角，则；
可知，投掷两枚骰子，分别得到点数，共有种等可能情况；
当时，即有：
时，，有种情况；时，，有种情况；时，，有种情况；时，，有种情况；时，，有种情况；所以，共有种等可能情况，
则向量与向量的夹角为锐角的概率.
故选C.
9．【答案】AD
【分析】根据简单随机抽样定义逐项判断可得答案.
【详解】对于A，从20名同学中随机抽取5名同学参加义务劳动，是简单随机抽样，故正确；
对于B，不是简单随机抽样，虽然一次性抽取3个个体，等价于逐个抽取个体3次，
但不是“逐个抽取”，故错误；
对于C，不是简单随机抽样，不符合“等可能性”，因为5名同学是指定的，
而不是随机抽取的，故错误；
对于D，中国福利彩票30选7，得到7个彩票中奖号码，是简单随机抽样，故正确.
故选AD.
10．【答案】ABC
【解析】根据图表直接计算平均数、方差和众数与甲、乙两班学生每分钟输入汉字数≥150个的人数分析即可.
【详解】甲、乙两班学生成绩的平均数都是135，故两班成绩的平均数相同，A正确；，甲班成绩不如乙班稳定，即甲班的成绩波动较大，B正确.
甲、乙两班人数相同，但甲班的中位数为149，乙班的中位数为151，从而易知乙班每分钟输入汉字数不少于150个的人数要多于甲班，C正确；由题表看不出两班学生成绩的众数，D错误.
故选ABC
【思路导引】本题主要考查了根据平均数、方差和众数分析实际意义的问题.
11．【答案】AD
【分析】先用列举法得到样本空间总事件及事件包含的事件，从而利用对立事件和互斥事件所满足的关系进行判断，得到答案.
【详解】将3名女生设为，两名男生设为，
任选两人组成学习小组，以下是样本空间包含的基本事件：，
其中事件包含，
事件包含，
事件包含，
事件包含，
A选项，因为，且，所以事件A和D是对立事件，A正确；
B选项，因为，
所以事件B和C不是互斥事件，也不是对立事件，B错误；
C选项，因为，所以事件A和B不是互斥事件，C错误；
D选项，因为，所以事件C和D是互斥事件，D正确.
故选AD.
12．【答案】AC
【分析】从数学兴趣小组的6名学生中任选2名学生去参加数学竞赛，共有15种等可能的结果，
对于A，恰有一名参赛学生是男生，即从3名男生中任选1人，从3名女生中任选1人，有3×3=9(种)结果，从而可求出概率；对于B，先求其对立事件“两名参赛学生都是女生”的概率，再求所求概率；对于D，从3名男生中任选2人有3种结果，从而可求出概率；对于C，“至多有一名参赛学生是男生”的对立事件为“两名参赛学生都是男生”，所以用1减去D项的概率即可
【详解】从数学兴趣小组的6名学生中任选2名学生去参加数学竞赛，共有15种等可能的结果.恰有一名参赛学生是男生，即从3名男生中任选1人，从3名女生中任选1人，有3×3=9(种)结果，所以恰有一名参赛学生是男生的概率为，A正确；
“至少有一名参赛学生是男生”的对立事件为“两名参赛学生都是女生”，从3名女生中任选2人有3种结果，所以至少有一名参赛学生是男生的概率为，B错误；
“两名参赛学生都是男生”，从3名男生中任选2人有3种结果，其概率为，D错误；
“至多有一名参赛学生是男生”的对立事件为“两名参赛学生都是男生”，所以至多有一名参赛学生是男生的概率为，C正确.
故选AC.
13．【答案】/0.3 /0.7
【分析】（1）从5张卡片中任取2张共10种取法, 卡片上数字全是奇数的有3种取法，由古典概型的概率计算公式可得概率；
（2）方法一：卡片上数字之积为偶数的有7种取法，由古典概型的概率计算公式可得概率.方法二：“卡片上数字全是奇数”“卡片上数字之积为偶数”为对立事件，由（1）可知所求概率.
【详解】从标有数字1，2，3，4，5的5张卡片中任取2张，有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)，共10种取法．
（1）卡片上数字全是奇数的有(1，3)，(1，5)，(3，5)，共3种取法，由古典概型的概率计算公式可得卡片上数字全是奇数的概率为.
（2）方法一：卡片上数字之积为偶数的有(1，2)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(4，5)，共7种取法，由古典概型的概率计算公式可得卡片上数字之积为偶数的概率为.
方法二：从5张卡片中任取2张，有“卡片上数字全是奇数”“卡片上数字之积为偶数”两种结果，且二者必居其一，由(1)可知所求概率为1－＝.
故答案为：/0.3；/0.7.
14．【答案】0.8
【分析】首先求摸出蓝球的概率，再根据互斥事件和的概率求解.
【详解】口袋里摸出红球，摸出黄球，摸出蓝球是互斥事件，所以从口袋中摸出蓝球的概率是，所以摸出红球或蓝球的概率是.
故答案为：0.8.
15．【答案】 200 20
【解析】由题意利用分层抽样的定义和方法，求得结果．
【详解】所有学生数为，故样本容量为，
且样本中，小学生人数为，初中生人数为，高中生人数为，
抽取的高中生近视人数为，
故答案为：200；20．
16．【答案】72%
【详解】[60,80]内的频率为,所以这次考试的合格率为0.72．
故答案为：0.72.
17．【答案】0.29
【分析】根据互斥事件的知识求得正确答案.
【详解】事件“射中环数小于8环”包含事件D“射中7环”与事件E“射中7环以下”两个事件，
则P(射中环数小于8环).
18．【答案】在初中部、高中部各抽取34,26人，整个学校平均视力约为0.91.
【详解】初中部抽取的人数为60× 850850+650 ＝34，
高中部抽取的人数为60× 650850+650 ＝26，
整个学校平均视力为 3460 ×1.0＋ 2660 ×0.8≈0.91，
所以在初中部、高中部各抽取34,26人，整个学校平均视力约为0.91.
19．【答案】（1）众数为，中位数为； （2）．
【分析】（1）用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值，即可得出众数，利用中位数的两边频率相等，即可求得中位数；
（2）利用各小组底边的中点值乘以对应的频率求和，即可求得成绩的平均值．
【详解】（1）用频率分布直方图中最高矩形所在的区间的中点值作为众数的近似值，得出众数为，
又因为第一个小矩形的面积为，
设第二个小矩形底边的一部分长为，则，解得，
所以中位数为．
（2）依题意，利用平均数的计算公式，
可得平均成绩为：，
所以参赛学生的平均成绩为分．
【思路导引】本题主要考查了频率分布直方图的应用，其中解答中熟记频率分布直方图的众数、中位数和平均数的计算方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
20．【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）写出所有可能的情况即可；
（2）分别得出“取出的两只恰好是一双”，“取出的两只都是同一只手”包含的基本事件个数，根据古典概型求解.
【详解】（1）由题知，试验的样本空间.
（2）设“取出的两只恰好是一双”，“取出的两只都是同一只手”分别为事件A，B，
事件A包含的基本事件有：，共3个，
事件B包含的基本事件有：，共6个，
则，，
所以取出的两只恰好是一双的概率和取出的两只都是同一只手的概率分别为，．
21．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】（1）由已知得出，从而，代入方差公式可证；
（2）由已知得出，从而，代入方差公式可证．
【详解】证明：（1）
.
.
（2）.
.
22．【答案】(1)0.12
(2)36
(3)需要对该工厂设备实施升级改造．
【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为进行求解即可；
（2）根据频率分布直方图中的数据进行求解即可；
（3）根据题意，结合频率分布直方图中的数据求出月利润，最后比较大小即可.
【详解】（1）由，
解得
（2）200件样本中尺寸在内的样本数为．
（3）由题意可得，这批产品中优等品有(件)，
这批产品中不合格品有(件)，
这批产品中合格品有(件)，
(元)．
所以该工厂生产的产品一个月所获得的利润为元，
因为，所以需要对该工厂设备实施升级改造．班级
参加人数
中位数
方差
平均数
甲
55
149
191
135
乙
55
151
110
135